提升练1 数形结合(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 以图形拼接为载体，系统构建“形直观→数表达→理推导”的数形结合方法体系，强化代数公式与几何图形的转化逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |初步体验|2题|图形面积解释整式乘法公式|从具体图形到抽象公式的生成| |实践操作|1题|逆向拼图验证因式分解|代数表达式到几何图形的转化| |实践探究|1题|面积差与参数无关的推理|动态图形中变量关系的推导| |解决问题|3题|多图形拼接推导多元公式|勾股定理与完全平方公式的联系| |创新设计|1题|自主拼图构建数学模型|知识迁移与创新应用能力培养|

提升练1　数形结合 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.［深圳市］数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导.在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2. 图1　图2　图3　图4　图5 【初步体验】（1）领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为　（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2　； （2）护航小组同学要拼成一个长为（a＋3b），宽为（a＋b）的长方形，那么需要A型卡片　1　张，B型卡片　3　张，C型卡片　4　张； 【实践操作】（3）从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2＋5ab＋2b2）的长方形，请在图4方框中画出你的拼图； 解：拼图如下： 解析：因为2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b），所以需要A型卡片2张，B型卡片2张，C型卡片5张，即拼成的长为2a＋b，宽为a＋2b的长方形. 【实践探究】（4）远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由. 解：a＝2b.理由如下：由图5可知，EF＝HG＝a＋2b，EH＝x，则阴影部分的面积S1与S2的差为2b（x－a）－a（x－3b）＝（2b－a）x＋ab，由于阴影部分的面积S1与S2的差与EH无关，即与x无关，所以2b－a＝0，即a＝2b. 2.（1）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，拼成如图2的长方形.比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到等式：　a2－b2＝（a＋b）（a－b）　（用字母a，b表示）； （2）将边长分别为a，b的正方形各1个，以及长为a，宽为b的长方形2个，拼接成正方形（如图3），则由图3可以得到等式：　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2　（用字母a，b表示）； 图1　图2　图3 小明将边长分别为a，b（a＞b）的正方形ABCD，EFGH按适当方式摆放，利用（1）（2）得到的等式很方便就能解决下面的问题，请你也来试试. （3）将正方形ABCD，EFGH按图4所示的方法摆放，其中边AB，GH在同一条直线上，且B点与H点重合，点M在AD上，点I在FG上，若两正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是　8　； （4）将图4中的正方形EFGH沿AG向下翻折，得到如图5，已知a＋b＝8，阴影部分的面积为15，求两正方形的面积和. 解：阴影部分的面积为15，所以ab＋ab＝15，即ab＝15. 因为a＋b＝8，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝64.所以a2＋b2＝64－2ab＝64－30＝34.所以两正方形的面积和为34. 图4 图5 3.［佛山市］数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化，例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式（a－b）2＝a2－2ab＋b2. 图1　图2　图3　图4　图5 【解决问题】（1）如图2，用四个全等的长方形（x，y为两条邻边长，且x＞y）拼成一个大正方形，内含一个小正方形，若大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下列关系式中，正确的是　①②③　；（填序号） ①x－y＝n；②xy＝；③x2－y2＝mn；④（x＋y）2＝m2＋n2. （2）用四个全等的直角三角形（a，b是直角边，c是斜边）和一个边长为c的正方形拼接成一个大正方形如图3所示，根据此图形，可以得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式，并说明理由； 解：a2＋b2＝c2.理由如下：因为图3中大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为c2，4个直角三角形的面积和为2ab，所以（a＋b）2＝c2＋2ab，即a2＋b2＝c2. （3）①如图4是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a＋b＋c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为　（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac　； ②已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，利用①中所得到的等式，求代数式a2＋b2＋c2的值. 解：因为a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，所以a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ac）＝121－76＝45. 【创新设计】（4）如图5，A型是边长为a的正方形，B型是长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个，请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于a，b的等式. 解：如图所示.（画图不唯一） 根据拼图，可得关于a，b的等式为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2. 学科网（北京）股份有限公司 $