突破练4 变量之间的关系的应用(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 以现实情境为载体，通过图表分析与实际问题解决，系统训练变量关系的识别、建模及应用，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |情境应用|4题（摩天轮/漏刻/燃气费/近视镜）|结合生活/传统文化/跨学科情境，考查变量识别与实际意义|从具体情境抽象自变量因变量，建立变量间关系（线性/分段/反比例）| |图表分析|2题（汽车行驶/长方形运动）|通过函数图像/表格数据，考查图像解读与动态变化分析|连接图像特征与变量关系，实现数形转化，培养几何直观与推理意识|

突破练4　变量之间的关系的应用 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.【问题情境】我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研.摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20 min. 图1 图2 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置时距地面的高度h（m）和所用的时间t（min）的数据，并绘制了图象如图1. 【问题研究】请根据图1中信息回答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是　时间　，因变量是　高度　； （2）摩天轮最高点距地面　103　m，摩天轮最低点距地面　3　m； 【问题解决】（3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需5 min，求这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度.（结果保留π） 解：因为摩天轮最高点距地面103 m，最低点距地面3 m，所以摩天轮的直径是100 m. 100π÷20×5＝25π（m）. 答：所走的路径的长度是25π m. 2.中华优秀传统文化漏刻 漏刻是我国古代的一种计时工具，根据等时性原理滴水计时.如图，一实验小组依据漏刻的基本原理制作了一个底面积为2 cm2，容积为20 cm3的圆柱形漏刻模型（如图，浮子体积忽略不计），观测并记录了水位h（cm）与时间t（min）之间的数据如下： t/min 0 1 2 3 4 5 … h/cm 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … （1）上表中的自变量是　时间　，因变量是　水位　； （2）当时间为7 min时，水位是　2.75　cm； （3）当h＝7 cm时，求对应的时间t，并说明它的实际意义. 解：因为摩天轮最高点距地面103 m，最低点距地面3 m，所以摩天轮的直径是100 m. 100π÷20×5＝25π（m）. 答：所走的路径的长度是25π m. 3.某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用燃气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.设小丽家每月用气量为x立方米，应缴燃气费y元. （1）若小丽家某月用气量为80立方米，则小丽家该月应缴燃气费多少元？ 解：50×0.8＋（80－50）×1.2＝40＋36＝76（元）. 答：小丽家该月应缴燃气费76元. （2）试写出y与x（x＞50）之间的关系式. 解：由题意，得y＝50×0.8＋1.2（x－50）＝1.2x－20. （3）若小丽家4月份的燃气费为88元，则她家4月份所用燃气为多少立方米？ 解：因为50×0.8＝40＜88， 所以她家4月份所用燃气超过50立方米. 所以1.2x－20＝88.解得x＝90. 答：她家4月份所用燃气为90立方米. （4）已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的燃气？ 解：由题意，得1.2x－20＝0.95x.解得x＝80. 答：6月份小丽家用了80立方米的燃气. 4.跨学科物理 小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小.此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据： 镜片度数y∕度 … 400 625 800 m … … 0.25 0.16 0.125 0.10 … 为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象，并给出了它们的关系式，如图. （1）m的值是　1 000　； （2）小亮的近视眼镜是200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的； 解：镜片到光斑的距离为0.5 m.理由如下：根据题意，得y与x之间的关系式为y＝.将y＝200代入y＝，得200＝.解得x＝0.5.所以其镜片到光斑的距离为0.5 m. （3）根据图表中的信息，发现随着x的逐渐变大，y的变化趋势是　逐渐变小　； （4）你来预测一下，如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？（直接写结论，无需解释） 解：不会有光斑存在. 5.如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图2所示. （1）A，B两地之间的距离为　150　千米； （2）图中点M代表的实际意义是什么？ 解：M表示乙车到达C地的时间. （3）分别求出甲、乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离C地多少千米. 图1　　图2 解：由图象可知，v甲＝60千米/时，v乙＝＝75（千米/时）.设t小时相遇，则（60＋75）t＝150，所以t＝，此时乙车行驶了75×＝（千米）.而B地距离C地90千米，故他们的相遇点距离C地90－＝（千米）. 6.［郑州市］在图1长方形ABCD中，AD＝24 cm，点P从点A出发，沿A→B→C→D的路线以每秒3 cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动.图2是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象. （1）在上述变化过程中，自变量是　时间　，因变量是　△APD的面积　；根据题目提供的信息，可得a＝　360　，b＝　18　； （2）点P在CD上运动时，PD的长度y（cm）与点P的运动时间x（s）的关系式为　y＝－3x＋84　； （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 图1 图2 解：从图中可知，AB＝10×3＝30（cm），所以S长方形ABCD＝AD•AB＝720 cm2，所以S长方形ABCD＝180 cm2.又因为点P在BC上运动时，△APD的面积S保持不变，此时S△APD＝360 cm2，所以当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，点P在AB上运动或在CD上运动.分两种情况：①当点P在AB上运动时，运动的路程AP＝3x cm，其中0＜x≤10，所以S△APD＝AP•AD＝×3x×24＝36x cm2.根据题意，得36x＝180.解得x＝5.②当点P在CD上运动时，其中18≤x≤28，且由（2）可得S△APD＝PD•AD＝（－3x＋84）×24＝－36x＋1 008.根据题意，得－36x＋1 008＝180.解得x＝23.综上所述，点P出发5秒或23秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的. 学科网（北京）股份有限公司 $