专题27：立体图形（专项训练）-2026年小升初数学复习讲练测（北京专用）

【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测（北京专用） 专题27：立体图形 目录 考点一三视图的认识 1 考点二长方体和正方体 3 考点三圆柱和圆锥 5 考点四组合体的表面积 7 考点五组合体的体积 9 考点六不规则的物体的体积算法 11 考点七体积的等积变形 13 考点一三视图的认识 1．笑笑用小正方体搭了一个立体图形，从上面和左面看到的形状如图，她至少用了（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．9 2．观察如图中的两个物体，从（    ）面看到的形状不同。 A．前 B．左 C．上 3．下面四个几何体都是由5个棱长为1cm的小正方体搭建而成的，若从左面看四个几何体，则看到的图形与其它三个不同的几何体是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体，最多可以有（ ）个小正方体。 5．下面4张照片分别是月月站在哪个位置拍到的？（填序号） 6．在括号里填上合适的序号。 （1）从前面看，（ ）和（ ）形状相同。 （2）从上面看，（ ）和（ ）形状相同。 （3）从左面看，（ ）和（ ）形状相同。 7．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，从正面看到的形状和从上面看到的形状是一样的。这个立体图形是由几个小立方块搭成的？ 8．下图是一个立体图形分别从上面、左面和正面看到的图形，请按要求作图。 （1）画出从上面看到的图形绕点顺时针旋转90度以后的图形。 （2）画出从正面看到的图形向上平移3格后的图形。 （3）在合适的位置画出从左面看到的图形按放大后的图形。 （4）该立体图形是由（    ）个小正方体搭成的。 考点二长方体和正方体 9．一张长方形纸长40厘米、宽8厘米，把它对折、再对折，打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，则底面的面积是（    ）。 A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 10．如图，一个棱长是4厘米的正方体，从它的顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比，（    ）。 A．大了 B．小了 C．不变 11．如图，把3个相同的小长方体拼成1个高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）cm3。 A．180 B．120 C．60 12．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的体积是（ ）立方厘米。 13．把一个棱长为6厘米的正方体实心木料削成一个最大的圆锥体（不计损耗），圆锥的体积是（ ）立方厘米，削去部分的体积是（ ）立方厘米。 14．某圆柱形饮料瓶的规格尺寸（底面直径为5厘米，高为8厘米），每箱可以装12瓶（如图紧密放置）。这个纸盒的容积是（ ）立方厘米。 15．数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 16．学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 考点三圆柱和圆锥 17．如图所示，一个密闭的容器里（上部为圆柱形，下部为圆锥形）装有一定的水，现将容器倒置，此时水面的高度为（    ）。 A．29cm B．23cm C．11cm 18．下面的圆柱中与圆锥体积相等的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 19．下面是圆柱的展开图的是（    ）。 A． B． C．D． 20．在一个高是9cm，底面半径是4cm的圆锥形容器里倒满饮料，再将这些饮料全部倒入一个圆柱形容器内，刚好装了圆柱形容器的30%。这个圆柱形容器的容积是（ ）mL。 21．越剧是仅次于京剧的第二大剧种，越剧《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶记》，其中就讲到箍桶千奇百怪，五花八门。箍桶匠制作了一个圆柱形无盖箍桶（如下图），底面直径是6dm，高是7dm。制作这个箍桶至少用了（ ）dm2的木板，这个箍桶最多能装水（ ）L。 22．一辆货车是一个长方体，它长是4m，宽是3m，高是3m，这辆货车装满一车沙，全部卸完后沙堆堆成一个高是1.8m的圆锥形，沙堆的底面积是（ ）m²。 23．接待组准备为来参观的客人购买一些饮料。如图，一个果汁瓶的容积是毫升，当瓶子正放时，瓶内液面高为厘米，当瓶子倒放时，空余部分高为厘米，瓶内果汁有多少毫升？ 24．要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面直径是20厘米，高是30厘米。 （1）至少需要多少平方分米的钢化玻璃？ （2）给鱼缸里倒入15厘米高的水，小军把一块石头放入鱼缸并完全浸没，水面升高了5厘米，石头的体积是多少？ 考点四组合体的表面积 25．四个一样的立方体纸箱放在墙角，与如图露在外面的面的数量相等的摆法是（    ）。 A． B．C． D． 26．将四个长10cm，宽8cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 27．有一个棱长是3分米的正方体零件，从它的一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长为1分米的正方形的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．减少12平方分米 B．增加12平方分米 C．减少10平方分米 D．增加10平方分米 28．用棱长 1 厘米的小正方体木块搭成一个大正方体，这个正方体体积最小是（ ）立方厘米；用两个棱长 1 厘米的小正方体木块搭成一个长方体，长方体的表面积是（ ）平方厘米。 29．下图所示的物体是由一个正方体和一个圆柱体组成，正方体的棱长是，圆柱体的底面直径和高均为，那么这个物体的表面积是（ ）平方厘米。（取3.14） 30． 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是（ ）平方分米。 31．将高都是2厘米，底面半径分别是1厘米、2厘米和3厘米的3个圆柱堆在一起（如图），求这个物体的表面积。 32．立体图形的测量。 2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。 （1）问涂色部分的面积多大？ （2）该U形池所占空间大小？ 考点五组合体的体积 33．如图图形中，可以用“底面积高”来计算体积的有几个？（    ） A．3 B．4 C．5 34．如图中，一个小正方体的体积是1立方厘米，长宽高不变，要把如图的图形补成一个完整的立方体，补上的那部分的体积是（    ）立方厘米。 A．14 B．34 C．48 35．如下图，直角梯形以CD所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是（    ）cm3。 A．50.24 B．25.12 C．62.8 D．75.36 36．如图是由棱长为1cm的小正方体搭成的，这个立体图形的体积是（ ）cm3，表面积是（ ）cm2。 37．下边是一个零件，它的体积是600 cm3，那么上面圆锥的体积是（ ） cm3。 38．超市里把同样的包装盒摆成了三堆（如图）。第（ ）堆的体积最小。第（ ）堆和第（ ）堆的体积一样大。                      第1堆        第2堆           第3堆 39．一个密闭的粮仓形状如图，如果每立方米小麦的质量为700千克，这个粮仓最多能装多少千克小麦？（结果保留整数） 40．如图，加工一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2厘米的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件。 （1）这个零件的体积是多少立方厘米（π取3）。 （2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米（π取3）。 考点六不规则的物体的体积算法 41．如图，圆柱形玻璃容器的底面半径为8厘米，里面水深10厘米，水中浸没着一个底面半径为6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降0.7厘米。根据这些信息，不能求出下面第（    ）个问题。 A．容器里面装了多少升的水 B．铅锤的体积是多少立方厘米 C．容器的高是多少厘米 42．如图是淘气比较土豆和胡萝卜体积的实验过程。观察实验过程，下面说法正确的是（    ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．土豆和胡萝卜的体积一样大 43．一个圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块不规则的石块放入这个盛水的容器中（石块完全没入水中），水面上升了2cm，这块石块的体积是（    ）。 A．78.5 B．628 C．157 44．一个底面积为68平方分米的圆柱体容器里盛有水，将一块珊瑚石浸入水中，水面上升了3厘米（水未溢出）。这块珊瑚石的体积是（ ）立方分米。 45．如下图所示，一个球的体积是（ ）立方厘米，两个球大小相同。（单位：厘米） 46．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，里面水深2.5分米，投入一块铁块后（完全浸没），这时缸里溢出水8升，这块铁块体积是（ ）立方分米。 47．一个正方体玻璃容器的棱长为2分米，向容器中倒入5升水，再把一块石头放入水中，这时玻璃容器内水深15厘米（石头完全浸入水中）。石头的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 48．洛阳牡丹瓷是以洛阳牡丹为原型的新派艺术陶瓷。在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量一块牡丹瓷的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没牡丹瓷。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该牡丹瓷的体积是多少立方分米？ 考点七体积的等积变形 49．如图，把一块长方体钢坯铸造成一根直径为6dm的圆柱形钢筋，钢筋的长度是（    ）dm。 A．7.5 B．10 C．15 50．“数学好玩”小组的同学们为了测量一个底面直径是6厘米的圆锥体铁块的体积，将这个圆锥体铁块浸没在一个底面半径是10厘米，水深是8厘米的圆柱体容器中，发现水面上升到10厘米（水未溢出）。这个圆锥体铁块的体积是（    ）立方厘米。 A．628 B．565.2 C．314 D．157 51．如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：cm），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（    ）。 A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 52．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高（ ）厘米。 53．一块圆柱形橡皮泥，底面积是10cm2，高是5cm。如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm；如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是（ ）cm2。 54．一个长为4分米、宽为3.14分米、高为6.28分米的长方体水槽中装有水，慢慢放入一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块，完全浸没后水面上升了1厘米且没有溢出，这个圆锥形铁块的高是（ ）厘米。 55．在一底面直径是24厘米的圆柱形水桶里，放入一个底面半径是6厘米的圆锥，圆锥全部浸入水中后，水面上升了1厘米（水未溢出）。圆锥的高是多少？ 56．竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测（北京专用） 专题27：立体图形 目录 考点一三视图的认识 1 考点二长方体和正方体 7 考点三圆柱和圆锥 12 考点四组合体的表面积 16 考点五组合体的体积 22 考点六不规则的物体的体积算法 27 考点七体积的等积变形 31 考点一三视图的认识 1．笑笑用小正方体搭了一个立体图形，从上面和左面看到的形状如图，她至少用了（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】从上面看的形状能帮助我们确定立体图形底层小正方体的分布情况，从左面看的形状则用于辅助判断立体图形的层数以及上层小正方体的位置情况。 【解答】从上面看到的形状可知，这个立体图形的底层至少有5个小正方体，可以看作是前排3个小正方体，后排2个小正方体；从左面看到的形状是2层，为了使用最少数量的小正方体搭建出符合两个视图的立体图形，上层最少需要2个小正方体，且这个小正方体放在后排和前排各一个（这样能同时满足从上面和左面看到的形状要求）；所以总共至少需要的小正方体数量为底层的5个加上上层的2个，即5＋2＝7个。 故答案为：B 2．观察如图中的两个物体，从（    ）面看到的形状不同。 A．前 B．左 C．上 【答案】C 【分析】观察立体图形可知，从前面都可以看到两列，左边一列看到2个小正方形，右边一列看到1个小正方形，两列小正方形底部对齐；从左面都可以看到两列，左边一列看到1个小正方形，右边一列看到2个小正方形，两列小正方形底部对齐；左图从上面可以看到两列，左边一列看到2个小正方形，右边一列看到1个小正方形，两列小正方形顶部对齐；右图从上面可以看到两列，左边一列看到2个小正方形，右边一列看到1个小正方形，两列小正方形底部对齐，据此解答。 【解答】 A．从前面看到的形状都是； B．从左面看到的形状都是； C．从上面看到的形状是；从上面看到的形状是。 故答案为：C 3．下面四个几何体都是由5个棱长为1cm的小正方体搭建而成的，若从左面看四个几何体，则看到的图形与其它三个不同的几何体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意，分别观察出各几何体从左面看是什么形状，再把观察到的平面图形进行判断，据此选择即可。 【解答】A．从左面看到的是； B．从左面看到的是； C．从左面看到的是； D．从左面看到的是。 从左面看到的图形B、C、D相同，与其它三个不同的是A。 故答案为：A 4．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体，最多可以有（ ）个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】从上面看到的图形可得，这个图形底层前面一行1个小正方体，后面一行3个正方体，所以至少有4个小正方体； 从左面看到的图形可得，前面一行只有1层，所以前面一行只有1个正方形，后面一行是2层，要使小正方体最少，则上层只有1个正方体；要使小正方体最多，则上层是3个正方体。 【解答】最少有：4＋1＝5（个） 最多有：4＋3＝7（个） 搭这样的立体图形，最少需要5个小正方体，最多可以有7个小正方体。 5．下面4张照片分别是月月站在哪个位置拍到的？（填序号） 【答案】见详解 【分析】在①处看到的是小女孩的正脸和椭圆；②处看到的是小女孩的侧脸；③处看到的是小女孩的后脑和椭圆；④处看到的是椭圆挡住了脸；据此解答即可。 【解答】 6．在括号里填上合适的序号。 （1）从前面看，（ ）和（ ）形状相同。 （2）从上面看，（ ）和（ ）形状相同。 （3）从左面看，（ ）和（ ）形状相同。 【答案】（1） ② ⑤ （2） ① ④ （3） ② ③ 【分析】 （1）从前面看是，从前面看是，从前面看是，从前面看是，从前面看是。 （2）从上面看是，从上面看是，从上面看是，从上面看是，从上面看是。 （3）从左面看是，从左面看是，从左面看是，从左面看是，从左面看是。 【解答】（1）从前面看，②和⑤形状相同。 （2）从上面看，①和④形状相同。 （3）从左面看，②和③形状相同。 7．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，从正面看到的形状和从上面看到的形状是一样的。这个立体图形是由几个小立方块搭成的？ 【答案】5个 【分析】根据给出来的三个方向看到的形状图，由左面和正面图形可知，该立体图形有两层，从上面看，底下一层有四个小立方块；从正面和左面看，该立体图形的上面一层有一个立方块，且位于第一排的中间，据此即可画出该立体图形，从而解答。 【解答】由分析可得，这个立体图形的形状是： 所以这个立体图形是由5个小方块搭成的。 答：这个立体图形是由5个小立方块搭成的。 【点睛】本题主要考查了从不同方向观察物体，关键是要掌握从不同的方向观察物体和几何体，从而得到原立体图形的方法。 8．下图是一个立体图形分别从上面、左面和正面看到的图形，请按要求作图。 （1）画出从上面看到的图形绕点顺时针旋转90度以后的图形。 （2）画出从正面看到的图形向上平移3格后的图形。 （3）在合适的位置画出从左面看到的图形按放大后的图形。 （4）该立体图形是由（    ）个小正方体搭成的。 【答案】（1）（2）（3）见详解 （4）5 【分析】（1）根据旋转的特征，上面看到的图形绕点顺时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕点A按相同的方向旋转相同的角度，即可画出绕A点顺时针旋转90度后的图形。 （2）把从正面看到的图形的各个关键点向上平移3格后，然后连接即可。 （3）将从左面看到的图形的各个边长扩大到原来的2倍，据此作图即可。 （4）从上面看到的形状有3个正方体，从左面看有2个正方体，从正面看有5个正方体，据此解答即可。 【解答】（1）（2）（3）如图所示： （4）该立体图形是由2个小正方体搭成的。 【点睛】本题考查图形的放大，明确放大的是图形的各个边长是解题的关键。 考点二长方体和正方体 9．一张长方形纸长40厘米、宽8厘米，把它对折、再对折，打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，则底面的面积是（    ）。 A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 【答案】B 【分析】 如图所示，把长方形纸对折、再对折，打开后长被平均分成4份，每份是40÷4＝10厘米，则该长方体的底面是以10厘米为边长的正方形，高是8厘米，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出这个长方体的底面积，据此解答。 【解答】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 所以底面的面积是100平方厘米。 故答案为：B 10．如图，一个棱长是4厘米的正方体，从它的顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比，（    ）。 A．大了 B．小了 C．不变 【答案】C 【分析】从正方形顶点处挖去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，但是又出现了同样的3个小正方形的面积，因此表面积是不变的，据此解题即可。 【解答】原来的表面积为：（平方厘米） 从顶点挖去一个小正方体之后，剩下物体的表面积为： （平方厘米） 所以剩下物体的表面积和原来的表面积相比，面积不变。 故答案为：C 11．如图，把3个相同的小长方体拼成1个高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）cm3。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【分析】把3个相同的小长方体拼成了1个高的大长方体，表面积减少了，减少的面积是小长方体的4个底面面积，用，求出一个小长方体的底面积，再用，求出一个小长方体的高，再根据长方体体积底面积高，即可求出一个小长方体的体积。 【解答】（48÷4）×（15÷3） ＝12×5 ＝60（） 所以原来1个小长方体的体积是60。 故答案为：C 12．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的体积是（ ）立方厘米。 【答案】90 【分析】由图可知，长方体鱼缸的长可以放下6个棱长为1厘米的小正方体，所以长为6厘米；宽可以放下5个棱长为1厘米的小正方体，所以宽为5厘米；高可以放下3个棱长为1厘米的小正方体，所以高为3厘米；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方厘米） 所以这个玻璃鱼缸的体积是90立方厘米。 13．把一个棱长为6厘米的正方体实心木料削成一个最大的圆锥体（不计损耗），圆锥的体积是（ ）立方厘米，削去部分的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 56.52 159.48 【分析】已知把一个正方体实心木料削成一个最大的圆锥体，则圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长6厘米；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积； 根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体木料的体积；再用正方体的体积减去圆锥的体积，即是削去部分的体积。 【解答】×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 216－56.52＝159.48（立方厘米） 圆锥的体积是（56.52）立方厘米，削去部分的体积是（159.48）立方厘米。 14．某圆柱形饮料瓶的规格尺寸（底面直径为5厘米，高为8厘米），每箱可以装12瓶（如图紧密放置）。这个纸盒的容积是（ ）立方厘米。 【答案】2400 【分析】从图中可知，长方体纸盒的长等于4个饮料瓶的底面直径之和，宽等于3个饮料瓶的底面直径之和，高等于饮料瓶的高；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个纸盒的容积。 【解答】长：5×4＝20（厘米） 宽：5×3＝15（厘米） 20×15×8 ＝300×8 ＝2400（立方厘米） 这个纸盒的容积是2400立方厘米。 15．数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）6250平方厘米 （2）1.5立方分米 【分析】（1）求这个无盖长方体容器需要铁皮的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （2）根据题意，把萝卜完全浸入水中，水面上升了（14－12）厘米，那么水上升部分的体积等于萝卜的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个萝卜的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【解答】（1）30×25＋30×50×2＋25×50×2 ＝750＋3000＋2500 ＝6250（平方厘米） 答：至少需要6250平方厘米的铁皮。 （2）30×25×（14－12） ＝30×25×2 ＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1.5立方分米 答：这个萝卜的体积是1.5立方分米。 16．学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 【答案】（1）3.6平方米； （2）0.726立方米；26.136元 【分析】（1） 一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，则这个花坛的四个侧面是相同的。求需要瓷砖多少平方米，就是求这个长方体花坛的侧面积，这四个面相等，用长方体的长×高×4，代入数据，求出侧面积； （2）花坛中间填满泥土，由题意知花坛中间是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，且花坛内侧长方体的长是（1.5－0.2－0.2）米，宽是（1.5－0.2－0.2）米，高是0.6米，据此解答即可。 【解答】（1）1.5×0.6×4 ＝0.9×4 ＝3.6（平方米） 答：至少需要贴3.6平方米的瓷砖。 （2）（1.5－0.2－0.2）×（1.5－0.2－0.2）×0.6 ＝（1.3－0.2）×（1.3－0.2）×0.6 ＝1.1×1.1×0.6 ＝1.21×0.6 ＝0.726（立方米） 0.726×36＝26.136（元） 答：一共需要26.136元。 考点三圆柱和圆锥 17．如图所示，一个密闭的容器里（上部为圆柱形，下部为圆锥形）装有一定的水，现将容器倒置，此时水面的高度为（    ）。 A．29cm B．23cm C．11cm 【答案】C 【分析】圆柱和圆锥的底面积相等，圆锥的高度为18cm，圆柱里面水的高度为（23－18）cm，容器倒置后，圆锥里面的水在圆柱里面的高度为圆锥高度的，最后加上原来圆柱里面水的高度就是倒置后的水面高度，据此解答。 【解答】18×＋（23－18） ＝6＋5 ＝11（cm） 18．下面的圆柱中与圆锥体积相等的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积V＝πr2h，算出圆锥的体积；根据圆柱体积V＝πr2h，分别算出4个圆柱的体积，找出和圆锥体积相等的圆柱即可。 【解答】圆锥的体积：×π×（9÷2）2×12＝×π×4.52×12＝×π×20.25×12＝81π A．π×（9÷2）2×12＝π×4.52×12＝π×20.25×12＝243π，和圆锥体积不相等。 B．π×（9÷2）2×4＝π×4.52×4＝π×20.25×4＝81π，和圆锥体积相等。 C．π×（3÷2）2×12＝π×1.52×12＝π×2.25×12＝27π，和圆锥体积不相等。 D．π×（3÷2）2×4＝π×1.52×4＝π×2.25×4＝9π，和圆锥体积不相等。 19．下面是圆柱的展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱展开图可知，圆柱侧面展开图的长等于圆柱的底面周长，根据圆的周长＝πd，代入数值计算，据此解答。 【解答】A．3.14×3＝9.42 9≠9.42，不是圆柱的展开图。 B．3.14×3＝9.42 9.42＝9.42，是圆柱的展开图。 C．3.14×3＝9.42 3≠9.42，不是圆柱的展开图。 D．3.14×3＝9.42 12≠9.42，不是圆柱的展开图。 圆柱的展开图的是。 20．在一个高是9cm，底面半径是4cm的圆锥形容器里倒满饮料，再将这些饮料全部倒入一个圆柱形容器内，刚好装了圆柱形容器的30%。这个圆柱形容器的容积是（ ）mL。 【答案】502.4 【分析】根据圆锥的体积公式，求出饮料的体积，由题意可知，把圆柱形容器的体积看作单位“1”，饮料占它的30%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用饮料体积除以其对应的百分数，再把体积单位转化为容积单位mL。 【解答】 （cm3） 502.4cm3＝502.4mL 21．越剧是仅次于京剧的第二大剧种，越剧《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶记》，其中就讲到箍桶千奇百怪，五花八门。箍桶匠制作了一个圆柱形无盖箍桶（如下图），底面直径是6dm，高是7dm。制作这个箍桶至少用了（ ）dm2的木板，这个箍桶最多能装水（ ）L。 【答案】 160.14 197.82 【分析】制作这个箍桶的木板的面积就是求圆柱的侧面积加一个底面积，求这个箍桶的容积可先求圆柱的体积再把单位转化为容积单位L，根据、、，代入数据计算。 【解答】 （dm2） （dm3） （L） 制作这个箍桶至少用了160.14dm2的木板，这个箍桶最多能装水197.82L。 22．一辆货车是一个长方体，它长是4m，宽是3m，高是3m，这辆货车装满一车沙，全部卸完后沙堆堆成一个高是1.8m的圆锥形，沙堆的底面积是（ ）m²。 【答案】60 【分析】根据长方体体积公式：可算出这车沙子的体积，因为圆锥形沙堆体积等于长方体沙堆体积，根据圆锥体积公式：，可推导出，代入数据进行计算求出底面积。 【解答】4×3×3＝36（） 36×3÷1.8 ＝108÷1.8 ＝60（） 所以沙堆的底面积是60。 23．接待组准备为来参观的客人购买一些饮料。如图，一个果汁瓶的容积是毫升，当瓶子正放时，瓶内液面高为厘米，当瓶子倒放时，空余部分高为厘米，瓶内果汁有多少毫升？ 【答案】396毫升 【分析】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以果汁瓶的容积＝放正时液面的体积＋倒放后空余部分的体积，正放时和倒放时瓶子的底面积相同，高度为（12＋2）厘米，结合容积为462毫升，用容积除以高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。 【解答】 圆柱的底面积： （平方厘米） 瓶内果汁的体积： （立方厘米） 答：瓶内装有果汁396毫升。 24．要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面直径是20厘米，高是30厘米。 （1）至少需要多少平方分米的钢化玻璃？ （2）给鱼缸里倒入15厘米高的水，小军把一块石头放入鱼缸并完全浸没，水面升高了5厘米，石头的体积是多少？ 【答案】（1）21.98平方分米 （2）1570立方厘米 【分析】（1）无盖圆柱形鱼缸的表面积＝底面积＋侧面积＝πr2＋πdh，先算出半径，代入数值计算，最后将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 （2）石头的体积等于上升部分水的体积，上升部分的水可看作底面与鱼缸底面相同、高为5厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式计算即可。 【解答】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102＋3.14×20×30 ＝3.14×100＋62.8×30 ＝314＋1884 ＝2198（平方厘米） 2198平方厘米＝21.98平方分米 答：至少需要21.98平方分米的钢化玻璃。 （2）3.14×102×5 ＝3.14×100×5 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：石头的体积是1570立方厘米。 考点四组合体的表面积 25．四个一样的立方体纸箱放在墙角，与如图露在外面的面的数量相等的摆法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从正面、右面、后面和上面数出露在外面的面的数量，然后相加即可。 【解答】题干图有：2＋4＋2＝8（个） 图A：3＋3＋3＝9（个） 图B：3＋4＋2＝9（个） 图C：3＋3＋3＋1＝10（个） 图D：4＋2＋2＝8（个） 所以，与如图露在外面的面的数量相等的摆法是D。 故选：D。 【点睛】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。 26．将四个长10cm，宽8cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算每个选项中长方体的表面积，比较即可。 【解答】A．，长是10×2＝20cm，宽是8×2＝16cm，高是3cm 表面积：（20×16＋20×3＋16×3）×2 ＝（320＋60＋48）×2 ＝（380＋48）×2 ＝428×2 ＝856（cm2） B．，长是10cm，宽是8cm，高是3×4＝12cm 表面积：（10×8＋10×12＋8×12）×2 ＝（80＋120＋96）×2 ＝（200＋96）×2 ＝296×2 ＝592（cm2） C．，长是10×2＝20cm，宽是8cm，高是3×2＝6cm 表面积：（20×8＋20×6＋8×6）×2 ＝（160＋120＋48）×2 ＝（280＋48）×2 ＝328×2 ＝656（cm2） D．，长是10cm，宽是8×2＝16cm，高是3×2＝6cm 表面积：（10×16＋10×6＋16×6）×2 ＝（160＋60＋96）×2 ＝（220＋96）×2 ＝316×2 ＝632（cm2） 856＞656＞632＞592 故答案选：B 【点睛】此题考查长方体表面积的意义及应用。要使拼组后的长方体表面积最小，要尽可能多地把最大的面相粘合。 27．有一个棱长是3分米的正方体零件，从它的一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长为1分米的正方形的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．减少12平方分米 B．增加12平方分米 C．减少10平方分米 D．增加10平方分米 【答案】D 【分析】观察图形可知：这个零件增加的面积是4个长为3分米、宽为1分米的长方形的面积，即增加的面积是3×1×4＝12（平方分米）；减少的面积是2个边长1分米的正方形的面积，即减少的面积是1×1×2＝2（平方分米）。再比较增加的面积和减少的面积的大小，并用较大的面积减去较小的面积。 【解答】3×1×4＝12（平方分米） 1×1×2＝2（平方分米） 12＞2，所以这个零件的表面积增加了。 12－2＝10（平方分米） 所以，这个零件的表面积增加10平方分米。 故答案为：D 28．用棱长 1 厘米的小正方体木块搭成一个大正方体，这个正方体体积最小是（ ）立方厘米；用两个棱长 1 厘米的小正方体木块搭成一个长方体，长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】 8 10 【分析】至少用8个小正方体可以搭成一个较大的正方体，所以这个正方体的体积是小正方体体积的8倍；用两个棱长1厘米的小正方体搭成一个长方体，减少了2个面，即长方体的表面有10个小正方形，据此解答。 【解答】1×1×1×8＝8（立方厘米），这个正方体体积最小是8立方厘米。 1×1×10＝10（平方厘米），长方体的表面积是10平方厘米。 【点睛】掌握至少用8个小正方体可以搭成一个较大的正方体；较小的立方体拼成长方体，体积不变，表面积减少。 29．下图所示的物体是由一个正方体和一个圆柱体组成，正方体的棱长是，圆柱体的底面直径和高均为，那么这个物体的表面积是（ ）平方厘米。（取3.14） 【答案】2714 【分析】将圆柱上边底面平移到下边，就能组成完整的正方体表面积，这个物体的表面积包括完整的正方体表面积和圆柱的侧面积，据此列式计算即可。 【解答】20×20×6＋3.14×10×10 ＝2400＋314 ＝2714（平方厘米） 那么这个物体的表面积是2714平方厘米。 【点睛】本题考查了组合体的表面积，圆柱侧面积＝底面周长×高。 30． 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是（ ）平方分米。 【答案】117.68 【分析】这个零件的表面积是直径为4分米的圆柱的表面积的一半与棱长为4分米的正方体的5个面的面积的和。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，结合这两个公式求出题中零件的表面积。 【解答】[3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×4]÷2＋4×4×5 ＝[3.14×4×2＋50.24]÷2＋80 ＝[25.12＋50.24]÷2＋80 ＝75.36÷2＋80 ＝37.68＋80 ＝117.68（平方分米） 所以，这个零件的表面积是117.68平方分米。 【点睛】此题考查了圆柱和正方体的表面积公式的灵活应用，解题关键是熟记公式。 31．将高都是2厘米，底面半径分别是1厘米、2厘米和3厘米的3个圆柱堆在一起（如图），求这个物体的表面积。 【答案】131.88平方厘米 【分析】通过平移，上边圆柱的上底面和中间圆柱上面的圆环，可以平移到最下边圆柱的上底面，组合体的表面积＝最上边圆柱侧面积＋中间圆柱侧面积＋完整的最下面圆柱表面积，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高。 【解答】 （平方厘米） 答：这个物体的表面积是131.88平方厘米。 【点睛】关键是掌握圆柱表面积公式，具有一定的空间想象能力。 32．立体图形的测量。 2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。 （1）问涂色部分的面积多大？ （2）该U形池所占空间大小？ 【答案】（1）3127.76平方米 （2）1617.6立方米 【分析】（1）涂色部分的面积＝圆柱侧面积的一半＋长×高×2＋宽×高×2－圆柱底面积，据此列式解答； （2）U形池的体积＝长方体体积－圆柱体积的一半，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高。 【解答】（1）2×3.14×6×120÷2＋120×3.5×2＋20×3.5×2－3.14×62 ＝2260.8＋840＋140－113.04 ＝3127.76（平方米） 答：涂色部分的面积有3127.76平方米。 （2）120×20×3.5－3.14×62×120÷2 ＝8400－6782.4 ＝1617.6（立方米） 答：该U形池所占空间1617.6立方米。 【点睛】关键是看懂图示，掌握长方体和圆柱的表面积和体积公式。 考点五组合体的体积 33．如图图形中，可以用“底面积高”来计算体积的有几个？（    ） A．3 B．4 C．5 【答案】B 【分析】图形上下两个底面的形状、大小、方向相同，即可用“底面积高”来计算体积。据此解答即可。 【解答】图1、图2、图3和图4中上下两个底面完全相同，则都可以用“底面积高”来计算体积。共有4个。 故答案为：B 34．如图中，一个小正方体的体积是1立方厘米，长宽高不变，要把如图的图形补成一个完整的立方体，补上的那部分的体积是（    ）立方厘米。 A．14 B．34 C．48 【答案】B 【分析】完整的立方体的长和宽均有4个小正方体，高有3个小正方体，可以计算出完整的立方体的体积，再从中减去现有的立方体的体积即可。其中现有的立方体的体积通过数小正方体的个数计算：上层有1个，中间层有3个，下层有10个。 【解答】立方体体积：（立方厘米） 现有图形体积： （立方厘米） 补全需要的体积：（立方厘米） 故答案为：B 35．如下图，直角梯形以CD所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是（    ）cm3。 A．50.24 B．25.12 C．62.8 D．75.36 【答案】A 【解析】直角梯形以CD所在的直线为轴旋转一周后，得到一个圆柱与圆锥的组合体。该组合体圆柱、圆锥的底面半径均为2cm，圆柱的高为3cm，圆锥的高为6－3＝3cm。将数据带入圆柱的体积公式：V＝Sh＝πr2h、圆锥的体积公式：V＝Sh＝πr2h，求出圆柱、圆锥的体积求和即可。 【解答】3.14×22×3＋×3.14×22×3 ＝3.14×12＋3.14×4 ＝3.14×16 ＝50.24（cm3） 故答案为：A 【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥的体积公式的应用，解题的关键是明确旋转后得到的几何体的形状。 36．如图是由棱长为1cm的小正方体搭成的，这个立体图形的体积是（ ）cm3，表面积是（ ）cm2。 【答案】 5 20 【分析】立体图形的体积＝每块小正方体的体积×小正方体的块数；立体图形从上、下面看到的都是4个棱长1cm的小正方形，从左、右面看到的都是3个棱长1cm的小正方形，从前、后面看到的都是3个棱长1cm的小正方形，据此解答即可。 【解答】1×1×1×5＝5（cm3） 1×1×4×2＋1×1×3×2＋1×1×3×2 ＝8＋6＋6 ＝20（cm2） 则立体图形的体积是5cm3，表面积是20cm2。 【点睛】求立体图形的表面积是本题的难点，运用从不同方向观察立体图形的知识，6个方向观察到的图形的总面积，就是这个立体图形的表面积。 37．下边是一个零件，它的体积是600 cm3，那么上面圆锥的体积是（ ） cm3。 【答案】300 【分析】设圆锥和圆柱相同的底面积是xcm2，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，根据圆柱体积＋圆锥体积＝零件体积，列出方程求出底面积，再根据圆锥体积公式求出圆锥体积即可。 【解答】解：设圆锥和圆柱相同的底面积是xcm2。 4x＋12x÷3＝600 4x＋4x＝600 8x÷8＝600÷8 x＝75 75×12÷3＝300（cm3） 【点睛】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 38．超市里把同样的包装盒摆成了三堆（如图）。第（ ）堆的体积最小。第（ ）堆和第（ ）堆的体积一样大。                      第1堆        第2堆           第3堆 【答案】 2 1 3 【分析】根据图片，每堆包装盒都是由小的长方体包装盒组成的，每个小长方体的大小相等，形状相同，所以谁的小包装盒数量多，谁的体积就大，据此数出组成每堆包装盒的小包装盒数量即可。 【解答】由分析可得： 第1堆小包装盒数量：8个； 第2堆小包装盒数量：6个； 第3堆小包装盒数量：8个； 6＜8，所以第2堆的体积最小，第1堆和第3堆的体积一样大。 【点睛】本题解题的关键是通过对图片的分析，将体积大小的比较转换到小包装盒的数量比较上，前提条件是所有的小包装盒要完全一样。 39．一个密闭的粮仓形状如图，如果每立方米小麦的质量为700千克，这个粮仓最多能装多少千克小麦？（结果保留整数） 【答案】3737千克 【分析】看图可知，粮仓有圆柱和圆锥组成，装的小麦体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此求出小麦体积，小麦体积×每立方米质量＝这个粮仓装的小麦质量，根据四舍五入法保留近似数即可。 【解答】3.14×（2÷2）2×1.5＋3.14×（2÷2）2×0.6÷3 ＝3.14×12×1.5＋3.14×12×0.6÷3 ＝3.14×1×1.5＋3.14×1×0.6÷3 ＝4.71＋0.628 ＝5.338（立方米） 5.338×700≈3737（千克） 答：这个粮仓最多能装3737千克小麦。 40．如图，加工一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2厘米的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件。 （1）这个零件的体积是多少立方厘米（π取3）。 （2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米（π取3）。 【答案】（1）45立方厘米 （2）118平方厘米 【分析】（1）零件体积＝长方体体积－圆柱体积，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高，看图可知，圆柱的高＝长方体的长，据此列式解答； （2）看图可知，喷油漆的面积＝长方体表面积－圆柱底面积×2＋圆柱侧面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【解答】（1）2÷2＝1（厘米） 5×3×4－3×12×5 ＝60－3×1×5 ＝60－15 ＝45（立方厘米） 答：这个零件的体积是45立方厘米。 （2）（5×3＋5×4＋3×4）×2－3×12×2＋3×2×5 ＝（15＋20＋12）×2－3×1×2＋30 ＝47×2－6＋30 ＝94－6＋30 ＝118（平方厘米） 答：喷油漆的面积是118平方厘米。 考点六不规则的物体的体积算法 41．如图，圆柱形玻璃容器的底面半径为8厘米，里面水深10厘米，水中浸没着一个底面半径为6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降0.7厘米。根据这些信息，不能求出下面第（    ）个问题。 A．容器里面装了多少升的水 B．铅锤的体积是多少立方厘米 C．容器的高是多少厘米 【答案】C 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，圆柱形玻璃容器的底面积×（原来水深－取出铅锤水面下降高度）＝水的体积；水面下降的体积就是圆锥的体积，圆柱形玻璃容器的底面积×水面下降的高度＝圆锥形铅锤的体积，据此分析。 【解答】A．3.14×82×（10－0.7） ＝3.14×64×9.3 ＝1868.928（立方厘米） ＝1.868928（升） 容器里面装了1.868928升的水。 B．3.14×82×0.7 ＝3.14×64×0.7 ＝140.672（立方厘米） 铅锤的体积是140.672立方厘米。 C．不能求出容器的高是多少厘米。 故答案为：C 42．如图是淘气比较土豆和胡萝卜体积的实验过程。观察实验过程，下面说法正确的是（    ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．土豆和胡萝卜的体积一样大 【答案】B 【分析】根据题意可知，物体的体积＝水上升部分的体积，水上升部分的体积＝底面积×上升部分的高度，因为容器的底面积一样，判断哪个物体上升的高度大，则哪个物体的体积大。 【解答】10.5－8＝2.5（厘米） 14－10.5＝3.5（厘米） 3.5＞2.5 因为底面积一样，所以胡萝卜的体积大。 故答案为：B 43．一个圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块不规则的石块放入这个盛水的容器中（石块完全没入水中），水面上升了2cm，这块石块的体积是（    ）。 A．78.5 B．628 C．157 【答案】C 【分析】水面上升部分的体积就是石块的体积，水面上升部分是一个圆柱形，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×2 ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（cm3） 一个圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块不规则的石块放入这个盛水的容器中（石块完全没入水中），水面上升了2cm，这块石块的体积是157cm3。 故答案为：C 44．一个底面积为68平方分米的圆柱体容器里盛有水，将一块珊瑚石浸入水中，水面上升了3厘米（水未溢出）。这块珊瑚石的体积是（ ）立方分米。 【答案】20.4 【分析】3厘米＝0.3分米，根据物体的体积＝上升部分水的体积，物体的体积＝底面积×上升部分的高度，用68×0.3即可求出珊瑚石的体积。据此解答。 【解答】3厘米＝0.3分米 68×0.3＝20.4（立方分米） 这块珊瑚石的体积是20.4立方分米。 【点睛】本题主要考查了圆柱体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。 45．如下图所示，一个球的体积是（ ）立方厘米，两个球大小相同。（单位：厘米） 【答案】90 【分析】看图可知，两个球的体积和右图长方体内水的体积相等。长方体体积＝长×宽×高，据此先求出两个球的体积，再将其除以2，求出一个球的体积。 【解答】6×6×5÷2 ＝180÷2 ＝90（立方厘米） 所以，一个球的体积是90立方厘米。 【点睛】本题考查了长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 46．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，里面水深2.5分米，投入一块铁块后（完全浸没），这时缸里溢出水8升，这块铁块体积是（ ）立方分米。 【答案】80 【分析】这块铁块体积＝长方体玻璃缸没有水的体积＋溢出水的体积；其中，长方体玻璃缸没有水的体积＝长×宽×（高－水的高度）。 【解答】长方体玻璃缸没有水的体积为： （4－2.5）×8×6 ＝1.5×8×6 ＝12×6 ＝72（立方分米） 8升＝8立方分米 则铁块体积为：8＋72＝80（立方分米） 【点睛】本题主要考查的是不规则物体体积测量，解题的关键是明确长方体玻璃缸没有水的体积加上溢出体积等于铁球体积，进而得出答案。 47．一个正方体玻璃容器的棱长为2分米，向容器中倒入5升水，再把一块石头放入水中，这时玻璃容器内水深15厘米（石头完全浸入水中）。石头的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】1000立方厘米 【分析】已知往棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入5升水，先根据进率：1升＝1立方分米＝1000立方厘米，1分米＝10厘米，把2分米换算成20厘米，5升换算成5000立方厘米；然后根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体玻璃容器的底面积；再根据h＝V÷S，用水的体积除以容器底面积，求出原有水深； 已知把一块石头完全浸入有水的正方体玻璃容器中，水面上升到15厘米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据V＝Sh，用容器底面积乘水面上升的高度，求出石头的体积。 【解答】5升＝5立方分米＝5000立方厘米，2分米＝20厘米 5000÷（20×20） ＝5000÷400 ＝12.5（厘米） 20×20×（15－12.5） ＝400×2.5 ＝1000（立方厘米） 答：石头的体积是1000立方厘米。 48．洛阳牡丹瓷是以洛阳牡丹为原型的新派艺术陶瓷。在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量一块牡丹瓷的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没牡丹瓷。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该牡丹瓷的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）0.9升 （2）0.5立方分米 【分析】（1）原来容器是水平放置，水的形状为长方体，长30厘米、宽10厘米、高3厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入公式计算即可得出水的体积，再进行单位换算即可。 （2）竖放时，容器长10厘米、宽10厘米、水面高14厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入公式计算即可得出水和牡丹瓷的总体积，然后再减去原来水的体积后，再进行单位换算即可。 【解答】（1）30×10×3＝900（立方厘米） 1升＝1000立方厘米 900÷1000＝0.9（升） 答：玻璃容器原来盛了0.9升水。 （2）10×10×14＝1400（立方厘米） 1400－900＝500（立方厘米） 1立方分米＝1000立方厘米 500÷1000＝0.5（立方分米） 答：该牡丹瓷的体积是0.5立方分米。 考点七体积的等积变形 49．如图，把一块长方体钢坯铸造成一根直径为6dm的圆柱形钢筋，钢筋的长度是（    ）dm。 A．7.5 B．10 C．15 【答案】B 【分析】已知长方体的长、宽、高为9.42分米、6分米、5分米，则长方体的体积可求。铸造后为圆柱形钢筋，且钢筋直径为6分米，那么我们再求钢筋的底面积，然后把V＝Sh变形得h＝V÷S，代入数值计算即可。 【解答】9.42×6×5÷[3.14×（6÷2）2] ＝282.6÷28.26 ＝10（分米） 故答案为B。 【点睛】体积的等积变形，体积就是其中的衔接量。把握好这一点，再灵活变形体积公式，就能正确求得未知量。 50．“数学好玩”小组的同学们为了测量一个底面直径是6厘米的圆锥体铁块的体积，将这个圆锥体铁块浸没在一个底面半径是10厘米，水深是8厘米的圆柱体容器中，发现水面上升到10厘米（水未溢出）。这个圆锥体铁块的体积是（    ）立方厘米。 A．628 B．565.2 C．314 D．157 【答案】A 【分析】由题可知：圆锥的体积＝圆柱体容器中水面上升部分的体积＝圆柱的底面积×水面上升部分的高度，据此解答。 【解答】3.14×102×（10－8） ＝314×2 ＝628（立方厘米） 故答案为：A 【点睛】此题考查了体积的等积变形，注意提取题目中的有效数学信息。 51．如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：cm），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（    ）。 A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 【答案】D 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出液体体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，求出横放时液体高即可。 【解答】8×8×8÷（10×8） ＝512÷80 ＝6.4（cm） 故答案为：D 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 52．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高（ ）厘米。 【答案】4 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出甲容器的体积，甲容器的水倒入乙容器，体积不变，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2] ＝3.14×25×12×÷[3.14×25] ＝12× ＝4（厘米） 【点睛】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。 53．一块圆柱形橡皮泥，底面积是10cm2，高是5cm。如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm；如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是（ ）cm2。 【答案】 15 30 【分析】不管捏成什么样的圆锥，这块橡皮泥的体积是不变的。据此，根据圆柱的体积公式，先求出这块橡皮泥的体积。再将其乘3除以底面积10cm2，求出如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是多少；将橡皮泥体积乘3除以高5cm，求出如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少。 【解答】橡皮泥体积：10×5＝50（cm3） 圆锥的高：50×3÷10＝15（cm） 圆锥的底面积：50×3÷5＝30（cm2） 所以，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是15cm；如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是30cm2。 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3。 54．一个长为4分米、宽为3.14分米、高为6.28分米的长方体水槽中装有水，慢慢放入一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块，完全浸没后水面上升了1厘米且没有溢出，这个圆锥形铁块的高是（ ）厘米。 【答案】12 【分析】根据题意可知，圆锥形铁块完全浸没长方体水槽中，水面上升1厘米，水面上升的部分就是这个圆锥体铁块的体积；根据长方体体积公式：长×宽×高，求出水面上升部分的体积；也就是圆锥形铁块的体积；再根据圆锥体体积公式：体积＝×底面积×高；高＝圆锥体铁块的体积÷÷底面积；代入数据，即可解答。 【解答】4分米＝40厘米 3.14分米＝31.4厘米 40×31.4×1 ＝1256×1 ＝1256（立方厘米） 1256÷÷[3.14×（20÷2）2] ＝3768÷[3.14×100] ＝3768÷314 ＝12（厘米） 【点睛】解答本题的关键是水面上升的部分就是圆锥形铁块的体积；熟练掌握长方体体积公式和圆锥体体积公式，并灵活运用是解答本题的关键，注意单位名数的互换。 55．在一底面直径是24厘米的圆柱形水桶里，放入一个底面半径是6厘米的圆锥，圆锥全部浸入水中后，水面上升了1厘米（水未溢出）。圆锥的高是多少？ 【答案】12厘米 【分析】在圆柱形水桶里，放入一个底面半径是6厘米的圆锥，水面上升了1厘米，这上升部分水的体积就是圆锥的体积，这部分水的体积是圆柱形。已知圆柱的底面直径为24厘米，那么半径为24÷2＝12厘米。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径12厘米，高1厘米代入公式计算即可得出圆锥的体积。 根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），那么h＝V÷÷（πr2），把圆锥的体积和半径6厘米代入公式计算即可解答。 【解答】24÷2＝12（厘米） 3.14×122×1 ＝3.14×144×1 ＝452.16（立方厘米） 452.16÷÷（3.14×62） ＝452.16×3÷（3.14×36） ＝452.16×3÷113.04 ＝1356.48÷113.04 ＝12（厘米） 答：圆锥的高是12厘米。 56．竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【答案】（1）7536平方厘米 （2）10厘米 【分析】（1）首先计算给竹筐外部四周贴彩纸的面积：已知圆柱形竹筐的直径d＝40厘米，高h＝60厘米。圆柱的侧面积公式为S＝πdh（π取3.14）。把d＝40厘米，h＝60厘米，π＝3.14代入公式可得竹筐外部四周贴彩纸的面积。 （2）先根据圆锥体积公式V＝Sh（S是圆锥的底面积，h是圆锥的高）计算出圆锥形沙土的体积，已知圆锥的底面积S＝942平方厘米，高h＝40厘米。再根据圆柱体积公式V＝πr²h（r是圆柱底面半径，h是圆柱的高）来求沙土在竹筐里的高度。 【解答】（1）3.14×40×60＝7536（平方厘米） 答：如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备7536平方厘米的彩纸。 （2）40÷2＝20（厘米） ×942×40÷（3.14×202） ＝12560÷（3.14×400） ＝12560÷1256 ＝10（厘米） 答：此时竹筐里的沙土有10厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $