试卷4 河南省郑州市郑东新区2024-2025学年七年级下学期期末学情调研试题卷(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 郑东新区初中数学期末卷以真实情境为载体，融合地域文化与科技元素，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查学生几何直观、推理能力及模型意识，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、幂运算、概率统计|以河南平台图标、开封铁塔为情境，考查空间观念与数据分析| |填空题|5/15|平行线性质、三角形全等、圆面积计算|结合FAST天眼面积比较，体现量感与符号意识| |解答题|7/55|函数图像、全等证明、综合实践|电热水壶水温变化（模型意识）、水潭宽度测量（推理能力）、正多边形旋转探究（创新意识）|

试卷4　郑东新区 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.河南肩负着中原出彩的历史使命，牢记嘱托，奋勇争先，各项事业蓬勃发展，以下是河南部分平台的图标，其中是轴对称图形的是（　C　） A. B. C. D. 2.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　D　） A.30° B.35° C.45° D.55° 第2题图 3.下列计算正确的是（　C　） A.x2＋x3＝x5 B.b6÷b2＝b3 C.（a3）2＝a6 D.（3x）3＝9x3 4.如图，在一张等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的（　C　） 第4题图 A. B. C. D. 5.如图，开封市铁塔（图1）建于公元1049年，素有“天下第一塔”的美称.某数学兴趣小组测绘铁塔时，测量数据如下：铁塔AB直立在地面上；如图2，先将无人机上升到点P处观测铁塔顶端A，测得∠APM＝22°；再将无人机沿铁塔的方向水平飞行到点Q处，观测铁塔底端B，测得∠BQM＝45°.则∠PAB的度数是（　A　） A.112° B.113° C.135° D.158° 图1 图2 第5题图 6.在一次用频率去估计概率的试验中，统计某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　B　） 第6题图 A.任意写一个正整数，它能被5整除的概率 B.从一副扑克牌中任意抽取一张是红桃的概率 C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 D.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 7.如图，关于△ABC的高，下列结论错误的是（　C　） A.AB边上的高是CE B.BC边上的高是AF C.AC边上的高是CD D.AC边上的高是BG 第7题图 8.某款电热水壶（图1），通电后对30 ℃的水进行加热，水温每分钟上升20 ℃，达到100 ℃时停止加热.停止加热后，水温开始下降，当水温降至45 ℃时，饮水机开启保温模式，保温状态可持续16小时，然后自动断电，水温会降至常温.水温y与通电时间x之间的关系如图2所示，则下列说法错误的是（　B　） 图1 图2 第8题图 A.图象中AB段表示电水壶将水从30 ℃加热至100 ℃ B.点B表示通电5 min后水温达到100 ℃ C.a＝45 D.早上6：30给电热水壶通电，晚上10：40喝水时，水温是45 ℃ 9.如图，是由两个正方形拼成，正方形的边长分别为a和b，无论a，b的值如何变化，a始终小于b.若阴影部分的面积为S，则下列关于S的表述错误的是（　A　） A.S的大小与a有关 B.S的大小与b有关 C.S随着b的增大而增大 D.b＝10时，S＝50 第9题图 解析：由题意，得S＝a2＋b2－a（a＋b）－b2＋a（b－a）＝a2＋b2－a2－ab－b2＋ab－a2＝b2.所以S的大小与a无关，与b有关，并且随着b的增大而增大，A错误，B、C正确.当b＝10时，S＝b2＝×100＝50，D正确.故选A. 10.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，正方形OMNP与正方形ABCD的边长相等，OP与CD交于点F，OM与BC交于点E，∠DOF＝α（0°＜α＜90°），连接EF.围绕下列猜想展开探究： ①∠ODC＝45°；②∠EFC＝α；③FP＝EM；④当α＝45°时，OC＝EF. 上述猜想中，正确的有（　D　） 第10题图 A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠ABC＝90°.所以∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝∠CDB＝45°.所以∠ODC＝∠OCD＝45°.所以OD＝OC，∠COD＝90°.因为∠DOF＋∠FOC＝90°，∠COE＋∠FOC＝90°，所以∠DOF＝∠COE.在△DOF和△COE中，∠ODF＝∠OCE，OD＝OC，∠DOF＝∠COE，所以△DOF≌△COE（ASA）.所以OF＝OE.因为四边形OMNP是正方形，所以OP＝OM.所以OP－OF＝OM－OE，即FP＝EM.结论①、③正确；如图，设OC与EF相交于点T. 由①③知OF＝OE，∠COE＝∠DOF＝α. 因为∠POM＝90°，所以△OEF是等腰直角三角形.所以∠OEF＝45°.因为在△OET中，∠COE＋∠OEF＋∠OTE＝180°，所以α＋45°＋∠OTE＝180°，即∠OTE＝135°－α.所以∠CTF＝∠OTE＝135°－α.在△CFT中，∠EFC＋∠OCD＋∠CTF＝180°，所以∠EFC＋45°＋135°－α＝180°.所以∠EFC＝α.结论②正确；因为∠DOF＝α＝45°，由①知，∠ODC＝45°，所以∠OFD＝90°.在△ODF和△OCF中，∠ODF＝∠OCF，∠OFD＝∠OFC，OF＝OF，所以△ODF≌△OCF（AAS）.所以DF＝CF.由②知，∠EFC＝α，所以∠EFC＝45°.因为∠ODF＝∠EFC，DF＝CF，∠DFO＝∠FCE，所以△DFO≌△FCE（ASA）.所以OD＝EF.因为OD＝OC，所以OC＝EF，④正确.综上所述①②③④正确.故选D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，将木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝　70　°时，木条a与木条b平行. 第11题图 12.我国自主研发射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为2.5×105平方米；一个11人制正规足球场的面积约为7.14×103平方米.“中国天眼”的反射面积大约相当于　35　个11人制正规足球场的面积.（保留整数） 13.如图，AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，请添加一个条件，使得△ABC≌△ADE，可以添加的条件是　AC＝AE（答案不唯一）　.（不标记新的字母，写出一个符合题意的条件即可） 第13题图 14.甲圆的半径为r（r＞2），甲圆半径增加2后得到乙圆，甲圆半径减少2后得到丙圆，乙圆的面积比丙圆的面积大　8πr　.（保留π） 15.如图，AD为△ABC的角平分线，过点D作DF⊥AB于点F，E为线段BC的中点，若△ABE的面积为7，AC＝8，DF＝2，则AB＝　6　. 第15题图 解析：如图，作DH⊥AC于点H.因为AD平分∠BAC，DF⊥AB，DH⊥AC，DF＝2，所以DH＝DF＝2. 因为E是线段BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABE＝2×7＝14.因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABD＋AC•DH＝S△ABD＋×8×2＝14，所以S△ABD＝6，即AB•DF＝6.所以AB＝6. 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16.（9分）（1）计算：（－2）2×（）－1－（－）0； 解：原式＝4×2－1（2分） ＝7.（4分） （2）化简：［（x－2y）（x＋2y）－（2x－y）2＋3x2］÷2y. 解：原式＝［x2－4y2－（4x2－4xy＋y2）＋3x2］÷2y（2分） ＝（x2－4y2－4x2＋4xy－y2＋3x2）÷2y ＝（－5y2＋4xy）÷2y ＝－y＋2x.（5分） 17.（9分）已知：△ABC，AD是△ABC的角平分线. （1）求作：直线MN，使直线MN垂直平分线段AD，交AB于点E，交AC于点F，连接DE和DF.（请用圆规和无刻度的直尺补全图形，保留作图痕迹） 解：作图如图所示.（4分） （2）将判断DE与AC的位置关系的过程补充完整，并在括号内填推理的依据. ：因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠1＝∠2（①　角平分线的定义（5分）　）. 因为MN是AD的垂直平分线，点E在直线MN上， 所以EA＝②　ED　（③　垂直平分线的性质（6分）　）. 所以∠1＝④　∠ADE　（⑤　等腰三角形的性质（7分）　）. 所以∠2＝⑥　∠ADE（8分）　. 所以DE与AC的位置关系是⑦　DE∥AC　（⑧　内错角相等，两直线平行（9分）　）. 18.（6分）小明和小颖用一副去掉大王、小王的扑克牌做抽牌游戏：小明先从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁抽到的牌面大谁就赢、谁抽到的牌面小谁就输（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）.然后两人把抽到的牌都放回，重新开始游戏. （1）小明抽到的牌面为A是　②（1分）　（填序号：①必然事件；②随机事件；③不可能事件）； （2）若小明已经抽到的牌为A，然后小颖抽牌，则小颖赢的概率是　0　，小颖输的概率是　（3分）　； （3）若小明已经抽到的牌为4，然后小颖抽牌，则小颖赢的概率是　　，小颖输的概率是　（5分）　； （4）从（2）（3）中可以看出，这个游戏小颖赢的概率与小颖输的概率之和并不是1，请阐述产生这个现象的原因. 解：这个游戏里除了“小颖赢”和“小颖输”，还存在两人牌面相等的情况（比如小明抽到4，小颖也抽到4），这是第三种结果.所以赢和输的概率之和并不是1.（6分） 19.（7分）某校项目式学习小组开展项目活动，以下是成果展示： 项目主题 测量水潭的宽度 测量工具 米尺，测角仪 示意图 实际情形 测绘图形 测量说明 ①如图，测量员在地面上找一个可以直接到达A点和B点的点O； ②沿着AO向前走到点C处，使CO＝AO； ③自C点沿着与AB平行的方向走到D处，受场地限制改变方向； ④自D沿着与CD垂直的方向移动，直至B，O，E三点在同一条直线上停止. 测量数据 AO＝CO，∠BED＝135°，DE＝8 m，CD＝16 m 初级结论 △OAB≌△OCF；△DEF为等腰直角三角形 （提示：含45°角的直角三角形是等腰直角三角形） （1）得出△OAB≌△OCF的依据是　②（2分）　（填序号）. ①SSS ②ASA或AAS ③SAS （2）请根据测量说明和测量数据求出水潭的宽度AB. 解：因为AB∥CD，所以∠BAO＝∠FCO. 因为AO＝CO，∠AOB＝∠COF， 所以△AOB≌△COF（ASA）.所以AB＝CF.（4分） 因为∠BED＝135°，所以∠FED＝45°. 因为∠EDF＝90°，所以△DEF是等腰直角三角形. 所以DF＝DE＝8 m. 因为CD＝16 m，所以CF＝DF＋CD＝24 m. 所以AB＝CF＝24 m，即水潭的宽度AB为24 m.（7分） 20.（7分）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图. （1）画出△ABC关于AC对称的三角形△ADC（点B的对应点是点D），在此基础上求四边形ABCD的面积； 解：如图，△ADC即为所求.（1分） 四边形ABCD的面积为7×7－×2×5×4－2×2×2＝21.（3分） （2）画出△ABC的角平分线BE； 解：如图，BE即为所求.（4分） （3）画出△ABC的高CF； 解：如图，CF即为所求.（5分） （4）在（3）的基础上，在线段BC上找一点G，画出线段FG，使FG∥AC. 解：如图，FG即为所求.（7分） 21.（7分）某位旅客乘坐国内航班经济舱，根据航空公司的规定，国内航班经济舱每件托运行李的重量上限为50 kg，该旅客根据以往乘坐经验列出了托运费用与行李重量的对照表，设他的行李重量为x kg，需交的托运费用为y元，对照表如下： 19 20 21 22 23 24 25 26 0 0 30 60 90 120 150 180 再根据整理的数据画成了如图所示的图象： （1）上述问题中的两个变量，自变量是　行李重量　；该旅客最多可以免费托运行李　20（2分）　kg； （2）乘坐国内航班，随着行李重量的变化，托运费用的变化趋势是怎样的？ 解：当行李重量不超过20 kg时，托运费用始终为0；当行李重量超过20 kg时，托运费用的变化趋势为随着行李重量的增加，托运费用也随之成倍增加.（3分） （3）请写出y与x之间的关系式； 解：由题意，得当0≤x≤20时，y＝0；当20＜x≤50时，y＝30（x－20）＝30x－600.（6分） （4）若该旅客希望行李的托运费用不超过210元，则他最多可托运的行李为　27（7分）　kg. 22.（10分）综合与实践 【活动一】复盘旧知 （1）如图1，四边形EFGH是一个足够大的纸板，∠E＝∠G＝90°，∠F＝60°，∠H＝120°.结合课本第四章“特殊化策略”的研究可知，将纸板90°角的顶点E放置在正方形的中心点O处，如图2，并将纸板绕点O旋转，运动中重叠部分的面积S1不变，S1与正方形的面积S之间的关系为　S1＝S（1分）　； 【活动二】提出问题 点O是正多边形的中心，它到正多边形各顶点的距离都相等.将四边形纸板EFGH的哪一个顶点放置在正多边形的中心O处，并绕点O旋转，才能使运动中重叠部分的面积S1保持不变？重叠部分的面积S1与正多边形的面积S有怎样的关系？ 【活动三】生发新知 点O是等边三角形ABC的中心，将纸板120°角的顶点H放置在点O处，边OE经过点B，将纸板绕点O逆时针旋转α，探究重叠部分的面积S1与等边三角形ABC的面积S间的关系.特例观察：（2）如图3，当α＝0°时，OE经过点B，重叠部分的面积S1与等边三角形ABC的面积S之间的关系为　S1＝S　；如图4，当α＝60°时，OE⊥BC，重叠部分的面积S1与等边三角形ABC的面积S之间的关系为　S1＝S（3分）　； 提出猜想：（3）将纸板120°角的顶点H放置在等边三角形的中心O处，并绕点O进行旋转，运动中重叠部分的面积S1保持不变，S1与等边三角形ABC的面积S之间的关系为　S1＝S（4分）　； 说明道理：（4）借助图5，说明（3）中结论的合理性. 解：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC.因为O是等边△ABC的中心，所以OB＝OC＝OA ，∠ABO＝∠OBM＝∠OCN＝30°.所以△ABO≌△CBO（SAS），∠BOC＝120°.（5分） 同理可证△ACO≌△BCO，所以S△BCO＝S△ABC. 因为∠BOC＝∠BOM＋∠COM＝120°，∠MON＝∠CON＋∠COM＝120°，所以∠BOM＝∠CON.（7分） 在△OBM和△OCN中，∠OBM＝∠OCN，OB＝OC ，∠BOM＝∠CON，所以△OBM≌△OCN（ASA）.所以重叠部分面积等于△OBC的面积，即S1＝S.（8分） 【活动四】联系拓广 （5）若点O是正六边形的中心，将该纸板的顶点　F　放置在点O处，并绕点O进行旋转，运动中重叠部分的面积S1保持不变，S1与正六边形的面积S之间的关系为　S1＝S（10分）　. 图1 图2 图3 图4 图5 学科网（北京）股份有限公司 $