提升练2 分类讨论(PPT课件)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

这是一份初中数学北师大版八年级下册期末复习资料，以学习支架形式构建内容体系，涵盖数学思想提升、创新试题拓展、区域真题演练、名师预测卷、教材重点梳理、单元巩固及核心题型专题突破等模块，助力学生系统复习。 资料特色突出核心素养培养，通过分类讨论（如等腰三角形旋转角多情况分析）、综合实践（平行四边形动点问题）等题型发展几何直观与推理能力，结合区域真题与名师预测卷强化应用意识，帮助八年级学生巩固知识、提升解题能力，为教师提供结构化复习资源，高效开展期末教学。

数学思想提升 提升练1　数形结合 提升练2　分类讨论 提升练3　转化思想 创新试题拓展练 拓展练1　综合与实践 拓展练2　全国新趋势试题 刷真题 试卷1　中原区 试卷2　金水区 试卷3　惠济区 试卷4　郑东新区 试卷5　高新区 试卷6　二七区 试卷7　河南省某实验中学 做预测 试卷8　期末快递·名师研创预测卷（一） 试卷9　期末快递·名师研创预测卷（二） 过教材 名师划重点 第一章　三角形的证明及其应用 第二章　不等式与不等式组 第三章　图形的平移与旋转 第四章　因式分解 第五章　分式与分式方程 第六章　平行四边形 单元巩固练 单元巩固练1　三角形的证明及其应用 单元巩固练2　不等式与不等式组 单元巩固练3　图形的平移与旋转 单元巩固练4　因式分解 单元巩固练5　分式与分式方程 单元巩固练6　平行四边形 攻专题 核心题型突破 突破练1　计算题 突破练2　不等式（组）的应用 突破练3　分式与分式方程的应用 突破练4　几何作图 《期末考试》北师8数下 1 提升练2　分类讨论 《期末考试》北师8数下 2 1. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°.将△ABC从图1的位置开 始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应 点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线 段DE分别交BC，AC于点O，N. （1）如图1，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数； 图1　 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°.∴∠BAC＝180°－30°－ 30°＝120°.∵AD⊥BC，∴α＝∠BAM＝∠BAC＝60°. （2）如图2，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学 发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论； 图2 解：（2）证明：由旋转的性质，得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠C ＝∠E. ∴∠BAC－∠MAN＝∠DAE－∠MAN，即∠BAM＝∠EAN. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠B＝∠E. ∴AB＝AE. 在△ABM和△AEN中，∵∠B＝∠E，AB＝AE，∠BAM＝∠EAN， ∴△ABM≌△AEN（ASA）.∴AM＝AN. （3）直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数. 解：（3）旋转角α的度数为30°或75°. 解析：由旋转的性质可知，∠D＝∠B＝30°.分三种情况： ①如图1，当MD＝MO时，则∠MOD＝∠D＝30°.∵∠B＝∠D， ∠AMB＝∠OMD，∴α＝∠BAD＝∠MOD＝30°. 图1　 图1 ②如图2，当MD＝DO时，则∠DMO＝∠DOM＝（180°－∠D）＝ 75°.∴α＝∠DOM＝75°. 图2　 图2 ③如图 3，当OD＝OM时，则∠OMD＝∠D＝30°.∴∠DOM＝180° －∠OMD－∠D＝120°.∴α＝∠DOM＝120°.∵0°＜α＜ 100°，∴这种情形不存在. 图3 综上所述，旋转角α的度数为30°或75°. 图3 2. 已知△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝α，D为BC边上 的任意一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，使点A落在点E 处，连接AE，BE. （1）当α＝120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC，则AE和AC的 数量关系是 ⁠； 图1 AE＝AC （2）当α＝90°时， ①请判断线段AB，BD，BE的数量关系，并根据图2进行证明；（提 示：过点D作FD⊥BC，交AB于点F） 　 图2 ①AB＝BD＋BE. 证明：如图，过点D作FD⊥BC，交AB于点F. ∴∠BDF＝90°. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. ∴△BDF是等腰直角三角形. ∴BD＝FD，∴BF＝＝BD. ∵∠ADE＝∠BDF＝90°，∴∠BDE＝∠FDA. 由旋转的性质，得DE＝DA. ∴△BDE≌△FDA（SAS）. ∴BE＝FA. ∵AB＝BF＋FA，∴AB＝BD＋BE. ②若AB＝6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时，直接写 出此时△ABE的面积. 备用图 ②△ABE的面积为18或18 －18.　 解析：分三种情况：（i）当AD＝ AC时，此时点D与点B重合，如图①. 图① ∵AB＝6，∴DE＝AB＝6，∠ADE＝90°，∴S△ABE＝×6×6＝18. （ii）当AC＝CD时，如图②. 图② ∵AB＝AC＝CD＝6，∴BC＝＝6 . ∴BD＝BC－CD＝6 －6. 由①可知，AB＝BD＋BE，∠ABC＝∠BFD＝45°，∴BE＝AB－ BD＝6－×（6 －6）＝6 －6，∠DFA＝180°－∠BFD＝ 135°. 由①可得，△BDE≌△FDA. ∴∠DBE＝∠DFA＝135°. ∴∠ABE＝∠DBE－∠ABC＝135°－45°＝90°. ∴S△ABE＝BE•AB＝×（6 －6）×6＝18 －18. （iii）当AD＝CD时，如图③，点B与点E重合，此时△ABE不存在， 不符合题意. 综上所述，△ABE的面积为18或18 －18. 图③ 3. 在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°.取一块含45°角的直角 三角尺，将直角顶点放在斜边BC的中点O处，一条直角边过点A（如图 1）.三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使两直角边与Rt△ABC的两边 AB，AC分别相交于点E，F（如图2）. （1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的数量关系？试证明你 的结论； 解：（1）AE＝CF. 证明如下：如图①，连接AO. 图① ∵AB＝AC，O为BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠EAO＝∠CAO＝∠C＝45°，∴AO＝OC. ∵∠EOF＝∠EOA＋∠AOF＝90°，∠FOC＋∠AOF＝90°， ∴∠EOA＝∠FOC. ∴△EOA≌△FOC（ASA）.∴AE＝CF. （2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC的中点O处（如图 3），三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使45°角的两边与Rt△ABC的 两边AB，AC分别相交于点E，F，连接EF（如图4）.在三角尺绕点O 旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出 △OEF为等腰三角形时BE的长，若不能，请说明理由. 解：（2）△OEF能成为等腰三角形，BE的长为1或或2. 解析：分三种情况：①当OE＝EF时，如图②，E为AB的中点，点F与 点A重合，BE＝AE＝AB＝1. ②当OE＝OF时，如图③，由对称性，得∠BOE＝∠COF. ∵∠B＝∠EOF＝45°， ∴∠BEO＝180°－∠B－∠BOE＝135°－∠BOE， ∠BOE＝180°－∠EOF－∠COF＝135°－∠COF. ∴∠BEO＝∠COF＝∠BOE，∴BE＝BO. ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝＝2 . ∵O为BC的中点，∴BE＝BO＝BC＝. ③当EF＝OF时，如图④，F为AC的中点，点E与点A重合，BE＝AB ＝2. 综上所述，△OEF为等腰三角形时，BE的长为1或或2. 4. 在▱ABCD中，动点P在AD边上以0.5 cm/s的速度从点A向点D运动. （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且CD＝CP，求∠B的 度数； 图1　 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠DPC＝∠PCB. ∵CP平分∠BCD，∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC ＝∠PCD，∴DP＝CD. ∵CD＝CP，∴CP＝CD＝DP，∴△PDC是等 边三角形，∴∠D＝60°，∴∠B＝60°. （2）在（1）的条件下，若AB＝4 cm，求△PCD的面积. 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4 cm.∵△PDC 是等边三角形，∴△PCD三边上的高相等，等于2  cm，∴S△PCD＝ ×2 ×4＝4 （cm2）. 图1　 （3）如图2，另一动点Q在BC边上，以2 cm/s的速度从点C出发，在BC 上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q 点也停止运动）.若AD＝6 cm，求当运动时间为多少时，以P，D， Q，B为顶点的四边形是平行四边形. 图2 解：（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴PD∥BQ. 若 以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD＝BQ. 设运动时 间为t s， ①当0＜t≤3时，PD＝6－0.5t，BQ＝6－2t，∴6－0.5t＝6－2t.解得t ＝0（不合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝6－0.5t，BQ＝2t－6，∴6－0.5t＝2t－6.解得t ＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6－0.5t，BQ＝18－2t，∴6－0.5t＝18－ 2t.解得t＝8； 图2 ④当9＜t≤12时，PD＝6－0.5t，BQ＝2t－18，∴6－0.5t＝2t－18.解 得t＝9.6. 综上所述，当运动时间为4.8 s或8 s或9.6 s时，以P，D，Q，B为顶点 的四边形是平行四边形. 5. 在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线与边AD， BC分别相交于点E，F. 某数学学习小组组员对直线EF有以下发现： 甲同学：如图1，当直线EF⊥AD时，△AOE≌△COF，所以四边形 ABFE的面积＝S△AOE＋S△AOB＋S△BOF＝S△COF＋S△AOB＋S△BOF＝S△ABC ＝S▱ABCD. 图1  乙同学：如图2，当E为边AD的中点时，F也为边BC的中点， △AOE≌△COF，所以四边形ABFE的面积＝S△AOE＋S△AOB＋S△BOF＝ S△COF＋S△AOB＋S△BOF＝S△ABC＝S▱ABCD. 图2  猜想：过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形的面积等分. （1）甲同学证明△AOE≌△COF的判定方法可以是 ⁠； （填序号） ①SSS　　②SAS　　③ASA　　④AAS　　⑤HL ③④ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC，S△ABC＝S▱ABCD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF（ASA）.∴S△OAE＝S△OCF. ∴S四边形ABFE＝S四边形ABFO＋S△OAE＝S四边形ABFO＋S△OCF＝S△ABC＝ S▱ABCD. 即过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形的面积等分. （2）请就图3证明上述猜想是否正确； 图3 （3）如图4，▱ABCD的面积为12，直线EF和GH均过对角线AC，BD 的交点O，E是边AD的三等分点，G是边AB的三等分点，则四边形 BGOF的面积是 ⁠.   图4 2或3或4 解析：∵平行四边形的对角线分得的四个小三角形面积相等，S▱ABCD ＝12，∴S△AOD＝S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S▱ABCD＝3. ∵E是边AD的三等分点，G是边AB的三等分点， ∴S△BOG＝S△AOB＝1或S△BOG＝S△AOB＝2， S△BOF＝S△BOC＝1或S△BOF＝S△BOC＝2. ∵S四边形BGOF＝S△BOG＋S△BOF，∴可分四种情况： ①当S△BOG＝1，S△BOF＝1时，S四边形BGOF＝2. ②当S△BOG＝1，S△BOF＝2时，S四边形BGOF＝3. ③当S△BOG＝2，S△BOF＝1时，S四边形BGOF＝3. ④当S△BOG＝2，S△BOF＝2时，S四边形BGOF＝4. 综上所述，四边形BGOF的面积是2或3或4. 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，∠ACB＝∠ACD＝60°，AB＝6， 点P是对角线AC所在直线上的一个动点，将线段CP绕点C顺时针旋转 60°得到CQ，点P的对应点为点Q，连接BP和AQ，直线BP和直线AQ 相交于点M. （1）如图1，当点P是对角线AC的中点时，直线BP和直线AQ所夹的锐 角为 °； 图1　　　 60 （2）如图2，当点P在AC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成 立？请写出你的判断并说明理由； 图2　　　 （1）中的结论仍然成立. 理由如下：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝∠ACB＝ 60°.∴∠ABC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AC＝ BC. 由旋转的性质，得CQ＝CP，∠PCQ＝60°，∴∠ACQ＝∠BCP. 在△ACQ和△BCP中，∵AC＝BC，∠ACQ＝∠BCP，CQ＝CP， ∴△ACQ≌△BCP（SAS）.∴∠CAQ＝∠CBP. ∵∠CBP＋∠AMB＝∠CAQ＋∠ACB，∴∠AMB＝∠ACB＝60°，即 （1）中的结论仍然成立. 图2　　　 （3）点P在直线AC上运动的过程中，当△PQM为直角三角形时，请直 接写出CQ的长. 备用图 当△PQM为直角三角形时，CQ的长为12或6. 解析：由（2）可知，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝6.分三 种情况：①如图①，当点P在CA的延长线上且∠MPQ＝90°时.∵CQ ＝CP，∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形.∴∠CPQ＝60°＝ ∠ACB. ∴∠CPB＝90°－60°＝30°. ∴∠PBC＝180°－∠CPB－∠PCB＝180°－30°－60°＝90°.∴在 Rt△PBC中，CP＝2BC＝2AB＝12.∴CQ＝CP＝12. 图①　　 ②如图②，当点P在AC的延长线上且∠MQP＝90°时.∵∠QCP＝ 60°，CP＝CQ，∴△CPQ是等边三角形.∴∠CQP＝∠CPQ＝ 60°.∴∠PAQ＝90°－60°＝30°. ∵∠AQC＝∠MQP－∠CQP＝90°－60°＝30°，∴∠PAQ＝ ∠AQC，∴CQ＝AC＝AB＝6. 图②　　 ③如图③，当点P在线段AC上时，由（1）知∠AMB＝60°， ∴∠PMQ＝180°－60°＝120°.∴△PQM是钝角三角形，不符 合题意. 综上所述，当△PQM为直角三角形时，CQ的长为12或6. 图③ $