试卷2 河南省郑州市金水区2024-2025学年七年级下学期中学学业评价资料(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 金水区初中数学期末试卷，以钙钛矿技术、河南“中”字文化、购物车总长等真实情境为载体，融合抽象能力、推理意识、模型意识，梯度覆盖基础运算与创新探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件、科学记数法、整式运算等|第2题结合钙钛矿技术考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|5/15|垂线段最短、一次函数、全等三角形等|第12题婴儿体重模型，强化模型意识与应用| |解答题|7/55|概率、函数建模、几何探究等|第21题以毕达哥拉斯学派“三角形数”“正方形数”为素材，考查规律推理；第22题综合全等模型，培养逻辑思维|

试卷2　金水区 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1.下列事件中，是随机事件的是（　B　） A.太阳东升西落 B.任意掷一枚硬币，正面朝上 C.手可摘星辰 D.在装有3个红球的不透明盒子中摸出一球是白色 2.2025年5月22日，我国在太阳能电池材料钙钛矿革新技术方面的研究成果发表在《科学》杂志上，该项技术实现了对钙钛矿薄膜厚度的精准控制，使0.79 m2上的钙钛矿薄膜厚度波动小于3μm（0.000 003 m）.数据0.000 003用科学记数法表示为（　B　） A.0.3×10－6 B.3×10－6 C.3×10－7 D.3×106 3.下列计算正确的是（　D　） A.m3＋m2＝m6 B.m6÷m2＝m3 C.（－3m2）3＝－9m6 D.2m3•m4＝2m7 4.某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示，其中灯柱BC与底座AB垂直，BC，CD，DE可以分别绕点C，D调节一定的角度.经使用发现：当∠DCB＝140°且ED∥AB时，台灯光线最佳，则此时∠CDE的度数为（　B　） 图1 图2 A.140° B.130° C.120° D.100° 5.如图，已知线段AB与线段A′B′关于直线l成轴对称，连接AB′，A′B，相交于点O，则下列结论不一定正确的是（　C　） A.AB＝A′B′ B.AB′＝A′B C.AB′⊥A′B D.AA′∥BB′ 6.小华在离家不远的图书馆看书.下面哪一幅图能较好地刻画看书这段时间内他离家的距离与时间之间的关系（　C　） A. B. C. D. 7.已知3a2＋7a－1＝0，则代数式a（3a＋7）－3的值为（　D　） A.1 B.0 C.－1 D.－2 8.下列选项中能解释BC－AC＜AB的是（　B　） A. B. C. D. 9.如图，在△ABC中，∠B＝70°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高.若AB＝AD，则∠C的度数为（　C　） A.20° B.25° C.30° D.40° 10.在河南方言中，“中”字无疑是最有丰富文化内涵的.小明在布置河南本土文化的黑板报时，设计了如图所示的一个“中”字，他以长方形ABCD的四条边为边分别向外作正方形，若“中”字外圈的周长为24，四个正方形的面积之和为18，则长方形ABCD的面积为（　A　） A. B.7 C.14 D.63 解析：设长方形ABCD的边AB＝a，AD＝b.由题意，可知6a＋6b＝24，2a2＋2b2＝18，即a＋b＝4，a2＋b2＝9.所以（a＋b）2＝16，即a2＋2ab＋b2＝16.所以9＋2ab＝16.所以ab＝，即长方形ABCD的面积为.故选A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是　垂线段最短　. 第11题图 12.通常婴儿在1～6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用y＝a＋700x来表示，其中a是婴儿出生时的体重.根据以上信息判断婴儿在1～6个月内，月份每增加一个月，体重增加　700　g. 13.如图，AB＝AD，AC＝AE，请添加一个条件　BC＝DE（答案不唯一）　，使得△ABC≌△ADE. 第13题图 14.爱好数学的小明在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中，设计了这样一个运算程序，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，即从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数字之和，于是得到了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….则在这一列数的前2 025个数中，能被3整除的数共有　506　个. 解析：由题意，得这一列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以从第1个数开始，每4个数字为一组，每组中有1个数字能被3整除，且被3整除的数为每一组的最后一位.因为2 025÷4＝506……1，所以在这一列数的前2 025个数中，能被3整除的数共有506个. 15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，D是射线AB上一动点，将△ADC沿AD折叠，得到△ADE，当DE与△ABC的边平行时，则∠ACD的度数为　10°或100°　. 解析：由折叠的性质，得∠DAE＝∠DAC＝40°，∠ADE＝∠ADC，所以∠BDC＝180°－∠ADC，∠BDE＝180°－∠ADE.所以∠BDC＝∠BDE. 因为∠ACB＝90°，所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝50°.分两种情况：①如图1，当DE∥BC时，则∠BDE＝∠DBC＝50°，所以∠BDC＝∠BDE＝50°.所以∠BCD＝180°－∠DBC－∠BDC＝80°.所以∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝10°.②如图2，当DE∥AC时，则∠ADE＝∠CAD＝40°，所以∠BDC＝∠ADE＝40°.所以∠ACD＝180°－∠CAD－∠ADC＝100°.综上所述，∠ACD的度数为10°或100°. 图1 图2 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16.（8分）计算：（1）（π－3）0－2－3； 解：（1）原式＝1－（2分） ＝.（4分） （2）［（a＋3b）（a－3b）－b（a－9b）］÷（a）. 解：（2）原式＝（a2－9b2－ab＋9b2）÷（a）（2分） ＝（a2－ab）÷（a） ＝2a－2b.（4分） 17.（7分）如图所示，是一个可以自由转动的转盘. （1）自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率. 解：P（指针落在蓝色区域）＝＝.（3分） （2）小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 解：这个游戏对双方不公平.（4分） 理由如下：P（小颖获胜）＝＝＝， P（小亮获胜）＝＝. 因为＞，所以游戏对双方不公平.（7分） 18.（7分）某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系. 下表是小航测得的一些数据. 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 6 车身总长/m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的？ 解：购物车每增加一辆，车身总长增加0.2 m.（2分） （2）10辆购物车的总长大约是多少？50辆购物车的总长大约是多少？你是如何估计的？请写出你估计购物车总长的方法. 解：10辆购物车的车身总长大约是2.8 m，50辆购物车的总长大约是10.8 m.（4分） 估计购物车总长的方法：设购物车的数量是x辆，车身总长是y m. 由表格，可知y＝0.2x＋0.8. 当x＝10时，y＝0.2×10＋0.8＝2.8； 当x＝50时，y＝0.2×50＋0.8＝10.8. 所以10辆购物车的车身总长大约是2.8 m，50辆购物车的车身总长大约是10.8 m.（7分） 19.（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BA的延长线上. （1）尺规作图：求作一点P，使得点P到∠DAC的两边的距离相等，且PA＝PC（不写作法，只保留作图痕迹）； 解：如图所示，点P即为所求. （4分） （2）连接CP，请你判断∠ACP与∠ACB的大小关系，并说明理由. 解：∠ACP＝∠ACB.（5分） 理由如下：如图，连接CP. 因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB. 由作图，可知AP平分∠DAC， 所以∠1＝∠2. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠B＋∠ACB＋∠3＝180°， 所以∠1＋∠2＝∠B＋∠ACB. 所以∠2＝∠ACB.（7分） 由（1）可知PA＝PC， 所以∠2＝∠ACP. 所以∠ACB＝∠ACP.（8分） 20.（8分）三角形具有神奇的魅力，古今中外无数学者从未停止过对它的探索.如图，我国发射的神舟二十号载人飞船的飞行任务标识就是以三角形为基础，进行的大胆创新.善于学习的小明用等边三角形纸片对该标识进行了探究. （1）如图1，小明在等边三角形GHI三条边上分别截取GA＝GF＝HB＝HC＝ID＝IE，连接AF，BC，DE，然后剪去△GAF，△HBC和△IDE，得到该标识对应的六边形ABCDEF，连接CF. ①小明发现该六边形ABCDEF　是　（填“是”或“不是”）轴对称图形，每个内角度数都相等为　120（2分）　°； ②请判断CF与HG的位置关系，并说明理由. （2）小明继续探究，如图2，分别以点C，点D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点J和点K，作直线JK，交CF于点P，交CD于点M，连接BP.测量得PM＝5 cm，BC＝2 cm，请直接写出△BPC的面积. 图1 图2 21.（8分）阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…，这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n个三角形数可以用（n≥1）表示. 发现：①1＋3＝4＝22，②3＋6＝9＝32，③6＋10＝16＝42，…. 结论：一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和. （1）请你写出第④个等式：　10＋15＝25＝52（2分）　； （2）请你结合材料，用含n（n≥1）的等式表示出上述结论，并加以说明； 解：（2）＋＝（n＋1）2. （3分） 说明如下： 因为＋＝＝n2＋2n＋1，（n＋1）2＝n2＋2n＋1， 所以＋＝（n＋1）2.（6分） （3）我们知道2 025＝452，因此2 025是正方形数.请直接写出2 025可以看作哪两个相邻“三角形数”之和. 解：（3）2 025可以看作990和1 035这两个相邻“三角形数”之和.（8分） 22.（9分）综合与实践 在学习全等三角形的过程中，我们探究了一些常见的全等模型，积累了一定的研究经验.下面是数学活动课上李老师给出的问题，请你解答： 已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，则∠ADE＝90°，且AD＝ED.连接EB并延长交AC的延长线于点F，求∠F的度数. 【特殊情形】 （1）如图1，当点D与点B重合时，则∠F的度数为　45（2分）　°； 【一般情形】 （2）如图2，当点D不与点C，点B重合时，求出∠F的度数. ①小金同学想先求出∠CBF＝45°，从而给出如下解题思路：过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M. ②小水同学想先求出∠CBE＝135°，从而给出如下解题思路：在CA上截取CN＝CD，连接DN. 请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程. 解：选择小金同学的解题思路. 　图① 如图①，过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M. 因为∠ACB＝∠ADE＝90°， 所以∠DAC＋∠ADC＝∠EDM＋∠ADC＝90°.所以∠DAC＝∠EDM.（3分） 因为EM⊥CB， 所以∠DME＝90°. 所以∠DME＝∠ACD. 在△ADC和△DEM中， 因为∠ACD＝∠DME，∠DAC＝∠EDM，AD＝DE， 所以△ADC≌△DEM（AAS）. 所以CD＝ME，AC＝DM.（5分） 因为AC＝BC，所以BC＝DM.所以CD＝BM. 所以ME＝BM. 所以∠EBM＝∠BEM＝45°. 所以∠CBF＝∠EBM＝45°. 所以∠F＝90°－∠CBF＝45°.（7分） 　图② （或选择小水同学的解题思路.如图②，在CA上截取CN＝CD，连接DN. 因为∠ACB＝∠ADE＝90°， 所以∠DAC＋∠ADC＝∠EDB＋∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝∠EDB.（3分） 因为BC＝AC，CN＝CD， 所以AC－CN＝BC－CD，即AN＝DB. 在△AND和△DBE中， AN＝DB，∠DAC＝∠EDB，AD＝ED， 所以△AND≌△DBE（SAS）. 所以∠AND＝∠DBE.（5分） 因为CN＝CD，∠NCD＝90°， 所以∠CND＝∠CDN＝45°. 所以∠AND＝180°－∠CND＝135°. 所以∠DBE＝135°. 所以∠CBF＝180°－∠DBE＝45°. 所以∠F＝90°－∠CBF＝45°.（7分）） 【学以致用】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4.请以AB为直角边在AB右侧构造等腰直角三角形ABD，连接CD，则△BCD的面积为　8或4（9分）　. 图1 图2 图3 备用图 解析：分两种情况：①当直角顶点为B点时，如图③，此时AB＝BD，∠ABD＝90°.过点D作DG⊥BC于点G，所以∠DGB＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠BAC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBD.所以∠CBD＝∠BAC.在△ACB和△BGD中，∠ACB＝∠BGD，∠CAB＝∠GBD，AB＝BD，所以△ACB≌△BGD（AAS）.所以DG＝BC＝4.所以S△BCD＝BC•DG＝×4×4＝8.②当直角顶点为A点时，如图④，此时AB＝AD，过点D作AC的垂线，交于AC的延长线于点H，延长BC，过点D作BC的垂线，垂足为点E.因为∠ACB＝90°，所以∠BED＝∠DHA＝∠HCE＝90°.因为∠BAD＝90°，∠BAC＋∠HAD＝90°，∠HAD＋∠ADH＝90°，所以∠BAC＝∠ADH.因为AB＝AD，所以△ABC≌△DAH（AAS）.所以DH＝AC＝2，AH＝BC＝4.所以HC＝AH－AC＝2.因为∠DCH＋∠CDH＝90°，∠ECD＋∠DCH＝90°，所以∠ECD＝∠CDH.因为∠CHD＝∠CED，CD＝CD，所以△CED≌△DHC（AAS）.所以ED＝HC＝2.所以S△BCD＝BC•ED＝×4×2＝4.综上所述，△BCD的面积为8或4. 图③ 图④ 学科网（北京）股份有限公司 $