精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题B卷

重庆八中2025—2026学年度（下）半期考试高一年级 数学试题B卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行系数关系计算求解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 2. 已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义可知，结合抛物线方程运算求解即可. 【详解】由抛物线可知，准线为. 设，根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以到轴的距离为. 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确； 对于B：若，，则或者与相交，故错误； 对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误； 对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误. 4. 椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用椭圆定义得出，又，得出焦半径范围即可. 【详解】由题意及椭圆的定义可知， 即，又， . 则椭圆焦半径范围为. 5. 如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数恒等变换中的和差公式求出，在中使用正弦定理，可得，进而可求建筑物的高度为. 【详解】在中，，，， ， 由正弦定理，得， 所以建筑物的高度为． 故选：A． 6. 2025年春晚节目（借伞）中，精美的西湖绸伞成为舞台亮点.2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为24cm的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为32光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的通径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断伞柄底端为圆形伞面的投影椭圆的中心，求出椭圆的短半轴长和长半轴长，代入通径公式计算即得. 【详解】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），且光线与圆形平面垂直， 所以伞面在地面的投影椭圆的短半轴长为，因为伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 根据相似的性质，可知伞柄底端为椭圆的中心，且. 所以椭圆的通径. 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线定义，可得，进而可得，化简可得，所以，令，换元后可得，根据函数单调性，即可求得其最值. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，即， 由椭圆与双曲线的定义可得可得，， 因为，所以，则，即，故， 又，，则， 所以， 令，则， 设函数， 则， 因为，所以， 所以函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，先将的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），最后将得到的曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则正确的选项为（ ） A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由三角函数平移，伸缩变换知识可判断选项正误.对于CD，由正弦函数单调性，对称中心可判断选项正误. 【详解】对于AB，将图象向右移动个单位后，图象对应解析式为， 随后将上各点的横坐标变为原来的，图象对应解析式为， 最后将上各点的纵坐标变为原来的2倍，图象对应解析式为， 即故A正确，B错误； 对于CD，令， 则的单调递增区间为：故C正确； 的对称中心横坐标满足：， 又显然的对称中心纵坐标为0，则的对称中心为，故D正确. 10. 已知点为曲线图象上的动点，直线，曲线，下列说法正确的是（ ） A. 不存在定点，使得等于到直线的距离 B. 存在定点，使得等于到直线的距离 C. 曲线与曲线有两个不同的交点 D. 曲线与曲线有四个不同的交点 【答案】BC 【解析】 【分析】抛物线向左平移1个单位，并向上平移2个单位得到曲线,从而可求出曲线焦点坐标，准线方程，由抛物线定义即可判断A，B； 先将化为，即曲线为两直线，,将直线方程与联立即可得解. 【详解】抛物线向左平移1个单位，并向上平移2个单位得到曲线， 故曲线焦点为，准线方程为，即定点符合题意，选项B正确，A错误； 因为可化为， 即曲线为两条直线，. 与联立得，化简得，故与有一个交点； 同理与有一个交点. 曲线与曲线有两个不同的交点，选项C正确，D错误. 11. 如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为2 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量法分析A选项，选项B结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析求解，选项C找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算即可，选项D根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系， ，设， 对于A，由， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，过作垂足为，如图所示： 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又，故，又， ，平面，所以平面，平面， 故，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 而，故此时的轨迹方程为， 联立得，， 因为平面，平面，所以， 根据二面角定义可知是二面角的平面角， 则，故B正确； 对于C，由直角三角形外心为中点，设外接球心为， 由球心到各点距离相等得，即，解得， 所以半径，体积，故C错误； 对于D，因为，， 所以的坐标中，故， 因为的轨迹方程为， 设， 得， 由得，故， 所以，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系结合角的范围可得和，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，且，，， 所以. 13. 圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 14. 为平面直角坐标系的原点，，，动点满足，且实数满足，动点的轨迹与圆有4个交点时，的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据条件写出点的轨迹方程，知其轨迹为椭圆，将该椭圆的标准方程转化为参数方程表示任意一点，根据两点间的距离公式计算最值，并结合图形判断即可； 方法二：联立椭圆与圆方程，此时有上下个交点，半径继续增大，满足题意，有个交点，当半径增大到圆过椭圆右顶点时个交点，半径继续增大，交点个数始终小于个. 【详解】方法一： 设坐标，则，，则. 又因为，所以. 因为的轨迹与圆有个交点， 所以圆与椭圆相交且不能相切， 结合图形可得，需使该圆的半径大于圆心到椭圆上点的最小距离，且小于椭圆右顶点到圆心的距离. 设椭圆上任意一点的坐标为，, 该点到圆心的距离， 因为，所以当时，；当时，. 右顶点到圆心的距离为，所以. 的取值范围为. 方法二：易知圆心在椭圆内部且在轴上，当半径很小时，无交点，半径逐渐增大， 首先与椭圆上下相切.联立椭圆与圆方程得：， ，.此时两者个交点，半径继续增大，两者出现4个交点， 当半径继续增大到圆过椭圆右顶点时，，此时个交点，半径再继续增大，交点个数始终小于个. 综上，的范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【小问1详解】 由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. 【小问2详解】 如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合可得，据此可得答案； （2）由（1）结合可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又因所以， 即， 又因，所以 又因，所以， 【小问2详解】 由题，，所以，又因，所以， ， 整理得. 17. 设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，运用相关点法即可解决； （2）设，利用点差法得到，所以直线方程为与椭圆方程联立，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，原点到直线的距离：，即可求的面积. 【小问1详解】 设，则，由，得， 得，而是圆上的动点，所以，即 【小问2详解】 设，即①，② 两式相减得到， 即 所以， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理：， 所以， 原点到直线的距离：， 所以. 18. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，在上，，在上，，在上，，为棱上的动点，，分别是二面角和二面角的平面角. （1）当为棱的中点时， （i）求与面所成角大小； （ii）为底面（包括边界）内的一个动点，且到平面的距离等于到直线的距离，当最大时，确定的位置； （2）当最小时，求. 【答案】（1）（i）；（ii）在上，且； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先利用勾股定理逆定理判断底面为矩形，再结合直四棱柱的性质建立空间直角坐标系，将线面垂直的几何证明转化为向量点积为零的代数运算，最终推得线面角为 ； （ii）确定 的轨迹方程，由 ，结合最大时，最大即可求解； （2）作, ，连接，得到 , . 设 , , ，再由两角和的正切公式得到，进而可求解． 【小问1详解】 （i）因为，所以，所以， 又底面为平行四边形，所以底面为矩形， 因为为直四棱柱，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，， 所以，又为平面内两条相交直线，所以平面； 与面所成角大小为． （ii）因为平面，平面，所以平面平面， 过在底面内作， 因为平面平面，所以平面， 即到平面为，到直线的距离为，由题可知， 设，， 则， 所以，故， ，最大时，最大， . 当，最大，即最大，此时， 在上，且时，最大； 【小问2详解】 作，连接， 因为，且为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内，所以， 由直角三角形面积易得：， 因为，为平面内两条相交直线， 所以平面，同理平面，所以，所以四边形是矩形， 所以，因为，所以， 所以二面角的平面角即为，同理二面角的平面角即为， 当与（或）重合时，，. 当不与（或）重合时，设，,, 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，最小时，最小，此时， 综上． 19. 已知为平面直角坐标系的原点，离心率为的双曲线的右顶点为. （1）求的方程； （2）设过点的直线交的右支于，左支于，过且垂直于轴的直线与直线交于点. （i）用表示点到的距离； （ii）线段的中点为，是否存在异于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）到的距离为（ii）存在定点 【解析】 【分析】(1) 根据双曲线的定义求解即可； (2)（i）直线和双曲线联立后，结合韦达定理表示即可；（ii）根据中点的关系求出点的轨迹方程，由找到对称点即可. 【小问1详解】 由题可知， 所以，所求方程为： 【小问2详解】 （i）记，直线 ， 联立，整理得 ， ， 所以 因为在左支，到的距离为 （ii）存在定点，理由如下： 直线，所以， 于是线段的中点为 . ， 即点在直线上， 设点关于的对称点为， 则，故，当点坐标为时，成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025—2026学年度（下）半期考试高一年级 数学试题B卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春晚节目（借伞）中，精美的西湖绸伞成为舞台亮点.2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为24cm的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为32光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的通径为（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，先将的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），最后将得到的曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则正确的选项为（ ） A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于对称 10. 已知点为曲线图象上的动点，直线，曲线，下列说法正确的是（ ） A. 不存在定点，使得等于到直线的距离 B. 存在定点，使得等于到直线的距离 C. 曲线与曲线有两个不同的交点 D. 曲线与曲线有四个不同的交点 11. 如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为2 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，则__________. 13. 圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 14. 为平面直角坐标系的原点，，，动点满足，且实数满足，动点的轨迹与圆有4个交点时，的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 17. 设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 18. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，在上，，在上，，在上，，为棱上的动点，，分别是二面角和二面角的平面角. （1）当为棱的中点时， （i）求与面所成角大小； （ii）为底面（包括边界）内的一个动点，且到平面的距离等于到直线的距离，当最大时，确定的位置； （2）当最小时，求. 19. 已知为平面直角坐标系的原点，离心率为的双曲线的右顶点为. （1）求的方程； （2）设过点的直线交的右支于，左支于，过且垂直于轴的直线与直线交于点. （i）用表示点到的距离； （ii）线段的中点为，是否存在异于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $