北京市东城区景山学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

北京市东城区景山学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1．（2分）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B． C． D． 2．（2分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2026x﹣1 C．xy＝﹣2026 D． 3．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　） A．34° B．46° C．56° D．66° 4．（2分）关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．图象与x轴有一个交点 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．如果点A（﹣1，y1）和点B（﹣3，y2）均在该函数的图象上，那么y1＞y2 5．（2分）观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是（　　） A．如图1，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴＝ B．如图2，∵＝，∴AB＝CD C．如图3，∵＝40°，∴∠AOB＝80° D．如图4，∵MN垂直平分AD，∴＝ 6．（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．（2分）如图，在△AOC中，OA＝3，OC＝1，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　） A． B．2π C． D． 8．（2分）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题2分） 9．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3），则k＝　 　 ． 10．（2分）如图，将紫荆花图案绕中心旋转n度后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为　 　 °． 11．（2分）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是　 　 ． 12．（2分）如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为　 　 cm． 13．（2分）已知点 A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3之间的大小关系为 　 　 .（请用“＜”连接） 14．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 　 　 （填序号）． ①点A与点A′是对应点； ②BO＝B'O； ③AB∥A′B′； ④∠ACB＝∠C′A′B′． 15．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　 　 ． 16．（2分）如图，平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°得到△CP2B，把△CP2B绕点C顺时针旋转180°得到△CP3D，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2026的坐标为　 　 ． 三、解答题（17-22题每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分） 17．（5分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB1C1（点B1，C1分别是B，C的对应点），在图中画出△AB1C1； （2）在图中画出△ABC关于点O中心对称的△A2B2C2（点B2，C2分别是B，C的对应点），点C2的坐标是 　 　 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点C1，A2关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 　 　 ． 18．（5分）已知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点（1，1）． （1）求y关于x的表达式； （2）当y＝4时，求x的值． 19．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB长为6米，点C为运行轨道的最低点，OC⊥AB于D，点C到水面的距离是1米，求⊙O的半径． 20．（5分）已知如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 21．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°，求证： （1）AD＝CD； （2）AB是⊙O的直径． 22．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．若AB＝3，BC＝4，求BD的长．（提示：可连接BE） 23．（6分）如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4． （1）求⊙O的半径． （2）A，B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由． 24．（6分）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A和B（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝的图象上． （1）求反比例函数的表达式和点P的坐标； （2）求△AOP的面积． 25．（6分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，求AC的长． 26．（6分）综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； （3）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （4）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 27．（7分）如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF． （1）求证：BE＝AF； （2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M．若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转90°得到点P′，点N为线段MQ的中点（点N不与点P′重合），则称线段P′N的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为d（P，M，Q）． （1）已知点A（﹣1，0），B（2，0）． ①若点C（0，2），则d（A，C，B）为　 　 ； ②若点C为y轴上一动点，则d（A，C，B）的最小值为　 　 ． （2）若OA＝2，OC＝1，直接写出d（A，C，O）的取值范围． 北京市东城区景山学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D B B B A 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1．（2分）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断． 【解答】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形是中心对称图形，符合题意； C、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 2．（2分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2026x﹣1 C．xy＝﹣2026 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【解答】解：A、，是反比例函数，不符合题意； B、y＝﹣2026x﹣1，即，是反比例函数，不符合题意； C、xy＝﹣2026，即，是反比例函数，不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的形式为，xy＝k或y＝kx﹣1，其中k为常数且k≠0是解题的关键． 3．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　） A．34° B．46° C．56° D．66° 【答案】C 【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACD＝34°， ∴∠ABD＝34° ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°， 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（2分）关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．图象与x轴有一个交点 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．如果点A（﹣1，y1）和点B（﹣3，y2）均在该函数的图象上，那么y1＞y2 【答案】D 【分析】先由解析式得到k＝﹣2026＜0，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【解答】解：A、∵反比例函数为，k＝﹣2026＜0， ∴反比例函数图象在第二、四象限，原说法错误，不符合题意； B、∵反比例函数中，y恒不为0， ∴图象与x轴没有交点，原说法错误，不符合题意； C、∵k＜0时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； D、∵点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）都在第二象限的函数图象上，且﹣1＞﹣3， ∴y1＞y2，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 5．（2分）观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是（　　） A．如图1，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴＝ B．如图2，∵＝，∴AB＝CD C．如图3，∵＝40°，∴∠AOB＝80° D．如图4，∵MN垂直平分AD，∴＝ 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可判断A、选项B、选项C，根据垂径定理即可判断选项D． 【解答】解：A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故本选项不符合题意； B．∵＝， ∴＝（都加上）， ∴AB＝CD，故本选项符合题意； C．∵＝40°， ∴∠AOB＝40°，故本选项不符合题意； D．由MN垂直平分AD不能推出＝，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系和垂径定理是解此题的关键． 6．（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论． 【解答】解：线段NN1，线段PP1的垂直平分线的交点为点B，故点B为旋转中心． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 7．（2分）如图，在△AOC中，OA＝3，OC＝1，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　） A． B．2π C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可以得到在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵△AOC≌△BOD， ∴在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积﹣＝2π， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键． 8．（2分）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案． 【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a， 当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2， 由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大； 当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与横轴平行的线段； 当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应该为一段下降的线段； 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式． 二、填空题（每小题2分） 9．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3），则k＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【分析】直接把点（1，﹣3）代入反比例函数y＝即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝，解得k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 10．（2分）如图，将紫荆花图案绕中心旋转n度后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为　72　 °． 【答案】72． 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为72． 故答案为：72． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 11．（2分）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是y＝﹣　 ． 【答案】y＝﹣． 【分析】先根据反比例函数的图象在第二象限可知，k＜0，再根据矩形面积是4可知k＝﹣4，故可得出解析式． 【解答】解：∵点P是反比例函数y＝图象上的一点，函数的图象在第二象限， ∴k＜0， ∵矩形面积是4可知k＝﹣4， ∴反比例函数的解析式为：y＝﹣， 故答案为：y＝﹣． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟知过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键． 12．（2分）如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为　12　 cm． 【答案】12． 【分析】OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，得OC＝OB＝10cm，∠OMC＝90°，CM＝DM＝CD，由OM：MB＝4：1，求得OM＝OB＝8cm，所以CM＝＝6cm，则CD＝2CM＝12cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M， ∴OC＝OB＝10cm，∠OMC＝90°，CM＝DM＝CD， ∵OM：MB＝4：1， ∴OM＝OB＝OB＝×10＝8（cm）， ∴CM＝＝＝6（cm）， ∴CD＝2CM＝12cm， 故答案为：12． 【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，推导出CM＝DM＝CD，并且正确地求出CM的长是解题的关键． 13．（2分）已知点 A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3之间的大小关系为 y1＜y2＜y3 .（请用“＜”连接） 【答案】y1＜y2＜y3． 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答． 【解答】解：∵k＜0， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵﹣2＜0＜1＜2， ∴点C（﹣2，y3）在第二象限，点A（1，y1）、B（2，y2）在第四象限， ∴y1＜y2＜0＜y3， ∴y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 14．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 　①②③　 （填序号）． ①点A与点A′是对应点； ②BO＝B'O； ③AB∥A′B′； ④∠ACB＝∠C′A′B′． 【答案】①②③． 【分析】利用中心对称的性质解决问题即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查中心对称，全等三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 15．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　6　 ． 【答案】6． 【分析】作直径DE，连接BE，根据圆周角定理得出∠A＝∠E，∠EBD＝90°，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝60°＝∠E，解直角三角形求出BD即可． 【解答】解：如图，作直径DE，连接BE， 则由圆周角定理得：∠A＝∠E，∠EBD＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠E＝60°， ∵⊙O的半径为6， ∴DE＝12， ∴BD＝DE×sin∠E＝12×sin60°＝12×＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解题的关键． 16．（2分）如图，平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°得到△CP2B，把△CP2B绕点C顺时针旋转180°得到△CP3D，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2026的坐标为　（8102，2）　 ． 【答案】（8102，2）． 【分析】根据所给旋转方式，依次求出点P1，P2，P3，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵A（0，0），B（4，0）且△AP1B是以点P1为顶点的等腰直角三角形， ∴P1（2，﹣2）． ∵△CP2B由△AP1B绕点B旋转180°得到， 则点P2和点P1关于点B对称， ∴P2（6，2）， 依此类推，P3（10，﹣2），P4（14，2），…， 所以点Pn的横坐标为4n﹣2，当n为奇数时，纵坐标为﹣2，当n为偶数时，纵坐标为2． 当n＝2026时， 点P2026的横坐标为：4×2026﹣2＝8102，纵坐标为2， 所以点P2026的坐标为（8102，2）． 故答案为：（8102，2）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出点Pn的横坐标为4n﹣2，当n为奇数时，纵坐标为﹣2，当n为偶数时，纵坐标为2是解题的关键． 三、解答题（17-22题每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分） 17．（5分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB1C1（点B1，C1分别是B，C的对应点），在图中画出△AB1C1； （2）在图中画出△ABC关于点O中心对称的△A2B2C2（点B2，C2分别是B，C的对应点），点C2的坐标是 　（3，﹣6）　 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点C1，A2关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 　（2，0）　 ． 【答案】（1）见解答；（2）图形见解答，（3，﹣6）；（3）（2，0）． 【分析】（1）将点B、C分别绕点A顺时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于点O中心对称的对应点，再首尾顺次连接即可得出答案； （3）由图形可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求． （2）如图所示，△A2B2C2即为所求，其中点C2的坐标是（3，﹣6）， 故答案为：（3，﹣6）； （3）由图知，点C1，A2关于点（2，0）成中心对称， 故答案为：（2，0）． 【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质． 18．（5分）已知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点（1，1）． （1）求y关于x的表达式； （2）当y＝4时，求x的值． 【答案】（1）y＝； （2）x＝﹣． 【分析】（1）根据已知可设y＝，然后把（1，1）代入进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵y与x+1成反比例， ∴y＝， ∵函数图象经过点（1，1）， ∴1＝， 解得：k＝2， ∴y＝； （2）当y＝4时，4＝， 解得：x＝﹣． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB长为6米，点C为运行轨道的最低点，OC⊥AB于D，点C到水面的距离是1米，求⊙O的半径． 【答案】5米． 【分析】连接OA，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝3（米），再根据勾股定理得求解即可． 【解答】解：如图1，连接OA， 由题意得：OA＝OC＝1+OD，OC⊥AB， ∴OD＝OA﹣1， ∴AD＝BD＝AB＝3（米），∠ADO＝90°， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2， ∴OA2＝（OA﹣1）2+32， ∴OA＝5（米）， 即⊙O的半径为5米． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 20．（5分）已知如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用已知求出反比例函数的解析式，再利用两函数交点求出一次函数解析式； （2）利用函数图象求出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【解答】解：（1）据题意，反比例函数的图象经过点A（﹣2，1）， ∴有m＝xy＝﹣2 ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 又反比例函数的图象经过点B（1，n） ∴n＝﹣2， ∴B（1，﹣2） 将A、B两点代入y＝kx+b，有， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1， （2）一次函数的值大于反比例函数的值时， x取相同值，一次函数图象在反比例函数上方即一次函数大于反比例函数， ∴x＜﹣2或0＜x＜1， 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点，同学们应重点掌握． 21．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°，求证： （1）AD＝CD； （2）AB是⊙O的直径． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得∠1＝∠ACD＝25°，再由∠ABC＝50°可计算出∠2＝50°﹣25°，则＝，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD＝CD； （2）根据三角形内角和定理可计算出∠ADB＝180°﹣∠1﹣∠BAD＝90°，则根据圆周角的推理即可得到AB为⊙O的直径． 【解答】证明：（1）连接BD，如图， ∵∠1＝∠ACB＝25°， 而∠ABC＝50°， ∴∠2＝50°﹣25°， ∴∠1＝∠2， ∴＝， ∴AD＝CD； （2）∵∠BAD＝65°，∠1＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣∠1﹣∠BAD＝90°， ∴AB为⊙O的直径． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 22．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．若AB＝3，BC＝4，求BD的长．（提示：可连接BE） 【答案】5． 【分析】连接BE，由旋转的性质得出∠BCE＝60°，CB＝CE，AE＝BD，得出△BCE是等边三角形，求出∠ABE＝90°，由勾股定理可求出答案． 【解答】解：连接BE，如图所示， ∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝30°， ∴∠BCE＝60°，CB＝CE，AE＝BD， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°，BE＝BC＝4， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝30°+60°＝90°， ∴AE＝＝＝5， 又∵AE＝BD， ∴BD＝5． 【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23．（6分）如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4． （1）求⊙O的半径． （2）A，B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上． 【分析】（1）连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，先根据垂径定理得到AF＝BF＝10，再利用勾股定理得到102+（r﹣4）2＝r2，然后解方程即可； （2）先根据垂径定理得到＝，∠A＝∠DBA，再证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，所以DB＝DE＝DA，于是可判断A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上． 【解答】解：（1）连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4， ∵AB⊥CD， ∴AF＝BF＝AB＝10， 在Rt△OBF中，102+（r﹣4）2＝r2， 解得r＝， 即⊙O的半径为； （2）A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上． 理由如下： ∵AB⊥CD， ∴＝， ∴BD＝AD，∠A＝∠DBA， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠C＝∠A， ∴∠C＝∠DBA， ∴∠DBA+∠ABE＝∠C+∠CBE， ∵∠DEB＝∠C+∠CBE， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DB＝DE， ∴DB＝DE＝DA， ∴A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和垂径定理． 24．（6分）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A和B（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝的图象上． （1）求反比例函数的表达式和点P的坐标； （2）求△AOP的面积． 【答案】（1）（1，4）； （2）． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把P（1，m）代入到求得的解析式，即可求得m的值； （2）根据函数的对称性求得A的坐标，即可根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP＝S△AOC+S△POC求得即可． 【解答】解．（1）把点B（4，1）代入y＝，得k＝4， ∴反比例函数的表达式为y＝， ∵把P（1，m）代入y＝得：m＝＝4， ∴点P坐标为（1，4）； （2）∵点A与点B关于原点对称，点B（4，1）， ∴点A（﹣4，﹣1）， 设AP与y轴交于点C，直线AP的函数关系式为y＝ax+b， 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）分别代入得，， 解得， ∴直线AP的函数关系式为y＝x+3， ∴点C的坐标（0，3）， ∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝+＝． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 25．（6分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，求AC的长． 【答案】AC的长为． 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，首先，通过垂径定理确定OD与AC的关系，然后利用全等三角形的性质证明DF与BC相等，最后通过勾股定理计算AC的长度即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：如图，连接OD，交AC于F， ， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OF是△ABC的中位线， ∴， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵E是BD的中点， ∴DE＝BE， 在△EFD和△ECB中， ， ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， ∵AC2＝AB2﹣BC2， ∴． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，垂径定理，熟知以上知识是解题的关键． 26．（6分）综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； （3）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （4）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【答案】（1）如图： ； （2）y与x的函数关系式为：； （3）当砝码质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm； （4）在移动前托盘B中的砝码质量25g． 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当y＝24时，，求解即可； （4）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）如图： ； （2）由图象猜测y与x之间是反比例函数关系， 设函数表达式， 将（10，30）代入，得， 解得k＝300， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （3）当y＝24时得，24＝， 解得x＝12.5， ∴活动托盘B与点O的距离是12.5cm； （4）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm， 由题意得：ma＝300，2m（a﹣6）＝300， 解得m＝25， ∴在移动前托盘B中的砝码质量25g． 【点评】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． 27．（7分）如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF． （1）求证：BE＝AF； （2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M．若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解答； （2）CE＝2MF+DE，证明见解答． 【分析】（1）由等边三角形的性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，由旋转得CE＝CF，∠FCE＝60°，则∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE，即可根据“SAS”证明△BCE≌△ACF，则BE＝AF； （2）作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°，而AM＝GM，∠AMH＝∠GMC，即可根据“AAS”证明△AMH≌△GMC，得HM＝CM，再根据“ASA”证明△BCD≌△ACH，得CD＝CH，所以DE＝HF，因为CF＝2MF+DE，所以CE＝2MF+DE．另一种解法是，在MC上取一点N，使MN＝MF，连接CN，可证明△AMF≌△GMN，得AF＝GN，∠AFM＝∠GNM，再证明△BDE≌△GCN，得DE＝CN，则CE＝CF＝FN+CN＝2MF+DE． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠FCE＝60°， ∴∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝AF． （2）解：CE＝2MF+DE， 证明方法一：作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°， ∵M为AG的中点，∴AM＝GM， ∵∠AMH＝∠GMC， ∴△AMH≌△GMC（AAS）， ∴HM＝CM， ∵∠CBD＝60°， ∴∠CBD＝∠CAH， 由旋转得∠BCD＝∠ACH， ∵BC＝AC， ∴△BCD≌△ACH（ASA）， ∴CD＝CH， ∵CE＝CF， ∴CD﹣CE＝CH﹣CF， ∴DE＝HF， ∵CF＝MF+CM＝MF+HM＝MF+MF+HF＝2MF+DE， ∴CE＝2MF+DE． 证明方法二：在MC上取一点N，使MN＝MF，连接CN， ∵M为AG的中点， ∴AM＝MG， ∵∠AMF＝∠GMN，MF＝MN， ∴△AMF≌△GMN（SAS）， ∴AF＝GN，∠AFM＝∠GNM， 由（1）得△BCE≌△ACF， ∴∠BEC＝∠AFC， ∵∠BED+∠BEC＝180°，∠GNC+∠MNG＝180°， ∴∠BED＝∠GNC， ∵∠BDE＝120°﹣∠BCD，∠NCG＝120°﹣∠BCD， ∴∠BDE＝∠NCG， ∵BE＝GN， ∴△BDE≌△GCN（AAS）， ∴DE＝CN， ∴CE＝CF＝FN+CN＝2MF+DE． 【点评】此题重点考查等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转90°得到点P′，点N为线段MQ的中点（点N不与点P′重合），则称线段P′N的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为d（P，M，Q）． （1）已知点A（﹣1，0），B（2，0）． ①若点C（0，2），则d（A，C，B）为　1　 ； ②若点C为y轴上一动点，则d（A，C，B）的最小值为　　 ． （2）若OA＝2，OC＝1，直接写出d（A，C，O）的取值范围． 【答案】（1）1； （2）； （3）≤d（A，C，O）≤． 【分析】（1）①求出A'和BC中点N的坐标即可得解； ②设C（0，m），依据“垂中距”定义求解即可； （2）任取A、C两点，将点A绕点C逆时针旋转90°得到A′，要计算A′N的长度，根据N为CO中点，不妨将CA'也倍长，这样就能将A'与N双动点转换成只有单动点，即倍长CA′至点H，，进而再找到H的运动轨迹即可得解． 【解答】解：（1）①如图， ∵点A绕点C逆时针旋转90°得到点A'（2，1），BC中点N（1，1）， ∴A'C＝1，即d（A，C，B）＝1； 故答案为：1； ②如图，设C（0，m）， 则点A绕点C（0，m）逆时针旋转90°得到点A′（m，m﹣1），BC中点， ∴， 当时，A'N2取最小值为， 即A′N最小值为； 故答案为：； （2）∵OA＝2，OC＝1， ∴A在以O为圆心，2为半径的圆上，C在以C为圆心，1为半径的圆上． 不妨任取A、C两点，将点A绕点C逆时针旋转90°得到A′， 要计算A′N的长度，根据N为CO中点，不妨将CA'也倍长，这样就能将A'与N双动点转换成只有单动点， 即倍长CA′至点H，， 那么只需要探究H点的轨迹，那么H可以试作将A绕点C逆时针旋转90°，且扩大一倍， 连接AO，将AO绕点O逆时针旋转90°并扩大一倍，得到OO′， ∴△ACH∽△AOO′，可得△ACO∽△AHO′， ∴， ∴，即H在以O'为圆心，为半径的圆上， ∵OO′＝2AO＝4，， ∴， ∵， ∴≤d（A，C，O）≤． 【点评】本题主要考查了新定义题型，正确理解题意是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $