精品解析：北京景山学校2024～2025学年下学期期中考试 八年级数学试题

北京景山学校2024~2025学年度第二学期期中考试 八年级数学 2025年4月 本试卷共8页，满分100分，考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（2，﹣1） B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D. 当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大 4. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为，同时量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 7. 下面的三个问题中都有两个变量：（ ） ①面积一定的等腰三角形，底边上的高与底边长； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量与放水时间； ③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度与铺设天数 其中，变量与变量满足反比例函数关系是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 如图，已知函数，，点A在y轴的正半轴上，过点A作轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中： ①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为 ②若，则 ③若，则，的图象关于轴对称 ④当时，则的取值范围为 结论正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于_____． 10. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 11. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=_________． 12. 已知反比例函数与的图象如图所示，则、的大小关系是______．（填“”，“”或“”） 13. 如图，已知，和相交于，若，则______． 14. 科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流________A． 15. 如图，在矩形中，点在上，于点，于点．若，，，则长为________． 16. 如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为______． 三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23每题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：2cos30°+sin45°﹣tan260°﹣tan45°． 18. 如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． （1）与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； （2）请以点为位似中心，并在点右侧网格中画一个，使它与的相似比为． 19. 如图，在中，D上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）的面积为______； （3）直接写出时x的取值范围． 22. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周长． 23. 如图，，分别在反比例函数，图象上且在第一象限内，且轴，轴，轴，垂足分别为点，点． 若，求的值； 当时，求矩形的面积．   24. 在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． （1）如图，求的值． （2）求证：． 25. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． （1）左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； （2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，点，分别在边，上，连接，． （1）求证：； （2）连接，点为的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②若，求的大小． 28. 定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， （1）如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； （2）如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京景山学校2024~2025学年度第二学期期中考试 八年级数学 2025年4月 本试卷共8页，满分100分，考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴===， 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出，再根据三角函数的定义，即可得解． 【详解】解：根据勾股定理可得， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，牢固掌握相关知识是解题关键． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（2，﹣1） B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D. 当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数性质即可直接作出判断． 【详解】A、把x=2代入得，y=1，则（2，﹣1）不在图象上，选项错误； B、图象位于第一、三象限，选项错误； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误． 故选：C． 4. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为，同时量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：． 5. 如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先证明三角形是直角三角形，再利用长直角边与短直角边的比值逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， A、三条边长分别为、、，且， 此三角形为直角三角形，且长直角边与短直角边之比为， 此三角形与相似，符合题意； B、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； C、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； D、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易证，然后问题可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 7. 下面的三个问题中都有两个变量：（ ） ①面积一定的等腰三角形，底边上的高与底边长； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量与放水时间； ③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度与铺设天数. 其中，变量与变量满足反比例函数关系的是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出对应的与的关系，再根据表达式判断即可． 【详解】解：①面积一定的等腰三角形时， 则底边上的高与底边长的关系为：，是反比例函数，故①符合题意； ②设泳池原有体积为，放水速度为， 则泳池中的剩余水量与放水时间的关系为：，是一次函数，故②不符合题意； ③设轨道总长为， 则每日铺设长度与铺设天数的关系为：，是反比例函数，故③符合题意； 故选：B． 【点睛】题主要考查了列函数关系式及反比例函数的识别，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 8. 如图，已知函数，，点A在y轴的正半轴上，过点A作轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中： ①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为 ②若，则 ③若，则，的图象关于轴对称 ④当时，则的取值范围为 结论正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①将代入求解；②由得，再由求解；③若，则，2与互为相反数，的图象关于y轴对称；④将代入求出y值，再由函数增减性求解． 【详解】解：①将代入得，故①正确； ②∵，，， ∴，故②错误； ③若，则， ∴的图象关于y轴对称，故③正确； ④当时，， ∵随x增大而增大， ∴时，故④错误． 综上，①③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质，掌握求反比例函数中k的方法． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于_____． 【答案】﹣1 【解析】 【详解】试题分析：根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍． 解：∵y=（m﹣1）是反比例函数， ∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0， ∴m=﹣1． 故答案为﹣1． 考点：反比例函数的定义． 10. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 11. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=_________． 【答案】． 【解析】 【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC的度数，求出cos∠BAC的值． 【详解】解：AB=BC=， AC=， 则AB2+BC2=5+5=10=AC2， 则△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC=45°， 则cos∠BAC=． 考点：1.特殊角的三角函数值,2.勾股定理,3.勾股定理的逆定理. 12. 已知反比例函数与的图象如图所示，则、的大小关系是______．（填“”，“”或“”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】令x=a（a＞0），求函数值，结合函数图像根据不等式的性质判断即可； 【详解】解：∵y2在y1上面，当x=a（a＞0）时，y2＞y1，即 ∴k2＞k1， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握不等式的性质是解题关键． 13. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 14. 科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流________A． 【答案】4 【解析】 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【详解】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，点在上，于点，于点．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确运用三角函数是解题的关键． 易得，则，那么，即可求解，利用同角的余角相等得到，则，即可求解，最后进行线段和差计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．与都是直角三角形，两个三角形相似时，的对应边是或．分两种情形构建方程，分别求解即可． 【详解】解：由题意，Q在上运动最大时间为，P在上运动最大时间为，，，， 分两种情况： ①当时，， 即， 或（舍去）， ； ②当时，， 即， ， 或， 经检验，是分式方程的解，不符合题意，舍去， 当或时，以Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23每题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：2cos30°+sin45°﹣tan260°﹣tan45°． 【答案】﹣3． 【解析】 【分析】把特殊角函数值代入计算，即可得到答案. 【详解】解：原式＝2×+﹣3﹣1 ＝﹣3． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 18. 如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． （1）与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； （2）请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 【答案】（1），图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣位似变换， （1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心； （2）根据要求画出位似图形即可． 【小问1详解】 解：与位似比是，如图位似中心即为所求． 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求． 19. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）的面积为______； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围． 【详解】解：（1）把代入反比例函数得： m=6， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴-3a=6，解得a=-2， ∴B（-2，-3）， ∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）∵，，一次函数的解析式为， 令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0）， ∴S△AOB=， 故答案为：8； （3）由图象可知： 时，即一次函数图像在反比例函数图像上方， x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6. 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 22. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析； （2）△ABC的周长为19.2 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质、等边对等角和平行线的性质得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到，从而得到△ABC的周长． 【小问1详解】 证明：∵ACDE， ∴∠CDE＝∠ACD， ∵CD是 Rt△ABC斜边AB中线， ∴CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴△ABC∽△DEC； 【小问2详解】 解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线， ∴AB＝2CD＝8， ∴CD=4， ∵CD⊥CE，CE=3， ∴DE＝＝5， ∴△DCE的周长为3+4+5=12， ∵△ABC∽△DEC， ∴=， ∴△ABC的周长＝×12＝=19.2. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理和平行线的性质． 23. 如图，，分别在反比例函数，图象上且在第一象限内，且轴，轴，轴，垂足分别为点，点． 若，求的值； 当时，求矩形的面积．   【答案】(1)k=5；（2）3. 【解析】 【分析】(1)由条件可得A点纵坐标，代入y＝,可求得A点坐标，则可求得OD的长，结合条件可求得OC的长，则可得到B点坐标，代入y＝可求得k的值; (2)延长BA交y轴于点E,利用反比例函数k的几何意义可求得S矩形OEBC和S矩形OEAD ,则可求得矩形ABCD的面积. 【详解】∵， ∴点纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴； 如图，延长交轴于点， ∵， ∴过、两点的反比例函数解析式分别为，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的概念和基本性质. 24. 在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． （1）如图，求的值． （2）求证：． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识． （1）证明，可得； （2）利用相似三角形的性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点， ∴，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴． 25. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． （1）左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； （2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】（1），． （2）空矿泉水瓶的重量为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． 【小问2详解】 解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【小问1详解】 解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； 【小问2详解】 解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 27. 如图，在中，，点，分别在边，上，连接，． （1）求证：； （2）连接，点为的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ② 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，进而得到再根据等校对等边即可得到结论； （2）①根据题意补图即可； ②延长至点，使，连接，则四边形是平行四边形，然后推导，得到，然后得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ①如图所示, ②延长至点，使，连接， ∵点为的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 由（1）得:， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， （1）如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； （2）如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 【答案】（1）①这两个函数的特征数为4；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、解一元二次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由可得，进而分别代入两个函数解析式，求出、即可得解； ②利用解析式设出和的坐标，进而表示出，再根据面积公式求解即可； （2）由旋转可作一线三垂直全等，进而求出点坐标，再利用函数点的坐标特征建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， ， 则， 解得：（负值舍去），， 这两个函数的特征数为4； ②由①可知反比例函数解析式为，正比例函数解析式为， 设，则， ， ， 整理得， （负值舍去）， ； 【小问2详解】 解：如图，设落点为，过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ，， 点绕点顺时针旋转落在处， ，， ， ， ，， ， 点在上， ， ， 点和点均在上， ，， 将代入得，（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$