21.3.3 第1课时正方形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

7.BD=2/3,S题形Bcm=2√38.A9.510√3 11.(1)略(2)24 12解：[问题提出]Sm=SAm十Sm=号BD· AE+号BD·CE=2BD.(AE+CE)=合BD·AC '.BD=20 cm,AC=40 cm, 1 六S￥ABCD-=2×20×40=400(cm2). 1 [类比探究]S=S△AD十SACHD=乞BD·AE十 2BD.CE-=BDAE+CB)=号BD:AC=号× 1 40×30=600(cm2). [结论]两对角线乘积的一半 [拓展提高]如图，过点A作AN⊥BD于点N,过点C作 CM⊥BD于点M. Sg魂形ABCD=S△ABD十SACBD= 2BD·AN+2BD·CM= 1 BD.(AN+CM)-X40X30=600(em). 第2课时菱形的判定 1.B 2.证明：解法1：，AE∥CD,CE∥AB, .四边形ADCE是平行四边形. :∠ACB=90°，D为AB的中点， CD-TAB-AD. ∴.四边形ADCE是菱形. 解法2：利用对角线互相垂直进行证明. 连接DE,与AC交于点O(图略)，证明DO⊥AC,也可证 明四边形ADCE是菱形. 3.164.略5.四条边相等的四边形是菱形 6.略7.A8.AB=CD 9.解：(1)证明：在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， .AD-2 BC-CD-DB,AE-DE. ,'AF∥BC,∴.∠AFE=∠DBE. ∠AFE=∠DBE, 在△AEF和△DEB中，： ∠AEF=∠DEB, AE=DE, ∴.△AEF≌△DEB(AAS),∴.AF=DB, ..AF=DC, ∴四边形ADCF是平行四边形. AD=CD,.四边形ADCF是菱形. (2)30 ·答 11 10.解：1)当t=3时，四边形ABQP是矩形 (2)四边形EQCP能为菱形. 由题意，得PE=(8-t)cm,CQ=(11-2t)cm. 在Rt△PDC中，CP2=CD2+DP2=16+t2. 若四边形EQCP为菱形，则PE=CQ=CP. 由PE=CQ,得8-t=11-2t,解得t=3. 当t=3时，PE=CQ=CP=5, .当t=3时，四边形EQCP为菱形. 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 1.B2.B3.B4.22.55.75°6.(-2，-1) 7.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AD,∠BCE=∠CDF=90. .AF=DE,..DF=CE. (BC=CD, 在△BCE和△CDF中，{∠BCE=∠CDF, CE=DF, ..△BCE≌△CDF(SAS). (2)5 8.证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°，∠COD=90°， ∴.∠DOF+∠COF=90. .∠EOF=90°，.∠COE+∠COF=90°， ∴.∠COE=∠DOF,∴.△COE≌△DOF(ASA), ∴.CE=DF 7 【变式】49.210.B 11.(1)略(2)成立.理由略 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∴.∠BAG+∠DAE=90°. DE⊥AG,∴∠AED=∠DEF=90°， .∠DAE+∠ADE=90°，.∠ADE=∠BAG. ,BF∥DE,∴.∠BFA=∠DEF=90°， ∴.∠AED=∠BFA,.△ADE≌△BAF(AAS), .'.AE=BF, ∴.AF-BF=AF-AE=EF. (2)AF十BF=EF.证明如下： 在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90°. DE⊥AG,∠E=90°，.∠DAE+∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE BF∥DE,∴∠AFB=180°-∠E=90°， ∠E=∠AFB,∴.△ADE≌△BAF(AAS),∴AE=BF, .AF十BF=AF十AE=EF. (3)8 第2课时正方形的判定 1.D2.AC=BD(答案不唯一) 3.有一组邻边相等的矩形是正方形 6·21.3.3 第1课时 A知识分点练 夯基础 知识点正方形的性质 1矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性 质是 () A.相等 B.互相平分 C.互相垂直 D.平分对角 2.若正方形的边长为1，则该正方形的对角线 的长为 () A.1 B.√2 C.2 D.4 3.若正方形的一条对角线的长为8cm,则这个正 方形的面积是 () A.64 cm2 B.32 cm2 C.48 cm2 D.36 cm2 4.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC 延长线上的一点，且AC=EC,则∠DAE= 0 5.(教材P86复习题T1(4)变式)如图，P是正方形 ABCD内的一点，连接PA,PB,PC,PD.若 △PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是 6.(2024·常州)如图，在平面直角坐标系xOy中， 正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点 O.若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 52数学8年级下册RJ版 正方形 正方形的性质 7.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边 CD,AD上，且DE=AF,BE与CF交于点G. (1)求证：△BCE≌△CDF; (2)若BC=4,DE=1,求CF的长 8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EOF=90°.求证：CE=DF. [变式]在第8题中，若正方形ABCD的面积 为16，则四边形EOFC的面积为 B能力综合练 练思维 9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,E为BC上的一点，CE=5,F为 DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长 为 10.【一题多解】(2025·湖北)如图，折叠正方形 ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F 处，折痕BE交AC于点G.若DE=2√2，则 CG的长是 A√2 B.2 C.W2+1 D.2√2-1 11.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC 上，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线 CF于点F. (1)若E是BC的中点，求证：AE=EF (2)【一题多解】若E是BC上的任意一点，(1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由 备用图 C拓展探究练 提素养 12.在学习正方形时，王老师带领同学们探索了 课本上的一道几何题 [课本再现](1)如图1，四边形ABCD是正方 形，G为BC上的任意一点，DE⊥AG于点E, BF∥DE,交AG于点F.求证：AF一 BE=EF [类比探究](2)如图2，在正方形ABCD中，G 为CB延长线上的任意一点，DE⊥AG交GA 的延长线于点E,BF∥DE交AG于点F.试 探索AF,BF,EF之间的数量关系，并给出 证明。 [迁移应用](3)如图3，四边形ABCD是正方 形，G为BC上的一点，DE⊥AG于点E,连接 BE.若AE=4,请直接写出△ABE的面积. 图2 图3 第二十-章四边形53