突破练3 全等三角形的应用(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦全等三角形判定应用，通过真实情境与方法提炼构建“判定方法-情境应用-辅助线技巧”的完整训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1题|SSS判定证角相等|从边的关系推导全等，建立“边边边”判定与角相等的关联| |开放设计|1题|SAS/ASA/AAS方案设计|通过测量情境开放全等条件，强化判定方法的灵活选择| |情境综合|1题|AAS/ASA解决动态几何问题|结合海盗船摆动抽象几何模型，培养模型意识与空间观念| |方法拓展|1题|倍长中线法构造全等|提炼辅助线技巧，实现分散条件集中，提升推理能力|

突破练3　全等三角形的应用 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.［西安市］如图是某社区生态景观区的平面示意图.景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），BD，CD是两条通往观景台的步行道.小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求∠ABD＝∠ACD.于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示. 所测的量 AE BE BD CD CF AF 长度/m 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00 小梧将示意图抽象成如图的几何图，并连接AD.请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 解：因为AC＝AF＋CF＝24＋6＝30（m），AB＝AE＋BE＝15＋15＝30（m），所以AC＝AB. 因为BD＝17.32 m，CD＝17.32 m，所以BD＝CD. 在△ABD和△ACD中，因为AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，所以△ABD≌△ACD（SSS）. 所以∠ABD＝∠ACD. 所以该广角灯的位置符合要求. 2.新考法开放性试题 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案. 图1　图2　图3 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B间的距离. 乙：如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使　CD＝BC　，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B间的距离. 丙：如图3，过点B作BD⊥AB，在AB的延长线上取一点C，使　AD＝CD（或∠BDC＝∠BDA）　，这时只要测出BC的长即为A，B间的距离. （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； （2）请你选择其中一种方案进行说明. 解：选择甲：在△ABC和△DEC中，因为AC＝DC，∠ACB＝∠ECD，BC＝EC，所以△ABC≌△DEC（SAS）.所以AB＝ED. （或选择乙：因为AB⊥BD，DE⊥BD，所以∠B＝∠CDE＝90°.在△ABC和△EDC中，因为∠B＝∠CDE，CB＝CD，∠ACB＝∠ECD，所以△ABC≌△EDC（ASA）.所以AB＝ED. 或选择丙：①当AD＝CD时，则∠A＝∠C.因为BD⊥AC，所以∠ABD＝∠CBD＝90°.在△ABD和△CBD中，因为∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠C，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD（AAS）.所以AB＝BC.②当∠BDC＝∠BDA时，因为BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，所以△ABD≌△CBD（ASA）.所以AB＝CB.） 3.真实情境　 海盗船 小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成.游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中.当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点O位于铅垂线OC上，两条摆臂OA和OB均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同. 　图1　图2　图3 小明在乘坐过程中遇到了下列问题： （1）如图2，当海盗船右侧船头转到最高点B′时，从左侧船头A′看最高点B′的仰角为23°，即∠B′A′D＝23°，已知两摆臂之间的夹角∠A′OB′＝50°，求海盗船的最大摆角∠COB′的度数. 解：因为OA′＝OB′，∠A′OB′＝50°，所以∠OA′B′＝∠OB′A′＝＝65°. 所以∠OA′D＝∠B′A′D＋∠OA′B′＝23°＋65°＝88°. 因为OE∥A′D，所以∠A′OE＝180°－∠OA′D＝92°. 因为∠COE＝90°，所以∠A′OC＝92°－90°＝2°.所以∠COB′＝50°－2°＝48°. （2）如图3，已知转轴O到地面的距离OC＝10 m，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，此时测得点P到地面的距离PF＝7 m；当左侧船头摆动到点P′处时，PO⊥P′O.求点P′到OC的距离. 解：如图，过点P′作P′M⊥OC于点M，过点P作PN⊥OC于点N.因为PO⊥P′O，P′M⊥OC，PN⊥OC，所以∠PNO＝∠P′MO＝∠POP′＝90°. 所以∠OP′M＋∠P′OM＝∠NOP＋∠P′OM＝90°.所以∠OP′M＝∠NOP. 在△OP′M和△PON中，因为∠OP′M＝∠PON，∠OMP′＝∠PNO，OP′＝OP，所以△OP′M≌△PON（AAS）.所以P′M＝ON，PF＝7 m.所以NC＝PF＝7 m.因为OC＝10 m，所以ON＝OC－CN＝3 m.所以P′M＝3 m. 答：点P′到OC的距离为3 m. 4.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”. 【初步感知】（1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE.可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10.这样就能把线段AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是　2＜AD＜8　； 解：如图，延长AD，EC交于点F.因为BC的中点为D，所以BD＝CD.在△ADB和△FDC中，因为∠B＝∠DCF＝90°，BD＝CD，∠ADB＝∠FDC，所以△ADB≌△FDC（ASA）.所以AD＝DF，CF＝AB＝10.8 m.因为CE＝20.2 m，所以EF＝CE＋CF＝31 m.在△ADE和△FDE中，因为∠ADE＝∠FDE＝90°，AD＝FD，DE＝DE，所以△ADE≌△FDE（SAS）.所以AE＝EF＝31 m. 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆AB顶端和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8 m，教学楼高度CE＝20.2 m，求AE的长. 图1 图2 学科网（北京）股份有限公司 $