宁夏银川市永宁县上游高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期中高一数学参考答案 题号 1 2 4 6 9 答案 A D B B C D C B BD 题号 11 答案 ABD 1.A 【详解】因为ā=(2,1)，b=(x,-2),ā∥b, 以 B 所以2×(-2)=x×1,所以x=-4. 2.D 【详解】因为z=2i(1-i)=2+2i,则z=2-2i 则其对应的点为(2，-2)，所以在第四象限. A 3.B 【详解】因为在直观图中，0A=A'B=√0，所以0'B'=√10+10=25， 所以如下图，原图形是一个底边长为√10，高为2×25=4√5的直角三角形， 故原图形的面积为×V0×45=102. 4.B 【详解】在△ABC中，点D满足BD=BC, 则AD=AB+BD=AB+BC=AB+入(4C-AB上（上HB+AC, 又初=3B+4C,所以2=4 4 4 5.C 【详解】对于A,如图①所示，mca,n￠a,m,n是异面直线，此时n与a相交，则A不正确： 对于B,如图②所示，mca,n丈a,m,n是异面直线，此时n与a平行，故B不正确： 对于C,mCa,nl∥a,则m,n没有公共点，若m,n共面，那么mlln,故C正确； 对于D,如图③所示，m/1a,nl/a,m,n共面，此时m与n相交，故D不正确. a ① ② 回 6.D 【详解】因为一圆台的上、下底面半径分别为1,3，所以该圆台上底面面积为S,=π，下底面面积为S2 10 设圆台的高为，由圆台的体积公式可得+8+S)一1y5,解得=5。 ACD 所以圆台母线长为1=V+(3-1)2=3. 所以圆台的侧面积为π(1+3)×3=12π. 7.C 【详解】设实心圆柱的高为h, 因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为2x×4=宁，解得么=子 则圆柱的体积为V=π×4×2-32元 33元， 设球的半径为R,则R-品，解得R=2, 因此，该铁球的表面积为4πR2=4π×22=16元. 8.B 〖详解】因为A,B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的？， 所以底面半径比也是， 所以两个杯子的底面积之比为S:S 所以B杯容积与A杯容积之比S业 (33_22≈0.4=2：5， Sha 4464 9.BD 【详解】因为a=2,c=25 ,A=120°，所以C<90° 3 2V3 由正弦定理可得： sin4"sinc,即2 =-c 3 3 sin C' 2 则sinC=),得C=30°，则B=309 所以b=c= v5 3 所以&ABC的周长a+h+c=2+4N 3 所以△ABc的面积为):besin.4=x25x25x5-E 23X3x2=3 由上可知AC错误，BD正确， 10.ACD 9元； 【详解】A:因为点A,B,C是直线1上三个不同的点，O为直线1外一点，且OC=xOA+0.4OB, 答案第1页，共3页 所以有x+0.4=1→x=0.6,A正确： B:a+6=1+元，2+)，当ā与a+5共线且同向时，1+2_2+2一1=0， 12 此时ā与a+沥的夹角为零，而0-，+幻，B不正确： C:设BC边上的中线为AD, G 于是GA+GB+GC=GA+GB+GC)）上GA+GD, 0 因为点G为△ABC三条边的中线的交点， 所以点G是三角形的重心，因此有GA=2GD, 于是有GA+GB+GC=GA+2GD=0,C正确； D:因为AB=(23,2),AC=(-1,-V3), 所以AB在AC上的投影向量的坐标为： 4C.4C_BAC.AC-2525(1,)5,,D正确 AC AC ACP 4 11.ABD 【详解】对于A,设△PCD的边长为a,由已知得a-a5=45,解得a=4, -a·a· 2 所以圆锥PO,的表面积为S=π×2×4+π×22=12元，故A正确： 对于B,因为CD=4,所以P0=25,又ABCD, 所以00，=P0=5,故B正确： 对于C,圆锥PO的体积为r=x1x5=5 π，故C错误： 对于D,由已知得圆锥P0的侧面展开图的圆心角0=2红x2=元，设AD的中点为Q,连接CQ,如图， 4 可得∠CPQ-,PC=4,PQ=2+1=3,则CQ-VF+子-5，故D正确 12.1 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确： 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误： 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误： 故答案为：1 13.2268 【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下： 答 由题意可知，高OO,=h=12cm, 下底面正方形的变长AB=9cm,其面积S,=9×9=81(cm2), B 上底面正方形的变长AB=18cm,其面积S2=18×18=324(cm2), 由台体的体积公式可得，该正四面体的体积： V=s+VSs+S,)h=3×81+v81x324+324x12=2268(cm）. 故该米斗的容积为2268cm3. 14.[45,8] 15.()a.b=-1,a+=5 23 2 【详解】1）a6=2x1xcos-1,+-@+-后+2a+方=4-24T=5 3 a(a+B)atab (2)设向量a与a+b的夹角为0，则cos6 4-1V3 a-a+ 卧+6 2×V32 16.【详解】(1)根据正方体的性质可知AB/1AB ·∠FEB是异面直线EF与AB所成的角或其补角 :E,F分别是AB,BC的中点 △EFB是等腰直角三角形 ∴.∠FEB=45,即异面直线EF与AB所成角的大小为45 (2).Q∈EF,EFC平面ABCD∴.Q∈平面ABCD .Q∈GH,GHc平面CDD,C ∴.Q∈平面CDD,C ∴.Q∈平面ABCD∩平面CDD,C,=DC,即Q∈CD ∴.点Q在直线DC上 (3)连接，11,1,1，因为，分别为，的中点，所以∥，又因为正方体，川11，所以/川 11,所以、、1、四点共面. 17.(1)因为(b+c)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB), 由正弦定理可得(b+c)(c-b)=a(a-b),整理可得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得a2+B2-c2=2 abeosC,所以ab=2 abcosC,所以cosC= 2 ab c 24 又因为C∈(0，)，所以C= 3 (方法一)因为c=2,由正弦定理得sin A sin B sin C3V3, 2 可得a= sin 4.b=4 4 8，因为4*8+c=,所以m4=m[-(a+c]=sm8+G=sma+》 案第2页，共3页 a+b-言6n外者(：点=4a8r手 19.() 国0： 【详解】(1)根据题意可知，acosC+V3 asinC-b-c=0, 又0<B<行，则<8+< 66 由正弦定理得：sinAcosC+√3 sin AsinC-sinB-sinC=0, 当8+名-号即8=号时，、a+b取得最大值为4，所以周长的最大值为6： 31 即sin AcosC+√3 sin AsinC=sin(A+C)+sinC, (方法二)余弦定理和基本不等式法， 由余弦定理得a2+-c2=2 abcosC得2=2+2-，即2-(+)2-3，（+)2=4+3≤4+3(+上：得 sin Acos C+3 sin Asin C =sin Acos C+cos Asin C+sin C, (+)2=≤16，即+≤4当且仅当==2时成立，所以周长的最大值为6。 3sin Asin C =cos Asin C+sin C. (2)向量法，=2，由角平分线性质定理得=一=2，所以=号+号，两边平方结合余弦定理22+2- 又0<C<π，则sinC>0, ，=2,=2,求得=1，（双余弦定理）根据步骤的情给分。 故V5sinA-cosA=,即5 、1cosA=5·折以siA-)=1 62 18.【详解】(1)取PD中点为F,连接AF,FN 又0<4K,所以名<4-名 6 在PCD中，NIDC,RN=DC 即4-名名放4后后导 Γ6631 在ABCD中，AM ICD,AM=CD 2 (2)根据余弦定理得：cosA=+c2-d_B+c23 2bc 2bc 21 所以AM FN,AM=FN,即四边形AFNM为平行四边形 即b2+c2=bc+3. D 所以AF‖NM,AFc平面PAD,MN文平面PAD 又因为2DAB+4C,丙边平方得40-B+AC+204C-2+F+c=2次+3. 所以MN∥平面PAD b c a 3 (2)当H为PB中点时，平面KNH‖平面ABCD 根据正弦定理可知，sin B sinC sinA5 =2,枚c=2simC,6=2snB, 证明如下： 2 取PB的中点为H,连接KH,NH 所以2bc+3=85 sin &sinc+38inBs2B+3=8sB以sB+)知号 2 在△PBC中，HNI‖BC,HN丈平面ABCD,BCc平面ABCD -4sin Bcos B+4sinB+3-25simn2B+4.1-cos2+3-2sin2B-2c0s2B+5 2 所以HN∥平面ABCD,同理可证，KH‖平面ABCD =46in2B.5 又KH,HNc平面KNH,KHOHN=H cos28+5=4sin28-3+5 所以平面KNHI平面ABCD 0<B< 又由于△ABC是锐角三角形，因此可得{ 0<Cx-Bsx’解得。<B< 6 2 因此28-君e信爱，所以m28有e兮.即4m28急+5e0, 所以41DPe,9,则AD, (3)BC∥AD,ADC平面PAD,BC丈平面PAD,∴.BCII平面PAD 又：平面PADO平面PBC=I,BCc平面PBC,·.BCII 答案第3页，共3页永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期期中 高一数学试卷 班级： 姓名： 学号： 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的选项中，只有一个是符合 题意的。 1.设平面向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥6，则x等于() A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.已知复数z=2i·(1-i),则复数：在复平面内对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.一个水平放置的平面图形△OAB用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角aOAB, 其中A'B'=√10，则平面图形△OAB的面积为() A.5√2 以 B.10W2 B' C.10w5 D.5W5 4.己知向量a=(1,2),b=(2,t),且ab=0,则川b=() A.2V2 B.5 C.2√5 D.5 5.对于直线m,n和平面a,下列命题中正确的是() A.如果mca,nda,m,n是异面直线，那么nl/a B.如果mca,n￠a,m,n是异面直线，那么n与a相交 C.如果mca,n/∥a,,n共面，那么m/n D.如果m/a,nl/a,m,n共面，那么mln 高一数学第1页( CAG 6。一风合的上、下底面半径分别为13体积为5，则该圆台的侧面积为() A.36π B.24π C.18π D.12元 6 7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为 π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面 积为() A.24π B.12π C.16π D.9π 8.如图，4，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的3，则B杯容积与A杯容积之 比最接近的是() A.1:3 B.2:5 C.3:5 D.3:4 A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分。每小题给出的选项中，有多个选项是符 合题意的。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。 2v3 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知a=2,c= ,A=120°，则() 3 A.b=22 B.C=30° 3 C.△ABC的周长为2+√5 D.△ABC的面积为V5 10.下列关于平面向量的说法正确的是() A.已知点A,B,C是直线1上三个不同的点，O为直线1外一点，且OC=xOA+0.4OB, 则x=0.6 B.已知向量ā=(1,2)，b=(1,1),且ā与a+b的夹角为锐角，则2的取值范围是 C.已知点G为△ABC三条边的中线的交点，则GA+GB+GC=0 D.已知AB=(2V3,2,AC-1,-5),则AB在AC上的投影向量的坐标为N3,3 共2页) 11.如图所示，圆锥PO,的轴截面PCD是面积为4√3的正三角形，用平行于圆锥PO底面的平面截 该圆锥，截面圆O,与PC,PD分别交于点B,A,且AB=2,则() A.圆锥PO,的表面积为12π B.圆台O,O2的高为√5 B C.圆锥PO,的体积为2 3 D.从点C出发沿着该圆锥侧面到达AD中点的最短路程为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12.下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面：②直线和直线外的一点，可以确定一个平 面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行， 那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合.真命 题的个数为个。 13.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间 文化韵味.右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12c,两个底面 内棱长分别为18cm和9cm,则估计该米斗的容积为 cm'. 13题图 14题图 14.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8,BC=4,CD=4.点P在线段AD上运动，则|PA+PB 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤。 15,已知向量a与6的夹角9=号，且日-2，-1. 高一数学第 ①求a6,a+: (2)求向量a与a+b的夹角的余弦值. 16.如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-ABCD的棱AB,BC,CC,CD的中点，且EF与 相交于点Q. D H (1)求异面直线EF与AB所成角的大小. A (2)求证：点Q在直线DC上： (3)求证：、、1、1四点共面. A B 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,(b+c)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB). (I)求角C的值及△ABC周长的最大值： (2)若角C的角平分线交于，满足=2，求的长。 18.如图所示，己知点P是口ABCD所在平面外一点，M,N,K分别AB,PC,PA的中点，平面 PBC∩平面APD=I. (1)求证： /平面PAD: (2)直线PB上是否存在点H,使得平面NKH∥平面ABCD,并加以证明： (3)求证：I∥BC. 19.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+V3 asinC-b-c=0. (1)求角A: (2)若△ABC为锐角三角形，a=V5,求边BC上的中线AD的取值范围. 2页（共2页）