提升练2 分类讨论(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 以分类讨论为核心，通过几何情境分层训练，系统构建"情境分类-依据推理-结论整合"的解题体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角的关系|1题3情况|按边方向分同向/反向讨论，用平行线性质推理|从基础角关系到复杂位置分类，构建"位置→性质→结论"逻辑链| |新定义应用|2题含2小问|按数量大小分情况列方程，结合角平分线性质|新定义与几何性质融合，形成"定义→分类→计算"解题路径| |图形旋转|1题3问|按旋转位置分情况画图，用平行线判定求解|从静态观察到动态旋转，培养空间观念与分类思想| |翻折综合|1题3小问|按等腰三角形腰分类，结合全等与面积计算|轴对称性质与几何综合应用，提升综合推理能力|

提升练2　分类讨论 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.［太原市］数学课上，老师提出问题：若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论.请按她的思路完成探究： 问题 已知∠ABC与∠DEF，AB∥DE，EF∥BC，探究∠ABC与∠DEF的数量关系. 情况 ①两边方向均相同，射线BA与EF交于点O. ②一边方向相同，一边方向相反，射线EF与BA交于点P. ③两边方向均相反，点E在∠ABC的外部，反向延长射线EF交射线BA于点Q. 图示 结论 ∠ABC＝∠DEF ∠ABC＋∠DEF＝180° ∠ABC＝∠DEF 说理 因为AB∥DE， 所以∠E＝∠1 （依据）. 因为EF∥BC， 所以∠1＝∠B. 所以∠E＝∠B. 即∠ABC＝∠DEF. 因为AB∥DE， 所以∠DEF＝∠2. 因为EF∥BC， 所以∠2＝∠B. 所以∠DEF＝∠B. 即∠ABC＝∠DEF. 结论 若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为　相等或互补　. （1）情况①说理过程中的“依据”是：　两直线平行，同位角相等　； （2）请补全情况②的说理过程； 解：因为EF∥BC，所以∠B＝∠APE.因为AB∥DE，所以∠APE＋∠DEF＝180°.所以∠B＋∠DEF＝180°，即∠ABC＋∠DEF＝180°. （3）请补全小颖发现的结论. 2.如果两个角的差为30°，那么就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫作另一个角的“伙伴角”. 例如：α＝50°，β＝20°，α－β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”. （1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1＋∠2＝90°，则∠1的度数为　60°或30°　； 解析：分两种情况：①当∠1＞∠2时，∠2＝∠1－30°，所以∠1＋∠2＝∠1＋∠1－30°＝90°，所以∠1＝60°.②当∠1＜∠2时，∠2＝∠1＋30°，所以∠1＋∠2＝∠1＋∠1＋30°＝90°，所以∠1＝30°.综上所述，∠1的度数为60°或30°. （2）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点. ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数； ②如图2，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数. 解：①设∠A的度数为x.因为∠ACB＝90°，则∠ABC＝90°－x. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABE＝. 因为AB∥CM，所以∠BEC＝∠ABE＝. 因为∠A＞∠BEC，所以∠A－∠BEC＝30°，即x－＝30°. 解得x＝50°，所以∠A＝50°. ②∠A的度数为75°或15°. 图1 图2 解析：设∠A的度数为y.因为AB∥CM，所以∠ACE＝∠A＝y.因为CF平分∠ACE，所以∠ACF＝.由①可得∠CBF＝，所以∠BFC＝180°－∠CBF－∠ACF－90°＝45°.分两种情况：①当∠A＞∠BFC时，可得∠A＝75°.②当∠A＜∠BFC时，可得∠A＝15°.综上所述，∠A的度数为75°或15°. 3.如图，将一副三角尺中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°. 【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是　∠BCD＝∠ACE　；∠BCE与∠ACD的数量关系是　∠BCE＋∠ACD＝180°　； 【类比探究】（2）若保持三角尺ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角尺DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB？画出图形并简要说明理由； 解：分两种情况： ①如图1，当∠ACE＝∠A＝30°时，CE∥AB， 所以∠ACD＝∠DCE－∠ACE＝90°－30°＝60°. 图1　　图2 ②如图2，当∠BCE＝∠B＝60°时，CE∥AB， 所以∠ACD＝360°－∠ACB－∠BCE－∠DCE＝360°－90°－60°－90°＝120°. 综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB. 【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数，并直接写出此时DE与AC的位置关系. 解：设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α. 由（1）可知，∠BCE＋∠ACD＝180°， 所以3α＋α＝180°. 所以α＝45°，即∠ACD＝45°. 此时DE⊥AC或DE∥AC. 4.［厦门市改编］问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究.如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，过点A作BC的平行线l. 独立思考：（1）在图1中的直线l上取点E（点E在点A左侧），使AE＝BD，连接DE交AB于点F，得到图2.试判断EF与DF的数量关系，并说明理由； 解：EF＝DF.理由如下：因为直线l∥BC，所以∠AEF＝∠BDF，∠FAE＝∠FBD.因为AE＝BD，所以△AEF≌△BDF（ASA）.所以EF＝DF. （2）在图1中的直线l上取点G，H（点G，H分别在点A的两侧），使AG＝AH，连接DG交AB于点M，连接DH交AC于点N，得到图3.小宇发现GM＝HN，请你帮他说明理由； 解：理由如下：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.因为直线l∥BC，所以AD⊥直线l.所以∠DAG＝∠DAH＝90°.所以∠DAG－∠BAD＝∠DAH－∠CAD，即∠BAG＝∠CAH.因为AG＝AH，所以AD垂直平分GH.所以DG＝DH.所以∠AGD＝∠AHD.所以△AGM≌△AHN（ASA）.所以GM＝HN. 合作交流：（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究.若∠BAC＝40°，当△AGM是等腰三角形时，直接写出∠GDH的度数. 图1 图2 图3 解：∠GDH的度数为100°或70°或40°. 解析：因为∠BAC＝40°，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°.所以∠GAM＝∠GAD－∠BAD＝90°－20°＝70°.当△AGM是等腰三角形时，分三种情况： ①若AG＝GM，则∠AMG＝∠GAM＝70°，所以∠AGM＝180°－∠AMG－∠GAM＝40°.所以∠AHN＝∠AGM＝40°.所以∠GDH＝180°－∠AGM－∠AHN＝100°. ②若AG＝AM，则∠AGM＝∠AMG＝（180°－∠GAM）＝55°.所以∠AHN＝∠AGM＝55°.所以∠GDH＝180°－∠AGM－∠AHN＝70°. ③若AM＝GM，则∠AGM＝∠GAM＝70°.所以∠AHN＝∠AGM＝70°.所以∠GDH＝180°－∠AGM－∠AHN＝40°. 综上所述，∠GDH的度数为100°或70°或40°. 5.下图是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小方完成以下学习任务： （1）如图1，M，N分别是∠AOB边OA和OB上的点，OM＝ON，P是射线OC上一点，测得PM＝PN.请说明OP平分∠AOB； 解：因为OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP， 所以△OPM≌△OPN（SSS）. 所以∠MOP＝∠NOP. 所以OP平分∠AOB. （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＋BC，P为DC的中点，将四边形ABCD沿着AP翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC的位置关系，并说明理由； 解：AD∥BC.理由如下： 由翻折的性质可得PD＝PE，∠PDA＝∠PEA，AD＝AE. 因为AB＝AD＋BC，即AE＋BE＝AD＋BC， 所以BE＝BC. 因为P为DC的中点，所以PD＝PC. 因为PD＝PE.所以PE＝PC. 因为PE＝PC，BE＝BC，PB＝PB， 所以△PEB≌△PCB（SSS）.所以∠PEB＝∠PCB. 因为∠PDA＝∠PEA， 所以∠PDA＋∠PCB＝∠PEA＋∠PEB＝180°. 所以AD∥BC. （3）在（2）的条件下，若PB＝6，PA＝8，AB＝10，PE＝a，当△PBC其中一条边上的高为5时，请直接写出△PAD的面积.（可用含a的式子表示） 图1 图2 解：△PAD的面积为9或24－.　 解析：由翻折的性质可知∠APE＝∠DPA，S△PAD＝S△PAE，由（2）知△PEB≌△PCB，所以∠EPB＝∠BPC.所以2∠APE＋2∠EPB＝180°，即∠APE＋∠EPB＝∠APB＝90°.所以△ABP是直角三角形.所以△ABP的面积为PB•PA＝×6×8＝24.当△PBC其中一条边上的高为5时，分三种情况：①如图①，若PB边上的高为5时，即CF＝5，则△PBC的面积为PB•CF＝×6×5＝15.因为△PEB≌△PCB，所以△PBE的面积为15.所以△PAE的面积为24－15＝9.所以△PAD的面积为9.②如图②，若PC边上的高为5时，即BG＝5，所以PC＝PE＝a.所以△PBC的面积为PC•BG＝a×5＝a.因为△PEB≌△PCB，所以△PBE的面积为.所以△PAE的面积为24－.所以△PAD的面积为24－.③如图③，若BC边上的高为5时，即PH＝5，过点P作PM⊥AB交AB于点M.所以AB•PM＝PB•AP，即×10PM＝×6×8＝24.所以PM＝.因为△PEB≌△PCB，所以两个三角形对应边上的高相等.因为PM＝，PH＝5，所以PM≠PH.所以不存在此种情况.综上所述，△PAD的面积为9或24－. 图① 图② 图③ 学科网（北京）股份有限公司 $