吉林敦化市实验中学校2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一下学期期中数学试卷，聚焦复数、立体几何、解三角形、向量核心知识，通过海上观测站、旋转体等情境设计，考查空间观念、逻辑推理与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、异面直线、向量投影、线面关系|单选夯实基础，多选综合判断（如正方体与球的组合体）| |填空题|3题15分|向量夹角、复数模最值、解三角形应用|结合钝角条件、几何意义（如复数模的最大值）| |解答题|5题77分|旋转体表面积体积、四棱锥线面关系、梯形向量计算|注重综合应用（如四棱锥存在性探究）和实际情境（如海上观测站问题）|

《2025-2026学年度高一下学期期中考试数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B B A BD BC ABD 12.（-∞，-2u(-2) 13. 7 14. 15.(13分) (1)由∠ADC=135°，得∠EDC=45°。 又因为CD=2V2,所以ED=CE=2- 1分 因为AB=5,AE=AD十DE=4, -2分 所以BC=V(AB-CE)2+AB2=5 -3分 S国链M=π·CB·CD=π×2×2V2=4V反π -5分 S圆台侧=π(CE+AB)·BC=π(2+5)×5=35π -7分 所以表面积S=S圆维侧十S国台侧十S园台下底面=4√2π+ 35π+π×52=(4y2+60)π--8分 图维=3xBC2.DE= ----10分 (2) 国台=3×4(4r+V4r×25元+25m)=52m--12.分 1 V=s台-s维=62r-=14s 3 ------13 分 16.(1) 【详解】(1)解：因为6=5 -csin A+acosC, 所以snB=5 simCsin4+sin cosc, 3 1分 又因为B=-(+9,可特sA+9=9C血A+n4osC 所以sincoC+cos4simC=5 -sin C sin 1+sin AcosC, 所以cos AsinC= 5 sin Csin --3分 因为0<C<,所以sinC≠0，可得cosA=5 sinA,所以tanA=5, -5分 又因为0<小<，故4=子 --7分 (2)因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c.- -8分 因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠CAD=晋 -9分 .SA4Bc=S。ADB+ScDA, :.bcsin∠BAC=c·ADsin∠BAD+lb:ADsin∠CAD 1 小克2bsin晋-+克2csin暗-=专·b.c.sin肾 -11分 六c+b=号bc ·c=V5,b=25 --13分 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0s号=12+3-2×25×V5×号=9 即a=3- 15分 17.(1D取PA中点M,连接BM，EM，则EM/AD,EM=克AD,且 BF∥AD,BF=AD, 2 可知EM∥BF,EM=BF, 则四边形BFEM为平行四边形， -2分 可得EF∥BM,- 3分 且EFC平面PAB,BMC平面PAB, 所以EF‖平面PAB -5分 (2)因为ABCD为平行四边形，则AB∥CD, 且ABI平面PCD,CDc平面PCD,可知AB‖平面PCD -8分 又因为平面PABO平面PCD=I,ABC平面PAB, 所以1∥AB.-- -10分 (3)存在G,使FG∥平面ABE, PG =3, -11分 GD 理由如下： 取AE中点H,连接GH,BH,因为G,H分别为ED和AE的中点 则GL号AD,又因为ADBC,且F是BC中点，则BFL号AD 所以GH具BF- -13分 所以四边形BFGH是平行四边形，即有FGBH 因为BHC平面ABE,且FG￠平面ABE,所以FG‖平面ABE- -15分 18(1)建立以A为原点，AB为x轴正半轴，AD为y轴正半轴的坐标系， D 4@0,84.0,层设D0%w0%>0.则ELw,C2,F32 4c=2,F（2之 -2分 由4CEF=2,则4-公=2，即6=4，又>0，为=2， -4分 2 .AD=2. -5分 2)由(1)知：E(1,2),F(3,1),AE=(1,2),AF=(3,1), 6分 AE.AF 5 .Cos∠EAF= 1V2 |AE川AF510√22 -8分 又LEAF为锐角，：∠EAF= 4 -10分 (3)设P(x,0)(0≤x≤4)，PE=(1-x,2,PF=(3-x,1), ----12分 ∴.PE+PF=(4-2x,3),PA=(-x,0), -13分 .(PE+PFPA=(4-2x,3)(-x,0)=(4-2x小(-)=2x-4x) =2,-2-1]=2(x-12-2, 15分 :0≤≤4，(PE+PF)PA∈[-2,16 -17分 19.(1)设∠BAD=a,a∈(0，)，在△ABD中，AD=2,AE=AB=1, 由余弦定理BD2=AB2+AD2-2·AB·AD·c0S,得到 BD2=12+22-2.2c0sa=5-4c0sa- -1分 1 1 又S4BFn=S.ABD+S,BrD=×lx2sina+·BD2.sin60°， 2 所以 =sina+- -4osa)-5+sna-5a=-5+2sa-号}-5-2 4 4 -3分 5π 32 ,所以a= 6 =cos I=3 -5分 62 (2)①由(a2-b2）sinA=2S,则(a2-b2）sinA=2 bc.sin A,又sinA≠0， 所以a2-b2=bc,即a2=b2+bc, -7分 又由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA, 得到b2+bc=b2+c2-2 bccos A,所以bc(2cosA+1)=c2,得以b(2c0sA+1)=c, ∴.2sinB·cosA+sinB=sinC,又sinC=sin(A+B)=sin A.cos B+cos A.sin B .'sin B=sin A.cos B-sin B.cos A=sin(A-B), -9分 又0<B<π，-π<A-B<π， ∴.B=A-B或B+A-B=π，即A=2B或A=元（舍去），故A=2B, 即∠BAC=2∠ABC.-- ---11分 ②不妨设∠ABC=0,则∠BAC=20,∠ACB=π-0-20=π-30 b 由正弦定理 sin6sin(π-30，所以c=b.sim30 13分 sin [0<0<π 又{0<20<π，.0<0< 3 0<π-30<π b sin30 ∴.c+4b +4b =-sin sin30+4sin0 sin(20+0)+4sin0 bCOS∠ABC bcose sin0.cos0 sin0.cosθ sin 20.cos0+cos20.sin0+4sin2cos0+2cos+4 sin0.cos0 cos0 =4c0s20+3 4c0s0+3 -15分 cose cos0 又<c0s0<1,:原式=4cos0+3 224c0s0.3 cos0 =4V5, cos0 当且仅当co0s20=,即c0s0=2时取等号， 2 :,C+4b的最小值为45，此时∠ABC=石 --17分 bcoS∠ABC 6 天道酬勤 厚积薄发 敦化市实验中学校2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题 出题教师： 韩晓明 审题教师: 赵殿钰 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 2. 正方体中，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ） A． B． C． D． 3． 在中，内角A，B，C所对边分别为，，.向量，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 4．已知菱形 边长为， 则 （ ） A. B. C. 2 D. 4 5．如图所示，示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 6．已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7．在中，内角的对边分别是，若，且， 则（ ） A. B. C. D. 8．已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10．如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ） A．正方体外接球的半径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 11． 已知的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则等腰或直角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，且，则是等边三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________ 13．如果复数满足，那么的最大值是___________. 14．海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站 海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 16. （15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1） 求角A的大小； （2） 若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，, 且AD=2，求a的值. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.   （1）证明：∥平面； （2）证明：； （3）在线段上是否存在一点，使平面？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点． （1）求AD； （2）求∠EAF； （3）求的取值范围． 19．（17分）如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． （1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； （2）在△ABC中，记的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $