专题05菱形的性质与判定专项训练 (15大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题05菱形的性质与判定专项训练 题型01.平行线间距离求解与应用 题型02.利用菱形性质求角度 题型03.利用菱形性质求线段长 题型04.利用菱形性质求面积 题型05.利用菱形性质证明 题型06.菱形条件添加与证明判定 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 题型13.菱形与多结论辨析题 题型14.菱形与坐标系综合 题型15.菱形存在性问题 解答题5题 知识点01.两条平行线间的距离 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 知识点02:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点03:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点04:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 知识点05:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 .题型01.平行线间距离求解与应用 1．如图，直线a∥b，直线a与直线b之间的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：根据题意得：a∥b，PA⊥a， ∴直线a与直线b之间的距离是线段的长度． 故选：A 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义． 2．如图，已知，点在直线上，且到直线的距离为，则将平移过的位置，平移的距离不可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线间的距离，图形的平移，根据平行线间的距离是两平行线上两点之间连线长度的最小值即可得到答案． 【详解】解：∵直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为， ∴将a平移到b的位置，平移的距离不可以小于， 故选：C． 3．如图，直线，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了两平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴直线a与直线b之间的距离是线段的长度． 故选：A． 4．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， 由图可知：平行四边形的面积为：，三角形的面积为，梯形的面积为； 故三个图形的面积都相等； 故选D． 5．在菱形中，，，则平行线与之间的距离为___________． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段长，涉及菱形的性质、勾股定理及菱形的面积等知识，过点作于点，如图所示，在菱形中，，，且，在中，由勾股定理求出，结合等面积法，由代值求解即可得到答案．熟记菱形的性质、勾股定理及菱形的面积等知识是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在菱形中，，，则，，且， 在中，由勾股定理可得， ，则， 解得， 平行线与之间的距离为， 故答案为：． 6．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 题型02.利用菱形性质求角度 7．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解． 本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 正方形 的对角线. ， ∵四边形是菱形， ， 故选：D ． 8．如图，在菱形中，已知，则__________． 【答案】64 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 9．如图，在菱形中，点是边上一点，，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．由菱形的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 题型03.利用菱形性质求线段长 10．菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等的性质，计算菱形周长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的四条边长度相等，菱形的边长为3， ∴菱形的周长为 ． 11．如果菱形的两条对角线的长度为6和8，那么菱形的周长等于（    ） A．24 B．12 C．20 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，即可求出周长． 【详解】如图，四边形为菱形，， ∵四边形为菱形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴这个菱形周长．    12．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点E处，折痕为，点分别在边上，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接、，根据菱形的性质可知是等边三角形，由是中点，可求得，，又因为，可得，利用勾股定理可求出，过点G作于点N，交的延长线于点M，则，，设，则，，可得，在中，利用勾股定理，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， 是中点， ，，， ， ∵， ， 由折叠可得，，， ， ， ，即， 过点G作于点N，交的延长线于点M，则，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 13．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作，先证明为等边三角形，进而得到为含30度角的直角三角形，设，得到，折叠得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 作于点，设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； 故选B． 题型04.利用菱形性质求面积. 14．已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长，利用菱形的性质求面积，勾股定理等知识，解题关键会求菱形的面积． 先根据菱形的周长求出菱形的边长，再根据对角线的和为8，得出，及根据菱形的对角线互相垂直得到，进而得出，即可求得菱形的面积． 【详解】解：如图，四边形是菱形，对角线与相交于点， ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， ∵对角线的和为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 15．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，求出，，进而利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 16．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 17．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，连接，，根据折叠的性质得到垂直平分，可证，推出，从而得到四边形是菱形，设，则，再利用勾股定理求出，，最后利用即可求得． 【详解】解：如图，设交于点，连接， 由折叠可知，垂直平分 四边形是矩形 在和中 四边形是平行四边形 又 平行四边形是菱形 ，， 设，则 在中， 在中，，即 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的面积公式的运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型05.利用菱形性质证明 18．菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形及矩形的性质，熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定相等，故A不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，故B不符合题意； C、菱形对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，故C符合题意； D、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，故D不符合题意； 故选：C． 19．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理是解题关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，根据对角线相等的菱形是正方形可知菱形是正方形，故本选项不符合题意； B. ，根据菱形的对角线互相平分可得，根据对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C. ，不能判定是正方形，故本选项符合题意； D.，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 20．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，．在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（   ） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质等知识点，把点P从点B出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在菱形中，， ∴，， 当点P与点B重合时，则，此时为等腰三角形； 当时，，则，此时为直角三角形； 当点P到达点C处时， ∵，， ∴此时为等边三角形； 当P为中点时， ∵是等边三角形 ∴ ∴为直角三角形． ∴排序正确的是①③②③． 故选：A． 21．如图，菱形中，点E，F分别在边上，将菱形沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，若，，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；过作于，交延长线于，作于，则，，，由折叠的性质得：，，，由平行线的性质得出，得出和是等腰直角三角形，得出，，，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，据此计算即可得出结果． 【详解】解：过作于，交延长线于，作于，如图所示： 则，，， 由折叠的性质得：，，， 四边形是菱形， ∴， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 题型06.菱形条件添加与证明判定 22．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 23．已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法是解题关键； 分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【详解】解：补充①； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 补充②； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充③； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充④； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 故答案为：②③． 24．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 25．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形四边相等，证得它是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴，，即菱形的边长为． ∵， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 故选：C． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 26．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 27．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 28．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出． 【详解】解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ， ， 同理：， 四边形EGFH是平行四边形， AB=CD， GE=GF， 四边形EGFH是菱形 ∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，， ，， ， ， ， FE平分 ，    故选:： A． 【点睛】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 29．如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质．连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则，根据题意可得四边形是菱形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即小广场到公路的距离为． 故选：A 30．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 31．如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点包括平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．由勾股定理在直角三角形中，利用勾股定理求得；由和 平分，得出四边形是平行四边形；结合，进一步判定四边形是菱形；在直角三角形中，由勾股定理得,直角三角形斜边中线性质，，即可解答． 【详解】如图，连接 ∵，，， ∴. ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中， 故选：A． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 32．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______ 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】过点作于E，于F，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 33．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 34．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 题型10.菱形与折叠问题 35．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质，推出为含30度角的直角三角形，设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为． 36．如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．如图，在边长为4的菱形中，，，分别是边，上的点，将沿翻折，若使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，且，则_____． 【答案】或 【分析】根据，则分两种情况：当点在边上；当点在边上；分别作出图形，利用对称性质及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由，则分两种情况： 当点在边上，如图所示： 在边长为4的菱形中，，则， 将沿翻折，使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，则，且， 在中，，，则， ； 当点在边上，如图所示： 过点作，过点作，如图所示： ， 在边长为4的菱形中，，则， 将沿翻折，使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，则，且， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 在菱形中，， 四边形是平行四边形，则，， ， 在中，，则由勾股定理可得， 设，则，，， ，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求线段长，综合性强，难度较大，涉及菱形性质、对称性质、含直角三角形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识．由题意，分类讨论，灵活运用相关几何性质与判定是解决问题的关键． 38．李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4，    同理可证，， ∴， 设，则，，，， 同理有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 题型11.菱形与动点问题 39．如图，在菱形中，，对角线．点、点分别是、上动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，连接交于，连接、，过点作于，则此时的值最小，最小值为的长，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，继而得到，再根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接交于，连接、，过点作于， ∵在菱形中，，对角线， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴，， ∴，当点与点重合、点与和的交点重合时取“”， 此时的值最小，最小值为的长， ∵，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，等积变换等知识点，解题的关键是能利用垂线段最短解决最短问题，能利用面积法求高． 40．如图， 在矩形中，，， 点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，同时点 F从点 C出发沿CA方向以的速度向点 A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 E，F运动的时间是 t秒． 过点 F作于点 O， 连接，． 若四边形能够成为菱形，则_______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质得到，设点 E，F运动的时间是 t秒，得到，，则，再根据菱形的性质得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 设点 E，F运动的时间是 t秒， ∴，，则， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：， 答案为：． 41．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①连接，根据菱形的性质及，可以得到为等边三角形，结合，可得，可利用判定，从而得到；②根据，，即可得到为等边三角形；③根据及，可以得到，再求等边三角形面积即可；④当时，最短， 等边的面积最小，由，可以得到的面积最大值为； 【详解】解：①连接，    ∵四边形为菱形， ， ∴，， ∴、均为等边三角形，， 又∵， 即：， ∴， 在和中， ∴ ∴，故①正确； ②∵，， ∴为等边三角形，故②正确； ③如图，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，故③正确； ④∵为等边三角形， 当时，最短，的面积最小， 此时， ∴， 同理可得：此时， ∵， ∴ ， 当的面积最小，的面积最大，最大值为，故④错误； ∴正确的结论为：①②③． 故选B 【点睛】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键． 42．如图，在平行四边形中，，点是上的动点，连接． (1)若平行四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，请写出、、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，即可求出，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作交于点，根据题意可得，，根平行四边形的性质得出，根据勾股定理列出方程，解方程求出，进一步求出，，根据勾股定理即可求解； （3）连接，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合等腰直角三角形的判定和性质得出，结合邻补角的定义和平行线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴，， 即， ∵， ∴． （2）过点作交于点，如图： ∵， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， 在中，， 故， 即， 解得， ∴， 故，， 在中，． （3），证明如下： 连接，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故， 在中，， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型12.菱形与最值问题 43．如图，在菱形中，，，P是上的动点，求的最小值_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形，含的直角三角形，垂线段，解决问题的关键是熟练掌握菱形性质，含的直角三角形性质，垂线段性质． 过点作于点，交于点，连接，根据菱形的对称性，得到，根据，得到，推出，得到，根据，推出，得到的最小值为． 【详解】解：过点作于，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴B、关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 44．如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及最短路线问题．连接，，判定，即可得到，进而得出，当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长， 又∵中，，， ∴， 故答案为：． 45．如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于的对称点，即连接，，，，连接交于，根据菱形的性质和轴对称的性质，可得，，再结合，可得点为中点，垂直平分，故，继而结合题意证明为等边三角形，且，，再利用勾股定理算出，再算出，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，，连接交于点，连接交于， ∵关于的对称点为， ∴ ∴ 又∵四边形为菱形， ∴， 又∵为公共边 ∴， ∴， 又∵， ∴点为中点， 又∵， ∴垂直平分， ∵点在对角线上 ∴， ∵四边形为菱形，其边长为，， ∴，，， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 即 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴则的最小值为， 即的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 46．如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型13.菱形与多结论辨析题 47．如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点E，连接、、，与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据可得，则可得，进而可得四边形是菱形，则可判断结论①正确；根据菱形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，则可判断结论②正确；先根据题意无法得到，则可判断结论③错误；由得到，进而判断出，则可判断结论④正确． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形，且E点在的延长线上， ∴，， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据题意无法得到，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个． 48．如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 即的面积的最小值为1．故④正确； 正确的项为②③④，共3个， 故选：C． 49．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出． 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 50．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 题型14.菱形与坐标系综合 51．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴． 在中，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 52．如图，菱形的顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，平行x轴，则菱形的边长为 ___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握坐标与图形及菱形的性质、勾股定理是解题的关键；连接，交于M，由菱形的性质得出，，，然后利用勾股定理求出边长． 【详解】解：连接，交于M， ∵四边形是菱形， ∵，，， ∵平行x轴，， ∴， ∵点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长值为． 53．如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 【答案】 【分析】取的中点E，连接、，，，根据三角形三边关系有，即O、E、B三点共线时取得最大值，求出最大值即可． 【详解】解：取的中点E，连接、，，， ∵， ∴当O、E、B三点共线时取得最大值， 菱形边长为2，， ，，为等边三角形， ，， ，   ∴点B到原点O的最大距离为． 54．如下图，菱形中，O为坐标原点，点B在x轴上，，． (1)直接写出点B和点A的坐标； (2)P是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点D，判断的形状，并给予证明；. (3)在（2）的条件下，以、为邻边作，如果点E在第一象限的角平分线上，求的长． 【答案】(1)，； (2)为等边三角形．理由见解析； (3)． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，则可得出点B的坐标，根据30度角的性质和勾股定理可知点A的坐标； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论； （3）过作轴的垂线，交轴于点．设，证明，求出，，可得出方程，解方程求出可得出答案． 【详解】（1）解：四边形为菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作轴交轴于点G， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：为等边三角形． 证明：菱形，且， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 为等边三角形； （3）解：过作轴的垂线，交轴于点． 设， ∵， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ， ∴， 即， 四边形是平行四边形， ，， ∴P到D的平移方式和A到E的平移方式相同， ，， ∴P到D的平移方式为先向右个单位，再向上个单位， ∵ ∴ 点在第一象限的角平分线上 点的横纵坐标相同，即有， 解得， 即． 题型15.菱形存在性问题 55．，，是分别以的、、边为一边的等边三角形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． (3)试讨论的角满足什么条件时，四边形不存在． (4)多此一问：当的角满足______时，四边形是菱形；当的角满足______时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)当时，四边形不存在， (4)， 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，得到，等量代换得到，同理可得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）如图，过点F作于点G，求出，得到，，然后利用平行四边形面积公式求解； （3）当时，点D，A，E在同一条直线时，进而判断即可； （4）根据菱形和矩形的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点F作于点G， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴四边形的面积； （3）解：当时，四边形不存在，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴点D，A，E在同一条直线时，此时四边形不存在； （4）解：当的角满足时，四边形是菱形； 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 当的角满足时，四边形是矩形； 理由：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 56．已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，． (1)如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形； (2)如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)（答案不唯一） (2)图见解析 【分析】（1）当时，结合题目可先证明四边形是平行四边形，进而结合即可求证； （2）以A为圆心，（即）长为半径画弧，交于点，以G为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、，四边形即为所求菱形；由（1）得，，由作图得，进而可得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 又∵． ∴四边形是菱形； （2）解：作图如下： 【点睛】本题以平行四边形为载体，核心围绕菱形的判定定理展开：小问1通过“平行四边形邻边相等”的思路证明菱形，小问2利用尺规作图构造等长线段，结合平行关系推导菱形． 57． 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． （3）解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 58．如图，矩形中，对角线相交于O点，点P是线段上一动点（不与点D重合），的延长线交于Q点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，点P从点A出发，以的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）根据题意可得，由菱形的性质可得，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵矩形中，对角线相交于O点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由题意得，，则， 当四边形为菱形时，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得． 解答题 59．如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，由勾股定理可得，由等角对等边得出，即可得出结果； （2）作交的延长线于点，连接，则，证明，得出，，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作交的延长线于点，连接， ， 则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 60．某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称．如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接． (1)求的度数． (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）证明出四边形是平行四边形，得到，然后设，则，根据平行线的性质表示出，可知是等腰三角形，再根据全等图形的性质得到，即，可知，即是等边三角形． 【详解】（1）解：∵五个菱形全等 ∴ ∴， ∵ ∴； （2）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵B，C，D，E 四点在同一条直线上， ∴ ∵四边形是菱形 ∴设，则 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵五个全等的菱形， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴是等边三角形． 61．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到是的中位线，由中位线的性质即可求解； （2）根据题意得到，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，根据菱形面积的计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，即． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积为：． 62．已知点D在的边上，且，过点D作交于点E，作交于点F． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明得，可证四边形是菱形； （2）直接根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由： 如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴． 63．如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）设，则．根据平行线的性质、垂直的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，即，由等角对等边可得，进而得到，再结合即可证明结论； （2）①先证四边形为矩形，再证明，根据全等三角形的性质即可解答；②先四边形为菱形，易得；如图：过点作于点，利用等腰三角形三线合一可得，再证明可得，进而证明结论． 【详解】（1）证明：设，则． ∵， ． ， ． ． 在中，， ． ． 又， ． ∵， 四边形为平行四边形． （2）解：①∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ， ， 由（1）可得：， ∴， ∴． ②．理由如下： ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形． ． ， ． 如图：过点作于点， ∵， ． ∵， ． ， ． ． ． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05菱形的性质与判定专项训练 题型01.平行线间距离求解与应用 题型02.利用菱形性质求角度 题型03.利用菱形性质求线段长 题型04.利用菱形性质求面积 题型05.利用菱形性质证明 题型06.菱形条件添加与证明判定 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 题型13.菱形与多结论辨析题 题型14.菱形与坐标系综合 题型15.菱形存在性问题 解答题5题 知识点01.两条平行线间的距离 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 知识点02:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点03:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点04:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 知识点05:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 .题型01.平行线间距离求解与应用 1．如图，直线a∥b，直线a与直线b之间的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．如图，已知，点在直线上，且到直线的距离为，则将平移过的位置，平移的距离不可以是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，直线，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长 C．线段的长度 D．线段的长度 4．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 5．在菱形中，，，则平行线与之间的距离为___________． 6．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 题型02.利用菱形性质求角度 7．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，已知，则__________． 9．如图，在菱形中，点是边上一点，，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03.利用菱形性质求线段长 10．菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 11．如果菱形的两条对角线的长度为6和8，那么菱形的周长等于（    ） A．24 B．12 C．20 D． 12．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点E处，折痕为，点分别在边上，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 13．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 题型04.利用菱形性质求面积. 14．已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为_____． 15．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 16．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 17．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型05.利用菱形性质证明 18．菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对角线相等 19．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，．在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（   ） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 21．如图，菱形中，点E，F分别在边上，将菱形沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，若，，，则的长为________． 题型06.菱形条件添加与证明判定 22．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 23．已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可） 24．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③④ D．①④ 题型07.由菱形的性质与判定求角度 26．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 27．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 28．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 29．如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 30．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 31．如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 32．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______ 33．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 34．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 题型10.菱形与折叠问题 35．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 36．如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 37．如图，在边长为4的菱形中，，，分别是边，上的点，将沿翻折，若使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，且，则_____． 38．李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 题型11.菱形与动点问题 39．如图，在菱形中，，对角线．点、点分别是、上动点，则的最小值为______． 40．如图， 在矩形中，，， 点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，同时点 F从点 C出发沿CA方向以的速度向点 A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 E，F运动的时间是 t秒． 过点 F作于点 O， 连接，． 若四边形能够成为菱形，则_______． 41．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 42．如图，在平行四边形中，，点是上的动点，连接． (1)若平行四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，请写出、、的数量关系，并证明． 题型12.菱形与最值问题 43．如图，在菱形中，，，P是上的动点，求的最小值_______________． 44．如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为_________． 45．如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 46．如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型13.菱形与多结论辨析题 47．如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点E，连接、、，与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 48．如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 50．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型14.菱形与坐标系综合 51．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 52．如图，菱形的顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，平行x轴，则菱形的边长为 ___________ ． 53．如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 54．如下图，菱形中，O为坐标原点，点B在x轴上，，． (1)直接写出点B和点A的坐标； (2)P是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点D，判断的形状，并给予证明；. (3)在（2）的条件下，以、为邻边作，如果点E在第一象限的角平分线上，求的长． 题型15.菱形存在性问题 55．，，是分别以的、、边为一边的等边三角形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． (3)试讨论的角满足什么条件时，四边形不存在． (4)多此一问：当的角满足______时，四边形是菱形；当的角满足______时，四边形是矩形． 56．已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，． (1)如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形； (2)如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 57． 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 58．如图，矩形中，对角线相交于O点，点P是线段上一动点（不与点D重合），的延长线交于Q点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，点P从点A出发，以的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． 解答题 59．如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 60．某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称．如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接． (1)求的度数． (2)判断的形状，并证明． 61．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)若，，求菱形的面积． 62．已知点D在的边上，且，过点D作交于点E，作交于点F． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 63．如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $