拓展练1 综合与实践(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦期末综合与实践高频重难考点，通过多情境问题构建“原理推导-方法创新-模型应用”的系统化训练体系，强化几何直观、推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |尺规作图|1（含3小问）|双方法推理（同位角平行/垂直平分线性质）+创新作法|角平分线性质→全等判定→作图应用| |万花筒成像探究|1（含3小问）|数据归纳成像数量关系式（y=360/x）|轴对称原理→数据规律→模型构建| |绑腿跑运动分析|1（含3小问）|函数图像分析运动规律（距离/面积随时间变化）|行程问题→函数图像→实际应用|

拓展练1　综合与实践 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.综合与实践 （1）某数学小组用尺规作图在∠AOB内求作一点P，使得∠AOP＝∠BOP. ①经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的推理过程和依据. 方法一 方法二 1.在OA上任取一点C，作∠ACE′＝∠AOB. 2.在射线CE′上作CP＝OC.点P即为所求. 1.在OA和OB上分别取点C，D，使得OC＝OD. 2.作OD的垂直平分线EF. 3.作OC的垂直平分线MN，与直线EF交于点P.点P即为所求. 图示 理由 因为∠ACE′＝∠AOB， 所以CP∥OB（　同位角相等，两直线平行　）. 所以∠CPO＝　∠POB　. 因为CP＝OC， 所以∠CPO＝　∠COP　. 所以∠AOP＝∠BOP. 连接PC，PD. 因为EF垂直平分OD， 所以OP＝　PD　. 同理可得OP＝PC. 所以PC＝PD. 因为OC＝OD，PO＝PO， 所以△OPC≌△OPD（　SSS　）. 所以∠AOP＝∠BOP. ②请你用不同于上面的尺规作图方法在图1中求作点P（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性. 解：②如图①，射线OP即为所求.（作法不唯一） 图① 理由如下：由作图可知，OC＝OD，CP＝PD. 因为OP＝OP，所以△OPC≌△OPD（SSS）.所以∠AOP＝∠BOP. （2）在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”.如图2，设两面镜子的夹角∠AOB＝60°，物体Q在∠AOB的角平分线上，则在镜子中一共形成　5　个物体Q的像. 图1 图2 解析：如图②中，一共形成5个物体Q的像. 图② 2.综合与实践——万花筒里的数学 【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律. 图1 图2 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称. 【数学探究】探究一：如图2，正方形P放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角∠AOB为90°时，正方形P关于镜子OA的轴对称图形是像P1. （1）请你画出正方形P在镜子OB中的像P2（不限作图工具）； 解：如图，像P2即为所求. （2）像P1，像P2会在镜子中再次轴对称成像，像P1关于OB1的轴对称图形是像P3，像P2关于OA1的轴对称图形是像P4，分析像P3与像P4　会　（填“会”或“不会”）重合. 探究二：如图，当“镜子门”张角∠AOB大小是360°的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的. ①∠AOB＝45°　　②∠AOB＝60°　　③∠AOB＝120° 改变张角∠AOB的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： ∠AOB的度数x/度 45 60 72 90 120 观察到的图形数量y/个 8 6 5 4 3 （3）①在这个变化过程中，　∠AOB的大小　是自变量，　观察到的图形数量　是因变量； ②补充上述表格； ③请写出观察到的图形数量y与∠AOB的度数x的关系式：　y＝　. 3.【综合与实践】为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力.某学校将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动会（每队有若干名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）.赛前某班组织队员在比赛场地如图1所示的长方形ABCD中进行适应性训练（把这组动作始终整齐划一的“绑腿跑”队员表示为图中线段MN，线段MN可匀速向右或向左平行移动），当该“绑腿跑”队员从长方形ABCD场地内平行于AB边的某地出发向右匀速奔跑4 s之后到达终点CD边，停留3 s，又向左返回匀速平行奔跑直至与AB边重合. 【问题分析】（1）图2反映队员奔跑时与AB边的距离y（m）（即线段BN的长度）随时间t（s）变化而变化的情况. ①这个变化过程中，自变量是　时间　，因变量是　与AB边的距离　； ②当这组队员开始出发时，到AB边的距离是　10　m； ③当0＜t≤4时，该“绑腿跑”队员向右运动的速度为　5　m/s. 【实践探索】（2）图3反映了队员在奔跑过程中形成长方形ABNM的面积S（m2）随时间t（s）变化的情况. ①长方形ABCD中AB边的长为　14　m； ②当7≤t≤12时，写出S与y之间的关系式为　S＝14y　. 【实践反思】（3）“绑腿跑”趣味运动会正式比赛前，同学们对提高“绑腿跑”比赛成绩提出了两条建议：①口号和动作要协调一致；②选择身高相差不大的同学组队.针对这次活动，请你也提出一条合理化的建议. 图1　　图2　　图3 解：学生在跑动过程中，注意摆臂幅度一定要小，固定步幅和频率等.（合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $