精品解析：2026年湖北省初中学业水平数学考试第二次模拟考试预测卷

2026年湖北省初中学业水平数学考试第二次模拟考试预测卷 注意事项∶ 1．本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 4. 已知在三角形中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，2个单位长为半径画弧，两弧交于点；③连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 2不是单项式 B. 的常数项是 C. 的各项分别为2，1， D. 多项式是四次三项式 8. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以边为直径作，与线段的延长线分别交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A. 2：3 B. ：2 C. 2： D. 15：17 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 11. 方程的解为_______． 12. 声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 13. 从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为__________． 14. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形（如图1）．小晨在学习了“赵爽弦图”后，尝试将6个大小相同的“赵爽弦图”嵌在矩形上得到如图2所示的图形，其中点、、、分别在矩形的边上，若，则的值是_________． 15. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．求①的度数为_____________ ；②的值为______________． 三、解答题：本大题共9小题，共75分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 16. 计算：． 17. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 18. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）在这次调查中，抽取的学生一共有________人；扇形统计图中n的值为________； （2）补全条形统计图： （3）在“文学”、“科技”、“艺术”、“体育”这四个项目中，众数是________，如果想在这四项中选择两项作为课后服务的内容，说出你的选择，并说明理由． （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“体育”类课外活动的学生有多少人？ 19. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2），垂足为M，若，，求的长． 20. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 21. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）、月销售利润（元）的部分对应值如表： 售价（元/件） 40 45 月销售量（件） 300 250 月销售利润（元） 3000 3750 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求的取值范围． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，、、三点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下个问题．（每个问题的画线不得超过条） （1）在图中，画射线平分的面积； （2）在图中，在上画点，使得； （3）在图中，点是与横网格线的交点，作交于点，画出点； （4）在图中，在上找一点，使∽． 23. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，若交于点，延长线交于点．求证： （2）如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． （3）如图3，与，分别交于点，．当，时，若，直接写出的长． 24. 如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； （3）如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖北省初中学业水平数学考试第二次模拟考试预测卷 注意事项∶ 1．本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∴表示的点在和之间， 观察数轴可知，点在左侧，点在和之间，点在和之间，点在和之间，  ∴表示 的点可能是点． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题由物体的三种视图判断原来几何体的形状，考查空间想象能力，一般地，主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱． 先由主视图和左视图确定是柱体、锥体、还是球体，再由俯视图确定具体形状；也可以对选项几何体的各个视图与所给视图比较判断． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体， 根据俯视图是三边形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：D． 4. 已知在三角形中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，2个单位长为半径画弧，两弧交于点；③连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握这个真是点是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据作图步骤得出平分，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 根据作图步骤得出平分， ， ， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可． 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则． 【详解】A. ，但选项A结果为，错误． B. ，但选项B结果为，错误． C. ，符合积的乘方法则，正确． D. ，但选项D结果为，错误． 故选：C． 6. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形后左右两边相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将乘积化为多项式，故不属于因式分解； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，故不属于因式分解； C、等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解定义中分解为整式乘积的形式，故不属于因式分解； D、符合因式分解的所有要求，属于因式分解； 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 2不是单项式 B. 的常数项是 C. 的各项分别为2，1， D. 多项式是四次三项式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式与多项式的基础概念，根据单项式、多项式的项、次数、常数项的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、2是单项式，故该选项不符合题意； B、的常数项是，故该选项不符合题意； C、的各项分别为，，，故该选项不符合题意； D、多项式是四次三项式，故该选项符合题意． 8. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，点关于原点对称的特点．根据菱形的性质，可得点A和点C关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴点C的坐标是． 故选：B 9. 如图，在中，，，以边为直径作，与线段的延长线分别交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据，，得到，由圆周角定理及三角形内角和定理得到，进而得出，由等腰三角形三线合一得到，解直角三角形得到，进而得到，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为的直径， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A. 2：3 B. ：2 C. 2： D. 15：17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形和正方形的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先连接，求得，再根据，即可求得和，即可得到答案； 【详解】解：连接，如图： ， 设， ∵恰在边的四等分点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，°，， ∴在中根据勾股定理得，， 在中根据勾股定理得，， ∵四边形是正方形， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 11. 方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 【答案】1640 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 13. 从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是明确古典概型概率公式（其中是基本事件总数，是事件所包含的基本事件数），准确找出字母的总数以及字母的个数． 先确定拼音“zhongkao”中字母的总数，再确定字母的个数，最后根据古典概型概率公式计算抽中字母的概率． 【详解】从拼音“zhongkao”的个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为． 故答案为：． 14. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形（如图1）．小晨在学习了“赵爽弦图”后，尝试将6个大小相同的“赵爽弦图”嵌在矩形上得到如图2所示的图形，其中点、、、分别在矩形的边上，若，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，延长、交于点，交于点，设，得出，根据得出，进而证明，得出，，解直角三角形得出求得，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，延长、交于点，交于点， ∴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．求①的度数为_____________ ；②的值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值． 【详解】解：过点作交延长线于点，    四边形是正方形，  ，，  绕点逆时针旋转，得到，  ，，  ，，  ，  在和中，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，  设，正方形边长为，  则，，，  ，  ， 三、解答题：本大题共9小题，共75分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 17. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【解析】 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 18. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）在这次调查中，抽取的学生一共有________人；扇形统计图中n的值为________； （2）补全条形统计图： （3）在“文学”、“科技”、“艺术”、“体育”这四个项目中，众数是________，如果想在这四项中选择两项作为课后服务的内容，说出你的选择，并说明理由． （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“体育”类课外活动的学生有多少人？ 【答案】（1）200,22 （2） 补全条形统计图如下： （3）文学，选择“文学”和“科技”项目， 理由：如果想在这四项中选择两项作为课后服务的内容，应选择“文学”和“科技”项目，因为这两个项目占的比重相对较大． （4）220人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计整体等知识点，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题关键． （1）由喜欢文学的人数除以其所占百分比可得总人数，用喜欢“体育”的人数除以总人数再乘以即可求出n的值； （2）先求出“艺术”项目的人数，然后画出条形统计图即可； （3）根据众数的定义和意义即可解答； （4）用1000乘以选择“体育”类的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查中，抽取的学生数为：，扇形统计“体育”所占的百分比为：，即． 故答案为：200,22． 【小问2详解】 解：“艺术”项目的人数为：； 【小问3详解】 解：由于本次调查中，“文学”项目的人数最多，则众数为文学． 【小问4详解】 解：估计选择“体育”类课外活动的学生有（人）． 答：选择“体育”类课外活动的学生有220人． 19. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2），垂足为M，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又与都是所对的圆周角， ， ， ， 平分， ， 是直径， ， ， 故， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得到，由角平分线的定义可得，由直径所对的圆周角等于，得出，即得，故，即可得证； （2）由（1）知，，根据等边对等角得出， 又，根据等腰三角形三线合一的性质得出，设，则，，，在中，由勾股定理得 ，再证明，得到，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ， 又， ， 设，则，， ， 在中，， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． 20. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞； （3） 他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 【解析】 【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66； （2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m； ②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案； （3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点． 【小问1详解】 解：∵起跳台的高度OA为66m， ∴A（0，66）， 把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得： c＝66， 故答案为：66； 【小问2详解】 解：①∵a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝﹣×752+×75+66＝21， ∴基准点K的高度h为21m； ②∵a＝﹣， ∴y＝﹣x2+bx+66， ∵运动员落地点要超过K点， ∴当x＝75时，y＞21， 即﹣×752+75b+66＞21， 解得b＞， 故答案为：b＞； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 21. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）、月销售利润（元）的部分对应值如表： 售价（元/件） 40 45 月销售量（件） 300 250 月销售利润（元） 3000 3750 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元 （3）m的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润（单件利润）销售量列出函数解析式，再根据时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由表中数据知，每件商品进价为（元）， 设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为4000， ∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，为整数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴m的取值范围为． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，、、三点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下个问题．（每个问题的画线不得超过条） （1）在图中，画射线平分的面积； （2）在图中，在上画点，使得； （3）在图中，点是与横网格线的交点，作交于点，画出点； （4）在图中，在上找一点，使∽． 【答案】（1） 取，连接与的交点为，则射线即为所求； （2） 取，且满足，连接与的交点为，则，点即为所求； （3） 解：取，点是与横网格线的交点，连接与的交点为，点即为所求； （4） 解：取格点，使得，点是与横网格线的交点，连接并延长与横网格线的交点为，连接与的交点为，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形面积可知，作中线即可，通过构造全等三角形，得到即可； （2）通过构造等腰直角三角形即可，根据勾股定理逆定理判定即可； （3）通过构造矩形，结合（2）可知，则作即可； （4）要使，已有公共角，则构造即可，相当于构造，，利用正切值将角度问题转换为线段问题实现等量关系的构造，即可得解． 【小问1详解】 解：取，连接与的交点为，则射线即为所求； ， ，， ，，， ， ， 是的中线， 射线平分的面积； 【小问2详解】 解：取，且满足，连接与的交点为，则，点即为所求； ，，， ， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 解：取，点是与横网格线的交点，连接与的交点为，点即为所求； 观察可知，，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知，， 四边形是矩形， ，即； 【小问4详解】 解：取格点，使得，点是与横网格线的交点，连接并延长与横网格线的交点为，连接与的交点为，点即为所求； ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ，即， ， ． 23. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，若交于点，延长线交于点．求证： （2）如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． （3）如图3，与，分别交于点，．当，时，若，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 解：是线段的中点，理由如下： 如图，作交的延长线于， 则， 由旋转的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转的性质可得，，再证明，即可得证； （2）作交的延长线于，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，即可得解； （3）设，则，，令交于，作于，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，，证明，得出，由勾股定理可得，作交的延长线于，得出四边形为矩形，推出，，，由勾股定理可得，求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，令交于，作于， ， 由旋转的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； （3）如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 【答案】（1），，； （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，可求解，的坐标，令，可求出的坐标； （2）作交于点G，可得，得出，可求出，求出直线的解析式为，设，可得点的坐标为或，则可得出或，求出f即可； （3）作轴交于点S，轴交于点T，设，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得，再得出，，分别得出，，利用，化简求出，代入即可求解． 【小问1详解】 解：令，得， 解得，， ∴，， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：作交于点G， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴点的横坐标为或， 对应点的纵坐标分别为或， 则点的坐标为或， ∵， ∴或， 即或， 解得，，，， ∵F在抛物线的对称轴直线的右侧， ∴或， 当时，； 当时，； 所以点F的坐标为和； 【小问3详解】 解：作轴交于点S，轴交于点T， 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 令，则， 则， 令，则， 则， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点P的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $