专题27：立体图形（专项训练）-2026年小升初数学复习讲练测（广东专用）

**基本信息** 以立体图形认知为核心，从基础三视图到复杂组合体及等积变形，构建递进式知识逻辑，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三视图的认识|6题|选择/填空/解答|从平面视图到空间想象，培养几何直观| |长方体和正方体|8题|选择/填空/解答|围绕棱长、表面积、体积展开，结合展开图与实际应用| |圆柱和圆锥|8题|选择/填空/解答|基于底面积、高的计算，渗透侧面积与体积公式推导| |组合体的表面积|8题|选择/填空/解答|通过挖切、拼接情境，强化表面增减分析能力| |组合体的体积|8题|选择/填空/解答|整合规则几何体体积，培养组合图形分解能力| |不规则物体的体积算法|8题|选择/填空/解答|运用排水法、转化思想，体现数学思维的实践性| |体积的等积变形|8题|选择/填空/解答|通过熔铸、倒置等情境，深化体积守恒观念|

【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测（广东专用） 专题27：立体图形 目录 考点一三视图的认识 1 考点二长方体和正方体 3 考点三圆柱和圆锥 5 考点四组合体的表面积 7 考点五组合体的体积 8 考点六不规则的物体的体积算法 11 考点七体积的等积变形 13 考点一三视图的认识 1．把如图这个展开图折成一个长方体，字在长方体外部，如果“成”字在前面，从左边看是“事”字，那么（    ）字在上面。 A．有 B．志 C．者 D．竟 2．一个由若干个小正方体搭成的几何体，从上面看是，从左面看是，这个几何体从正面看到的可能是（    ）。 A． B． C． D． 3．观察如图几何体，从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个几何体由几个同样的小正方体积木摆成，从前面看是，从左面看是，它至少是由（ ）个小正方体积木摆出来的。 5．观察和，它们从（ ）面和（ ）面看到的图形都相同。（填“左”“右”或“上”） 6．小壮把中国象棋中的几个棋子摞在一起，从前面、右面和上面观察得到的示意图如下，小壮一共用了（ ）个棋子。 7．数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 8．一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭这样的立体图形，最少需要几个正方体？最多需要几个正方体？ 考点二长方体和正方体 9．一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．增加10平方分米 B．减少10平方分米 C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 10．将一个棱长5厘米的正方体木块表面涂色后切割成棱长1厘米的小正方体（无损耗），其中两面涂色的有（    ）个。 A．8 B．27 C．36 D．54 11．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 12．如图，用铁丝做一个长方体的框架，从一个顶点引出的三条棱长一共3米。已知长∶宽∶高∶3∶5，这个长方体框架的高是（ ）分米。继续焊完这个框架，还需要（ ）米的铁丝。（接头处忽略不计） 13．将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 （1）如果A面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装（ ）毫升牛奶。 14．一个长方体，用图中三种不同的方式分别将其切成两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了40dm2、30dm2和24dm2。原来长方体的表面积是（ ）dm2。若原长方体的长、宽、高均为整数分米，则它的体积是（ ）dm3。 15．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 16．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深。 （1）这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？ （2）由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米？ 考点三圆柱和圆锥 17．某次降雨过程中，小军用一个高60毫米的圆锥形容器测降雨量，如果雨停时容器刚好接满雨水，则降雨量为（    ） A．20毫米 B．60毫米 C．180毫米 D．240毫米 18．小明和丽丽两人分别用一张长25.12cm，宽18.84cm的长方形纸卷成两个不同的圆柱体（接头处不重合），那么卷成的圆柱（    ）。 A．高一定相等 B．侧面积一定相等 C．侧面积和高都相等 D．无法确定 19．甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为3∶5，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深15厘米，现在向甲乙两个容器里加同样体积的水，使两个容器中水面高度相同。现在甲容器中水深（    ）厘米。 A．18 B．21 C．24 D．27 20．把一个棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方厘米，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方厘米。 21．一辆压路机的前轮是圆柱形，直径是1.6m，宽是2m。这辆压路机的前轮每分转动20周，这辆压路机一直向前开，5分后前轮压过的路面是（ ）m2。 22．斜仁柱，又称“仙人柱”、“撮罗子”，是鄂伦春族人在游猎过程中搭建的圆锥形住所，也是鄂伦春族狩猎文化的重要组成部分。下图所示的斜仁柱从里面量得底面周长是12.56m，高是3.6m，这个斜仁柱的容积是（ ）m3。 23．工人叔叔要建造一个圆柱形蓄水池，从里面量得底面直径是2米，深是4米。在蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥20千克，一共需要水泥多少千克？ 24．某新农村建设湖边的健康步道时，为提供更安全的步道环境，工人准备在道路一侧安装木栅栏，定制了600个大小相同的圆柱形木块。 （1）如果给一个圆柱形木块的表面刷漆，那么需要刷漆的面积是多少平方分米？（下底面不刷漆） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些圆柱形木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为，这个箱子最多能装多少个这样的圆柱形木块？ 考点四组合体的表面积 25．用12个1cm3的小正方体拼成一个大长方体，拿去一个小正方体后（如图），它的表面积与原来的表面积相比（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．一样大 D．无法比较 26．果果在研究长方体，他从长方体木块的一个顶点处挖掉一个小正方体（如图），则剩下部分的表面积与原来相比较，（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．与原来相等 27．大林用棱长1厘米的小正方体摆成一个物体，从前面、右面和上面分别观察这个物体，看到的形状如图： 这个物体的表面积是（　　）平方厘米。 A．7 B．28 C．14 D．32 28．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm2。 29．如图，把一些棱长为3dm的小正方体放在墙角，有（ ）个小正方体的面露在外面，露在外面的面积是（ ）dm2。 30．将棱长1cm的正方体木块堆积在墙角，组成如图所示的立体图形，它的体积是（ ）cm3，露出外面的面积和是（ ）cm2。 31．物体由两个圆柱组成，这两个圆柱的高都是5厘米，底面直径是6厘米与12厘米，求它的表面积。 32．如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 考点五组合体的体积 33．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 34．下面四个物体都是由棱长为1厘米的小正方体拼成的，那么体积相等的两个物体是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．③和④ D．②和④ 35．如图，把两个相同的小长方体拼成一个大长方体，下列说法正确的是（    ）。 A．甲的表面积与乙的表面积相同 B．甲的表面积大于乙的表面积 C．甲的体积与乙的体积相同 D．甲的体积大于乙的体积 36．如图，四边形ABCD是直角梯形，以AB所在的直线为轴将梯形旋转一周后，得到一个旋转体，它的体积是（ ）立方厘米。 37．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立方厘米。 38．下图是一个铸铁零件（单位：厘米），它的体积是（ ）立方厘米。 39．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 40．2021年10月16日，神舟十三号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射。此次任务由长征二号F遥十三运载火箭执行。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成，图是本次运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 考点六不规则的物体的体积算法 41．两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 42．下面是西西做的实验，不计算，你认为小球和珊瑚的体积之间的大小关系是怎样的呢？（    ） A．珊瑚的体积大 B．小球的体积大 C．一样大 D．无法确定 43．如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，放入小球后水面的高是10cm，②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是28cm，小球的体积与小正方体体积的比是（    ）。 A．15∶32 B．3∶32 C．32∶15 D．64∶15 44．把一块石头，浸没在一个底面积是60平方厘米的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5厘米，这块石头的体积是________立方厘米。 45．一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），瓶中水的体积与瓶子容积的比是（ ）。 46．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 47．如图，圆柱的底面半径和高都是4厘米，把它完全浸没在一个装有水的水槽中，量得水位上升了8厘米。再把一个底面直径为4厘米的圆锥完全浸入水中，水位又上升了3厘米（水未溢出）。圆锥的高是多少厘米？ 48．有两个完全一样的烧杯，里面盛了同样多的水，把一个实心球和一颗鹅卵石分别放在两个烧杯内没入水中，如图所示，水位上升的高度相同。 （1）实心球和鹅卵石的体积，哪个更大一些？ （2）烧杯的底面直径是10厘米，水的高度比原来上升了2厘米。实心球的体积是多少立方厘米？ （3）从图中看，你知道实心球和鹅卵石相比，哪个更重一些吗？相差多少克？ 考点七体积的等积变形 49．把一个棱长为3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为9平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是（    ）分米。 A．3 B．9 C．27 50．小雨把一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥捏成一个圆锥体，圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A． B． C． D．64 51．如图，瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满（    ）杯。 A．6 B．4 C．3 D．2 52．一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是（ ）dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是（ ）dm2。 53．亮亮把一个棱长为4分米的正方体容器内装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器中正好装满。这个圆锥形容器的高是（ ）分米。（容器的厚度忽略不计） 54．有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为（ ）。（结果保留） 55．有一个完全封闭的容器，从里面量得长20厘米，宽16厘米，高10厘米，平放时水面高7厘米（左图）。如果把这个容器竖着放（右图），水面的高度是多少厘米？ 56．如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测（广东专用） 专题27：立体图形 目录 考点一三视图的认识 1 考点二长方体和正方体 5 考点三圆柱和圆锥 11 考点四组合体的表面积 16 考点五组合体的体积 20 考点六不规则的物体的体积算法 26 考点七体积的等积变形 32 考点一三视图的认识 1．把如图这个展开图折成一个长方体，字在长方体外部，如果“成”字在前面，从左边看是“事”字，那么（    ）字在上面。 A．有 B．志 C．者 D．竟 【答案】D 【分析】长方体展开图中，相对的面是间隔出现的。观察展开图可知，“志” 与 “事” 相对，“者” 与 “竟” 相对，“有” 与 “成” 相对；已知 “成” 字在前面，“事” 字在左面，因为 “成” 与 “有” 相对，所以 “有” 字在后面；“事” 与 “志” 相对，所以 “志” 字在右面；此时，剩下的 “竟” 字在上面，“者”字在下面。 【解答】已知 “成” 在前、“事” 在左，先找其相对面：“成” 对 “有”（“有” 在后面 ），“事” 对 “志”（“志” 在右面），长方体共6个面，前、后、左、右确定后，剩下 “者”和“竟”，结合展开图折叠逻辑观察物体，可推出 “竟” 在上面。 故答案为：D 2．一个由若干个小正方体搭成的几何体，从上面看是，从左面看是，这个几何体从正面看到的可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从上面看到的形状可知这个几何体由前后两排、左右两列组成，再由左面看到的形状可知这个几何体后面一排只有一层，前面一排的上面一层可能有1个小正方体，也可能有2个小正方体，那么从正面看这个几何体，可能的形状是由左右两列，上下两层组成的，据此逐项进行分析。 【解答】A．该图形形状由左右两列，上下两层组成，符合题意； B．该图形形状由左右两列组成，但只有一层，不符合题意； C．该图形形状由三列组成，不符合题意； D．该图形形状由左右两列组成，但一共有三层，不符合题意。 故答案为：A 3．观察如图几何体，从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这个几何体从左面看到的图形有上下两层，下层有3个小正方形，上层有1个小正方形靠左齐。据此判断选择即可。 【解答】根据分析可得： 这个几何体，从左面看到的形状是。 故答案为：A 4．一个几何体由几个同样的小正方体积木摆成，从前面看是，从左面看是，它至少是由（ ）个小正方体积木摆出来的。 【答案】3 【分析】根据从前面和左面看到的形状，可知摆了2排，如果交错摆放，最少需要3个小正方体，据此画出示意图，数一数即可。 【解答】 如图，从前面看是，从左面看是，它至少是由3个小正方体积木摆出来的。 5．观察和，它们从（ ）面和（ ）面看到的图形都相同。（填“左”“右”或“上”） 【答案】 左 右 【分析】分别观察这两个立体图形从左面、右面和上面看到的图形，找出看到的图形都相同的那一个方向即可。 【解答】 从左面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是；从左面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是。因此它们从左面和右面看到的图形都相同。 6．小壮把中国象棋中的几个棋子摞在一起，从前面、右面和上面观察得到的示意图如下，小壮一共用了（ ）个棋子。 【答案】4 【分析】由题意得，根据从三个方向看到的示意图可知，棋子“马”所在的这一列有2个棋子，棋子“炮”和棋子“车”所在的这两列都只有1个棋子。直接把它们的数量全部加起来即可算出小壮一共用了多少个棋子。 【解答】2＋1＋1＝3＋1＝4（个） 故小壮一共用了4个棋子。 7．数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 【答案】120.48平方厘米 【分析】观察图形可以看出，这个容器的表面积为一个圆柱体的表面积加上长方体的侧面积，圆柱体的表面积＝，长方体的底面是边长为1厘米的正方形，长方体的侧面积＝边长×高×4，据此解答。 【解答】圆柱体的表面积： （平方厘米） 长方体的侧面积：（平方厘米） 容器的表面积：（平方厘米） 答：这个容器的表面积是120.48平方厘米。 8．一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭这样的立体图形，最少需要几个正方体？最多需要几个正方体？ 【答案】5个；7个 【分析】从正面看到的形状是，说明这个立体图形最少有2层，从左面看到的形状是，说明这个立体图形第1层至少有4个正方体，最多有6个正方体，第二层有且只有1个正方体；据此解答即可。 【解答】4＋1＝5（个） 6＋1＝7（个） 答：最少需要5个正方体，最多需要7个正方体。 考点二长方体和正方体 9．一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．增加10平方分米B．减少10平方分米C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 【答案】A 【分析】底面边长为1分米的小长方体，这个小长方体的长和宽都是1分米，高是3分米，底面是一个正方形的小长方体，前后左右4个面的面积相等。 由题意知：这个零件的表面积减少的面积是这个小长方体的上下两个底面（1×1），增加的面积是这个小长方体的4个侧面面积（1×3），据此代入数据计算即可。 【解答】减少： 1×1×2 ＝1×2 ＝2（平方分米） 增加： 1×3×4 ＝3×4 ＝12（平方分米） 12－2＝10（平方分米），所以这个零件的表面积增加10平方分米。 故答案为：A 10．将一个棱长5厘米的正方体木块表面涂色后切割成棱长1厘米的小正方体（无损耗），其中两面涂色的有（    ）个。 A．8 B．27 C．36 D．54 【答案】C 【分析】因为5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的小正方体都是两面涂色；在每个面上除去棱上的小正方体都是一面涂色；根据上面的结论，即可求得答案。 【解答】5÷1＝5（个） （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 其中两面涂色的有36个。 故答案为：C 11．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 【答案】A 【分析】本题求商鞅规定的“一升”相当于现在的多少升，关键是先算其容积再换算单位。已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升；最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数。 【解答】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝（201.25÷1000）立方分米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升≈0.2升 因此商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 【点睛】本题考查长方体容积公式的应用，熟练掌握长方形的容积公式以及容积单位、体积单位之间的换算是解题的关键。 12．如图，用铁丝做一个长方体的框架，从一个顶点引出的三条棱长一共3米。已知长∶宽∶高∶3∶5，这个长方体框架的高是（ ）分米。继续焊完这个框架，还需要（ ）米的铁丝。（接头处忽略不计） 【答案】 10 9 【分析】根据1米＝10分米，所以3米＝30分米。又因为“长∶宽∶高＝7∶3∶5”，则高占长、宽、高之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个长方体框架的高； 每个长方体有4条长，4条宽和4条高，一组长、宽、高之和为3米。若想继续焊完这个框架，已有1组长、宽、高，那么还需要3组长、宽、高，用3×3即可求出还需要铁丝的长度。 【解答】3米＝30分米 30× ＝30× ＝10（分米） 3×3＝9（米） 所以这个长方体框架的高是10分米。继续焊完这个框架，还需要9米的铁丝。 13．将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 （1）如果A面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装（ ）毫升牛奶。 【答案】（1）E （2）240 【分析】（1）在长方体的展开图中，相对的面不相邻，A面与E面相对，所以当A面在下面时，E面在上面。 （2）根据图中的数据可知长方体长为10厘米、宽为6厘米、高为4厘米、利用长方体体积公式＝长×宽×高，计算体积，再根据1立方厘米＝1毫升，将体积换算成毫升为单位即可。 【解答】（1）如果A面在下面，那么E面在上面。 （2）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装240毫升牛奶。 14．一个长方体，用图中三种不同的方式分别将其切成两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了40dm2、30dm2和24dm2。原来长方体的表面积是（ ）dm2。若原长方体的长、宽、高均为整数分米，则它的体积是（ ）dm3。 【答案】 94 60 【分析】（1）分析题目，按照图示的方法切长方体，表面积分别增加了2个长×宽的面、2个宽×高的面、2个长×高的面，据此分别用增加的表面积除以2即可得到长×宽、长×高、宽×高的面积，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2把求得的长×宽、长×高、宽×高的值代入计算即可。 （2）长方体的体积＝长×宽×高，据此可知把（1）中求得的长×宽、长×高、宽×高的三个面的面积相乘即可得到长方体的体积×体积的值，再根据哪两个相同的数相乘可得到这个乘积即可推导出长方体的体积。 【解答】40÷2＝20（dm2） 30÷2＝15（dm2） 24÷2＝12（dm2） 原来长方形的表面积： （20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（dm2） 体积与体积的乘积：20×15×12＝3600 因为3600＝60×60，所以原来长方体的体积是60dm3。 填空如下： 原来长方体的表面积是（94）dm2。若原长方体的长、宽、高均为整数分米，则它的体积是（60）dm3。 15．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 【答案】2500立方厘米，950平方厘米 【分析】四个角各切掉边长5厘米的正方形，所以纸盒的长是35－5×2，宽是30－5×2，高是5厘米，再用长方体的体积公式求出它的容积。 用长方形原面积减去切掉的四个小正方形的面积即可得到纸盒的表面积。 【解答】纸盒的长： 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 纸盒的宽： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 高：5厘米 25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 35×30＝1050（平方厘米） 5×5×4＝100（平方厘米） 1050－100＝950（平方厘米） 答：这个纸盒的容积是2500立方厘米，表面积是950平方厘米。 16．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深。 （1）这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？ （2）由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6400立方厘米 （2）2120平方厘米 【分析】（1）图中标注的单位是dm，题干中表示水深的单位是cm，所以要先统一单位，再用长方体体积公式：计算即可。 （2）首先要确定改造后水与鱼缸接触的面，只有5个面：。第一步：算出改造后直立鱼缸的底面积与水深。底面长是2dm，宽是1dm，底面积：。通过题意可以得出，水的体积没变， 因此新水深就等于：。然后计算水与鱼缸接触面（）的面积。 【解答】（1）鱼缸尺寸：长4dm＝40cm，宽1dm＝10cm，水深16cm。 （立方厘米） 答：鱼缸里面的水的体积是6400立方厘米。 （2）改造后鱼缸的底面：长为2dm＝20cm，宽为1dm＝10cm，平方厘米。 因为水的体积不变，所以新水深： （厘米） 计算改造后水与鱼缸接触面（）的面积： 底面面积：（平方厘米） 两个的侧面：（平方厘米） 两个的侧面:（平方厘米） 水与鱼缸的总接触面面积：（平方厘米） 答：水与鱼缸接触面的面积是2120平方厘米。 考点三圆柱和圆锥 17．某次降雨过程中，小军用一个高60毫米的圆锥形容器测降雨量，如果雨停时容器刚好接满雨水，则降雨量为（    ） A．20毫米 B．60毫米 C．180毫米 D．240毫米 【答案】A 【分析】要求降雨量，也就是求与这个圆锥形容器等底等体积的圆柱形的高，由此设圆柱容器中水和圆锥容器中水的体积相等为V，底面积相等为S，由此利用圆柱和圆锥的体积公式推理得出它们的高的比，即可解答问题。 【解答】设圆柱容器中水和圆锥容器中水的体积相等为V，底面积相等为S，圆柱容器内水的高＝；圆锥容器内水的高＝；所以它们的高的比是：∶＝1∶3，因为圆锥容器内水的高是60毫米，所以圆柱容器内水的高为：60÷3＝20（毫米）。 18．小明和丽丽两人分别用一张长25.12cm，宽18.84cm的长方形纸卷成两个不同的圆柱体（接头处不重合），那么卷成的圆柱（    ）。 A．高一定相等 B．侧面积一定相等 C．侧面积和高都相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】卷成的圆柱有两种情况：①底面周长是25.12cm、高是18.84cm；②底面周长是18.84cm、高是25.12cm；圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此可知：卷成的圆柱的侧面积都是25.12×18.84，高可能是25.12cm也可能是18.84cm，据此解答。 【解答】卷成的圆柱的侧面积都是25.12×18.84，高可能是25.12cm也可能是18.84cm。 卷成的圆柱高不一定相等，但侧面积一定相等。 19．甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为3∶5，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深15厘米，现在向甲乙两个容器里加同样体积的水，使两个容器中水面高度相同。现在甲容器中水深（    ）厘米。 A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】D 【分析】设注入同样多的水后水深为x厘米，则甲注入水的高度是（x－7）厘米，乙注入水的高度是（x－15）厘米；根据圆柱的体积＝底面积×高可知：体积一定时，圆柱的底面积与高成反比例，所以甲乙注入水的高度之比为：5∶3，据此解答。 【解答】解：设注入同样多的水后水深为x厘米。 3（x－7）＝5（x－15） 3x－21＝5x－75 3x－21＋75＝5x－75＋75 3x＋54＝5x 3x＋54－3x＝5x－3x 54＝2x 2x＝54 2x÷2＝54÷2 x＝27 所以现在甲容器中水深27厘米。 20．把一个棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方厘米，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 169.56 56.52 【分析】把正方体削成圆柱，圆柱的底面直径是6厘米，高是6厘米。根据圆柱的体积V＝πr2h，算出圆柱的体积；再根据圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的，用圆柱体积乘即可算出圆锥的体积。 【解答】6÷2＝3（厘米） 圆柱体积：3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方厘米） 圆锥体积：169.56×＝56.52（立方厘米） 21．一辆压路机的前轮是圆柱形，直径是1.6m，宽是2m。这辆压路机的前轮每分转动20周，这辆压路机一直向前开，5分后前轮压过的路面是（ ）m2。 【答案】1004.8 【分析】压路机前轮转动一周，压过的路面是圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式：S＝πdh，这里的高就是宽（2m），把数据代入计算后再乘20，之后再乘5计算即可解答。 【解答】3.14×1.6×2＝10.048（m2） 10.048×20＝200.96（m2） 200.96×5＝1004.8（m2） 22．斜仁柱，又称“仙人柱”、“撮罗子”，是鄂伦春族人在游猎过程中搭建的圆锥形住所，也是鄂伦春族狩猎文化的重要组成部分。下图所示的斜仁柱从里面量得底面周长是12.56m，高是3.6m，这个斜仁柱的容积是（ ）m3。 【答案】15.072 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），求出底面半径；再根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数值即可解答。 【解答】12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（m） ×3.14×22×3.6 ＝×3.14×4×3.6 ＝3.14×4×（3.6×） ＝12.56×1.2 ＝15.072（m3） 23．工人叔叔要建造一个圆柱形蓄水池，从里面量得底面直径是2米，深是4米。在蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥20千克，一共需要水泥多少千克？ 【答案】 565.2千克 【分析】蓄水池抹水泥的部分包括一个底面和侧面，不含上面。先根据圆柱侧面积公式和底面积公式求出抹水泥的总面积，再乘每平方米用水泥的质量求出一共需要水泥的质量。 【解答】3.14×2×4＋3.14×（2÷2）2 ＝3.14×2×4＋3.14×12 ＝25.12＋3.14×1 ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 28.26×20＝565.2（千克） 答：一共需要水泥565.2千克。 24．某新农村建设湖边的健康步道时，为提供更安全的步道环境，工人准备在道路一侧安装木栅栏，定制了600个大小相同的圆柱形木块。 （1）如果给一个圆柱形木块的表面刷漆，那么需要刷漆的面积是多少平方分米？（下底面不刷漆） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些圆柱形木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为，这个箱子最多能装多少个这样的圆柱形木块？ 【答案】（1）22.1056平方分米 （2）4.82304立方米 （3）50个 【分析】（1）刷漆的面积＝底面积＋侧面积，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高； （2）圆柱体积＝底面积×高，据此计算出1个木块的体积，乘总块数即可； （3）正方体棱长分别除以木块的底面直径和高，分别求出沿着正方体相交于同一点的3条棱可以摆的个数，相乘即可。 【解答】（1）3.14×（1.6÷2）2＋3.14×1.6×4 ＝3.14×0.82＋20.096 ＝3.14×0.64＋20.096 ＝2.0096＋20.096 ＝22.1056（平方分米） 答：需要刷漆的面积是22.1056平方分米。 （2）3.14×（1.6÷2）2×4×600 ＝3.14×0.82×4×600 ＝3.14×0.64×4×600 ＝8.0384×600 ＝4823.04（立方分米） 4823.04立方分米＝4.82304立方米 答：做这些圆柱形木块一共需要4.82304立方米的木料。 （3）（8÷4）×（8÷1.6）×（8÷1.6） ＝2×5×5 ＝50（个） 答：这个箱子最多能装50个这样的圆柱形木块。 考点四组合体的表面积 25．用12个1cm3的小正方体拼成一个大长方体，拿去一个小正方体后（如图），它的表面积与原来的表面积相比（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】由图可知，原来长方体的表面积需要计算拿走小正方体上面、前面两个面的面积，拿走小正方体之后，需要计算拿走小正方体后面、下面、左面、右面四个面的面积，那么现在的表面积比原来长方体的表面积增加了，据此解答。 【解答】分析可知，拿去一个小正方体后，现在的表面积比原来长方体的表面积增加了两个小正方形的面积，所以它的表面积与原来的表面积相比增加了。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据图形分析拿走小正方体前后需要计算拿走小正方体哪些面的面积是解答题目的关键。 26．果果在研究长方体，他从长方体木块的一个顶点处挖掉一个小正方体（如图），则剩下部分的表面积与原来相比较，（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．与原来相等 【答案】C 【分析】如图，从长方体木块的一个顶点处挖掉一个小正方体，看上去表面积减少了3个小正方形，但是内部又出现了同样的3个小正方形，据此分析。 【解答】根据分析，从长方体顶点位置挖到一个小正方形，减少的面和增加的面一样，所以剩下部分的表面积与原来表面积相等。 故答案为：C 【点睛】关键是看懂图示，减少的＝增加的，所以面积不变。 27．大林用棱长1厘米的小正方体摆成一个物体，从前面、右面和上面分别观察这个物体，看到的形状如图： 这个物体的表面积是（　　）平方厘米。 A．7 B．28 C．14 D．32 【答案】B 【分析】根据三视图可以分别得出前面、右面和上面的小正方形的个数，把它们加起来再乘2就是这个物体表面露出的小正方形的个数，即求出表面有多少个小正方形面，再乘小正方体的每个面的面积即可求解。 【解答】（4＋4＋6）×2×（1×1） ＝14×2×1 ＝28（平方厘米） 故答案为B。 28．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm2。 【答案】53.38 【分析】从图中可知，黑布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，黄布的面积＝圆环的面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆环的面积公式S环＝π（R2－r2） ，代入数据计算，分别求出黑布与黄布的面积，再相减即可。 【解答】18÷2＝9（cm） 9＋8＝17（cm） 黑布的面积： 3.14×18×8＋3.14×92 ＝56.52×8＋3.14×81 ＝452.16＋254.34 ＝706.5（cm2） 黄布的面积： 3.14×（172－92） ＝3.14×（289－81） ＝3.14×208 ＝653.12（cm2） 相差：706.5－653.12＝53.38（cm2） 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差53.38cm2。 29．如图，把一些棱长为3dm的小正方体放在墙角，有（ ）个小正方体的面露在外面，露在外面的面积是（ ）dm2。 【答案】 15 135 【分析】观察图形可知，从正面看到6个面，从上面看到4个面，从右面看到5个面，则露在外面的面一共有（6＋4＋5）个； 根据正方体的特征可知，每个面是边长为3dm的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【解答】露在外面的面有： 6＋4＋5＝15（个） 露在外面的面积是： 3×3×15 ＝9×15 ＝135（dm2） 有15个小正方体的面露在外面，露在外面的面积是135dm2。 30．将棱长1cm的正方体木块堆积在墙角，组成如图所示的立体图形，它的体积是（ ）cm3，露出外面的面积和是（ ）cm2。 【答案】 15 23 【分析】看图可知，正方体堆了4层，第1层9个小正方体，第1层4个小正方体，第3层和第4层都是1个小正方体，棱长1cm的正方体，体积是1cm3，据此确定小正方体的个数就是组成的立体图形的体积。 从前面看有7个小正方形，从上面看有9个小正方形，从右面看有7个小正方形，边长1cm的正方形，面积是1cm2，据此确定小正方形的个数就是露出外面的面积和。 【解答】9＋4＋1＋1＝15（cm3） 7＋9＋7＝23（cm2） 它的体积是15cm3，露出外面的面积和是23cm2。 31．物体由两个圆柱组成，这两个圆柱的高都是5厘米，底面直径是6厘米与12厘米，求它的表面积。 【答案】508.68平方厘米 【分析】观察图形可知，这个组合体的表面积等于底面直径是12厘米，高是5厘米的圆柱的表面积，再加上底面直径是6厘米，高是5厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，以及圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（12÷2）2×2＋3.14×12×5＋3.14×6×5 ＝3.14×62×2＋37.68×5＋18.84×5 ＝3.14×36×2＋188.4＋94.2 ＝113.04×2＋188.4＋94.2 ＝226.08＋188.4＋94.2 ＝414.48＋94.2 ＝508.68（平方厘米） 答：它的表面积是508.68平方厘米。 32．如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 【答案】296平方厘米 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出完整的长方体表面积，中间挖去一个正方体，表面积减少了2个正方形的面，又多出4个正方形的面，这个立体图形的表面积＝长方体表面积－底面积－正方体棱长×棱长×2＋正方体棱长×棱长×4，据此列式解答。 【解答】（10×4＋10×8＋4×8）×2－10×4－4×4×2＋4×4×4 ＝（40＋80＋32）×2－40－32＋64 ＝152×2－40－32＋64 ＝304－40－32＋64 ＝296（平方厘米） 答：它的表面积是296平方厘米。 考点五组合体的体积 33．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【答案】C 【分析】从图中可知，陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个陀螺的体积。 【解答】π×（6÷2）2×6＋×π×（6÷2）2×3 ＝π×32×6＋×π×32×3 ＝π×9×6＋×π×9×3 ＝54π＋9π ＝63π（立方厘米） 这个陀螺的体积大约是63π立方厘米。 故答案为：C 34．下面四个物体都是由棱长为1厘米的小正方体拼成的，那么体积相等的两个物体是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积；再数清楚每个组合图形需要多少个小正方体，进而求出每个组合体的体积，再进行比较，即可解答。 【解答】小正方体体积：1×1×1 ＝1×1 ＝1（立方厘米） ①由10个小正方体拼成；体积是：1×10＝10（立方厘米）； ②由12个小正方体拼成；体积：1×12＝12（立方厘米） ③由10个小正方体拼成；体积：1×10＝10（立方厘米） ④由11个小正方体拼成：体积：1×11＝11（立方厘米） ①和③相等。 下面四个物体都是由棱长为1厘米的小正方体拼成的，那么体积相等的两个物体是①和③ 故答案为：B 【点睛】本题考查组合体的体积，关键是数清楚正方体的个数。 35．如图，把两个相同的小长方体拼成一个大长方体，下列说法正确的是（    ）。 A．甲的表面积与乙的表面积相同 B．甲的表面积大于乙的表面积 C．甲的体积与乙的体积相同 D．甲的体积大于乙的体积 【答案】C 【分析】由图可知：把两个相同的小长方体拼成一个大长方体，拼成的大长方体的体积等于两个小长方体的体积和，拼成的长方体的表面积，乙的重合面面积小于甲的重合面面积，因此乙的表面积大于甲的表面积，据此选择。 【解答】由分析可知： A．甲的表面积与乙的表面积相同，题干错误； B．甲的表面积大于乙的表面积，题干错误； C．甲的体积与乙的体积相同，题干正确； D．甲的体积大于乙的体积，题干错误。 故答案为：C 【点睛】解决本题关键是找出两个图表面积减少部分的是哪些，以及无论怎么拼，拼成的体积不变。 36．如图，四边形ABCD是直角梯形，以AB所在的直线为轴将梯形旋转一周后，得到一个旋转体，它的体积是（ ）立方厘米。 【答案】131.88 【分析】根据题意，以直角梯形的AB所在的直线为轴将梯形旋转一周后，得到一个旋转体，上面是一个底面半径为3厘米、高为（6－4）厘米的圆锥，下面是一个底面半径为3厘米、高为4厘米的圆柱；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加，即是旋转体的体积。 【解答】×3.14×32×（6－4）＋3.14×32×4 ＝×3.14×9×2＋3.14×9×4 ＝18.84＋113.04 ＝131.88（立方厘米） 它的体积是131.88立方厘米。 37．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立方厘米。 【答案】160.14 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可求得圆锥的体积； 根据圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱的体积，再求和就是组合图形的体积。 【解答】组合图形的体积： （立方厘米） 所以这个组合图形的体积是160.14立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。 38．下图是一个铸铁零件（单位：厘米），它的体积是（ ）立方厘米。 【答案】660 【分析】把这个铸铁零件分成两个长方体，一个是长是10厘米，宽是12厘米，高是（8－5）厘米的长方体，一个是长是5厘米，宽是12厘米，高是5厘米的长方体；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】10×12×（8－5）＋5×12×5 ＝120×3＋60×5 ＝360＋300 ＝660（立方厘米） 下图是一个铸铁零件（单位：厘米），它的体积是660立方厘米。 【点睛】解答本题的关键是把组合体分成两个长方体，再利用长方体体积公式进行解答。 39．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【答案】 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【解答】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 40．2021年10月16日，神舟十三号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射。此次任务由长征二号F遥十三运载火箭执行。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成，图是本次运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 【答案】15.7立方分米 【分析】从图中可知该图形由一个底面直径是2分米，高是3分米的圆锥和一个底面直径是2分米，高是4分米的圆柱组成。先计算出底面半径，根据圆锥体积公式计算出圆锥体积，再根据圆柱体积公式计算出圆柱体积，最后相加就是该模型的体积。 【解答】2÷2＝1（分米） ＝ ＝ ＝（立方分米） ＝ ＝ ＝（立方分米） 3.14＋12.56＝15.7（立方分米） 答：该模型的体积是15.7立方分米。 考点六不规则的物体的体积算法 41．两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 【答案】C 【分析】量杯中原有200mL水，放入圆柱零件后，水面刻度变为320mL。因为零件完全淹没水中，所以水面上升的体积就是圆柱零件的体积。根据体积差可得圆柱放入量杯后的容积为320－200＝120mL。根据圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，已知圆柱放入量杯后的容积为120mL，所以圆锥放入量杯后的容积为×120＝40mL。乙量杯原有200mL水，放入圆锥零件后，再加上40mL就是乙量杯此时的刻度。 【解答】320－200＝120（mL） ×120＝40（mL） 200＋40＝240（mL） 圆锥零件放入量杯后，乙量杯中水面刻度是240mL。 故答案为：C 42．下面是西西做的实验，不计算，你认为小球和珊瑚的体积之间的大小关系是怎样的呢？（    ） A．珊瑚的体积大 B．小球的体积大 C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】水面升高的体积就是浸入水中物体的体积，容器相同，比较水面升高的高度即可。 【解答】放入小球水面升高：6.5－6＝0.5 放入珊瑚水面升高：7.5－6.5＝1 1＞0.5，珊瑚大。 故答案为：A 43．如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，放入小球后水面的高是10cm，②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是28cm，小球的体积与小正方体体积的比是（    ）。 A．15∶32 B．3∶32 C．32∶15 D．64∶15 【答案】C 【分析】因为两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 已知①号容器放入小球后，水面升高了（10－8）cm，那么水上升部分的体积就是小球的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出小球的体积； 已知②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是28cm，先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面高28cm时，水、小球和正方体的体积之和，再减去水、小球的体积，即是正方体的体积； 根据比的意义写出小球的体积与小正方体体积的比，再化简比。 【解答】水的体积： π×（16÷2）2×8 ＝π×82×8 ＝π×64×8 ＝512π（cm3） 小球的体积： π×（16÷2）2×（10－8） ＝π×82×2 ＝π×64×2 ＝128π（cm3） 正方体的体积： π×（10÷2）2×28－512π－128π ＝π×52×28－512π－128π ＝π×25×28－512π－128π ＝700π－512π－128π ＝60π（cm3） 小球的体积与小正方体体积的比是： 128π∶60π ＝（128π÷4π）∶（60π÷4π） ＝32∶15 小球的体积与小正方体体积的比是32∶15。 故答案为：C 44．把一块石头，浸没在一个底面积是60平方厘米的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5厘米，这块石头的体积是________立方厘米。 【答案】90 【分析】由题意可知，上升的水的体积就是石头的体积。根据，代入数据计算即可。 【解答】60×1.5＝90（立方厘米） 这块石头的体积是90立方厘米。 45．一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），瓶中水的体积与瓶子容积的比是（ ）。 【答案】2∶3 【分析】观察可知，瓶子的容积可看作左边阴影部分的容积加右边空白部分的容积，瓶中水的体积与瓶子容积可看作等底圆柱，瓶中水的高是12厘米，瓶子容积可看作等底圆柱的高是厘米，根据，计算瓶中水的体积与瓶子容积的比，用高作比并化简即可得解。 【解答】 一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），瓶中水的体积瓶子容积的比是2∶3。 46．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】300 【分析】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了2厘米，上升的这部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面，长30厘米，宽20厘米，高2厘米，根据长方体体积公式V＝abh（其中V为长方体体积，a为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积之和就是1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之和除以4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。 【解答】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方厘米） 1200÷（1＋3） ＝1200÷4 ＝300（立方厘米） 所以圆锥的体积是300立方厘米。 47．如图，圆柱的底面半径和高都是4厘米，把它完全浸没在一个装有水的水槽中，量得水位上升了8厘米。再把一个底面直径为4厘米的圆锥完全浸入水中，水位又上升了3厘米（水未溢出）。圆锥的高是多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】先根据圆柱体积公式V圆柱＝πr2h（π取3.14）求出圆柱体积，再用圆柱体积除以水位上升高度得到水槽底面积；接着用水槽底面积乘圆锥导致的水位上升高度，求出圆锥的体积。最后根据圆锥体积公式V圆锥＝πr2h，用圆锥体积乘3再除以圆锥底面积，求出圆锥的高。 【解答】圆柱体积：3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝50.24×4 ＝200.96（立方厘米） 水槽底面积：200.96÷8＝25.12（平方厘米） 圆锥体积：25.12×3＝75.36（立方厘米） 圆锥底面半径：4÷2＝2（厘米） 圆锥底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高：75.36×3÷12.56＝18（厘米） 答：圆锥的高是18厘米。 48．有两个完全一样的烧杯，里面盛了同样多的水，把一个实心球和一颗鹅卵石分别放在两个烧杯内没入水中，如图所示，水位上升的高度相同。 （1）实心球和鹅卵石的体积，哪个更大一些？ （2）烧杯的底面直径是10厘米，水的高度比原来上升了2厘米。实心球的体积是多少立方厘米？ （3）从图中看，你知道实心球和鹅卵石相比，哪个更重一些吗？相差多少克？ 【答案】（1）一样大 （2）157立方厘米 （3）实心球；31克 【分析】（1）因两个烧杯完全一样，里面盛的水同样多，把一个实心球和一颗鹅卵石分别放在两个烧杯内没入水中，水位上升的高度相同，则实心球和鹅卵石的体积一样大。 （2）根据“排水法”原理，实心球的体积等于上升的水的体积，利用计算。 （3）因两个烧杯完全一样，里面盛的水同样多，由图可知实心球与烧杯和水的总重量为0.611千克，鹅卵石与烧杯和水的总重量为0.58千克，则实心球比鹅卵石重，用求差，最后把结果的单位换算成克。 【解答】（1）实心球和鹅卵石的体积一样大。 （2）（厘米） （立方厘米） 答：实心球的体积是157立方厘米。 （3）实心球更重一些。 （千克） 0.031千克＝31克 答：实心球更重一些，相差31克。 考点七体积的等积变形 49．把一个棱长为3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为9平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是（    ）分米。 A．3 B．9 C．27 【答案】B 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积；由于体积不变；根据圆锥体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答。 【解答】3×3×3÷9÷ ＝9×3÷9÷ ＝27÷9÷ ＝3×3 ＝9（分米） 把一个棱长为3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为9平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是9分米。 故答案为：B 50．小雨把一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥捏成一个圆锥体，圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A． B． C． D．64 【答案】D 【分析】根据题意可知：把正方体的橡皮泥捏成圆锥，只是形状变了，但体积不变。要求圆锥的体积是多少立方厘米，根据正方体的体积公式：，求出正方体的体积也就是圆锥的体积。 【解答】 （立方厘米） 圆锥的体积是64立方厘米。 故答案为：D 51．如图，瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满（    ）杯。 A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意知道瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，设瓶底的面积为S，瓶子内水的高度为2h，则锥形杯子的高度为h，先根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出圆柱形瓶内水的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，算出圆锥形杯子的体积，最后用除法解答即可得出答案。 【解答】圆柱形瓶内水的体积：S×2h＝2Sh 圆锥形杯子的体积：Sh 倒满杯子的杯数：2Sh÷Sh＝6（杯） 即瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满6杯。 故答案为：A 52．一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是（ ）dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是（ ）dm2。 【答案】 12 3 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆锥的体积；把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，长方体的体积和圆锥体积相等，再根据长方体体积＝底面积×高，求出长方体的底面积，据此解答即可。 【解答】圆锥体积：（dm3） 长方体底面积：（dm2） 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积之间的关系、长方体的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥体积之间的关系与长方体的体积计算公式。 53．亮亮把一个棱长为4分米的正方体容器内装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器中正好装满。这个圆锥形容器的高是（ ）分米。（容器的厚度忽略不计） 【答案】16 【分析】把正方体容器中的水倒入圆锥体容器中，水的形状改变了，但是水的体积没有变，根据正方体的体积公式：V=棱长×棱长×棱长可求得正方体容器的体积，即水的体积，然后根据圆锥的体积V=×底面积×高可求得高=体积÷÷底面积，据此求出该圆锥容器的高。 【解答】4×4×4=64（立方分米） 64÷÷12 =64×3÷12 =192÷12 =16（分米） 则该圆锥形容器的高是16分米。 【点睛】 54．有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为（ ）。（结果保留） 【答案】 【分析】蓝色溶液的体积没有发生变化，图2和图3的阴影部分都是液体的体积。由图2可以根据圆柱的体积＝算出蓝色溶液的体积。再根据图三求出空白部分的体积，空白的部分是一个和圆柱相同的底面，但是高是4cm的圆柱。整个玻璃器皿的体积＝蓝色溶液的体积＋空白部分的体积。 【解答】蓝色溶液的体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 空白部分的体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 玻璃器皿的体积：（cm3） 则玻璃密封器皿总容量为cm3。（结果保留） 55．有一个完全封闭的容器，从里面量得长20厘米，宽16厘米，高10厘米，平放时水面高7厘米（左图）。如果把这个容器竖着放（右图），水面的高度是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】横着放和竖着放，水的体积不变。水在长方体容器中也是长方体的形状，长、宽都与容器内部的长、宽相等，高是水这个长方体自己的高，先根据，求出水的体积；竖着放时，底面长为16厘米，宽为10厘米，求这时水面的高度，就是求这时水这个长方体的高，根据，代入数据即可得解。 【解答】 （立方厘米） （厘米） 答：水面的高度是14厘米。 56．如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 【答案】（1）50% （2）6厘米 【分析】（1）根据酒瓶正放或倒放时，空气的体积是一样的，即可将正放时的空气部分，替换成倒放时的空气部分，即10厘米高的圆柱，则整个容器，可以看成是一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱，其中酒占10厘米，即可算出酒的体积占酒瓶的百分之几。 （2）先计算出酒的体积，然后除以20，即可得出这个圆锥形酒杯一杯的容积。结合圆锥的体积公式：，即可得出酒杯的高度。 【解答】（1）30－20＝10（厘米） 10÷（10＋10）＝50% 答：酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的50%。 （2）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 502.4÷20＝25.12（立方厘米） 4÷2＝2（厘米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥形酒杯的高是6厘米。 【点睛】第一题找到前后两种摆放，空气体积相同，将不规则的部分进行等积转化，转化成规则的圆柱体，是解决此题的关键，同时，需要熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $