提升练3 转化思想(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦转化思想，通过图形旋转面积、三角形面积关系、最短路径三大典例，构建“特殊到一般—性质应用—拓展迁移”的方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形旋转面积转化|1|特殊化策略+全等转化面积，从垂直到任意旋转|正方形性质→中心对称性→重叠面积恒等| |三角形面积关系转化|1|中线等分面积+等底同高模型，从单三角形到多边形|中线性质→面积等量关系→四边形面积拆分| |最短路径问题转化|1|对称化归+垂线段最短，从直线到三角形背景|两点之间线段最短→轴对称转化→最值求解|

提升练3　转化思想 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本P113的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合.在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 图1　　图2　　图3 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到边EF与AB垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为　 　； 解析：如图，连接AC，BD，设EF，AB交点为I.因为正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合，所以E为AC，BD的交点.所以AE＝BE. 因为EF⊥AB，所以∠AIE＝∠BIE＝90°. 因为∠FEH＝90°，∠AEB＝90°， 所以∠AEI＋∠BEI＝∠BEI＋∠BEH＝90°，即∠AEI＝∠BEH. 因为∠EIB＋∠ABC＝180°，所以EF∥BC.所以∠EMB＝90°. 所以∠EMB＝∠AIE＝90°. 因为AE＝BE，所以△AEI≌△BEM（AAS）.所以S△AEI＝S△BEM. 所以S重叠部分＝S△BEM＋S△BEI＝S△AEI＋S△BEI＝S△AEB＝S正方形ABCD. 【深入探究】当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分的面积； 解 ：如图，过点E分别作EK⊥CD，ET⊥BC，垂足分别为K，T.设EH，CD交于点N，EF，CB交于点M. 因为正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合， 所以点E到CD，BC的距离相等，即ET＝EK. 因为EK⊥CD，ET⊥BC，所以∠KET＝90°，∠ETM＝∠EKC＝90°. 因为∠FEH＝90°， 所以∠TEM＋∠TEH＝∠KEN＋∠TEH＝90°，即∠TEM＝∠KEN. 所以△MET≌△NEK（ASA）.所以S△MET＝S△NEK. 所以S重叠部分＝S△MET＋S四边形TENC＝S△NEK＋S四边形TENC＝S四边形TEKC. 同理【初步思考】，得S重叠部分＝. 【拓展应用】将n个边长都为1 cm的正方形按如图3所示的方式摆放，A1，A2，A3，A4分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之和. 解：n个这样的正方形重叠部分的面积之和为×（n－1）＝ cm2. 解析：由【初步思考】和【深入探究】得A1，A2重叠部分面积为 cm2；A2，A3重叠部分面积为 cm2；A3，A4重叠部分面积为 cm2；…；An－1，An重叠部分面积为 cm2，则n个这样的正方形重叠部分的面积之和为×（n－1）＝ cm2. 2.［北京市］【阅读与理解】连接三角形的顶点和它所对的边的中点所得的线段称为三角形的中线. 由三角形的中线得出结论：三角形的中线等分三角形的面积. 即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC. 理由：因为BD＝CD，所以S△ABD＝BD•AH＝CD•AH＝S△ACD＝S△ABC，即等底同高的三角形面积相等. 【操作与探索】在图2至图4中，△ABC的面积为a. （1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝　a　；（用含a的代数式表示） （2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝　2a　；（用含a的代数式表示） （3）在图3基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4），若阴影部分的面积为S3，则S3＝　6a　；（用含a的代数式表示） 【拓展与应用】（4）如图5，已知四边形ABCD的面积是m，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求图中阴影部分的面积. 图1　图2　图3　图4　图5 解：如图，连接AO，BO，CO，DO， 则S△AOE＝S△BOE＝S△AOB，S△BOF＝S△COF＝S△COB， S△COG＝S△DOG＝S△COD，S△DOH＝S△AOH＝S△AOD， 所以S阴影＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD＝S四边形ABCD＝m. 3.［郑州市改编］【问题呈现】如图1，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间.你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 图1 图2 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图2. 【回顾思考】（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是　两点之间线段最短（答案合理即可）　； （2）如图3，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC＋BC最短.请在图3中标注点C，并尝试利用图2解决上述【问题呈现】，保留作图痕迹； 解：如图①所示，点C即为所求. 图①　　 图② 如图②所示，储物点C即为所求. 【能力迁移】（3）如图4，在等边三角形ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点.若AD＝5，则PE＋PB的最小值为　5　. 图3　　图4 解析：如图，因为AD是∠BAC的平分线，所以可在AC上找到点E关于直线AD的对称点E′，作出点E′，连接PE′，则PE′＝PE，PE＋PB＝PE′＋PB，过点B作BF⊥AC，垂足为点F.由垂线段最短可知，当点B，P，E′三点共线，且BE′⊥AC时，PE＋PB有最小值，即PE＋PB的最小值是BF的长度.易知等边三角形每条边上的高都相等，所以PE＋PB的最小值为BF＝AD＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $