培优02 矩形+菱形+正方形+梯形（9大重难题型+强化训练）数学新教材苏科版八年级下册

培优02矩形+菱形+正方形+梯形9大重难题型+强化训练 题型1矩形性质基础计算 矩形兼具平行四边形所有性质，核心抓住**四个角为直角、对角线相等且互相平分**两大特殊点。 遇边长、角度、线段计算，优先用直角构造直角三角形，结合勾股定理求解。 对角线平分出等腰三角形，利用等角等边关系，快速简化角度与线段运算。 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为__________． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求的面积． 题型2矩形判定证明 先看基础：平行四边形证矩形，只需证一个直角或对角线相等**即可。 普通四边形证矩形，可证**三个角是直角**直接判定。 综合题先证平行四边形，再补矩形专属条件，步骤简洁、得分稳定。 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，四边形是平行四边形，下列条件①，②，③，④，⑤中能判定四边形是矩形的是______． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 题型3菱形性质计算 菱形具备平行四边形全部性质，独有**四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角**两大关键特征。计算边长、周长直接用四边相等；涉及线段、长度求值，借助对角线垂直构造直角三角形，结合勾股定理快速运算。利用对角线平分内角的特点，可快速转化角度，简化角度计算与边角结合题型。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，已知的周长是15，则菱形的周长是（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则__________． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，菱形中，，点，分别在，上，且． (1)求证：为等边三角形； (2)连接，若将四边形的面积分为：两部分，当时，求的面积． 题型4菱形判定证明 平行四边形判定菱形，只需证明一组邻边相等或是对角线互相垂直即可。普通四边形可直接证明四条边相等来判定菱形。综合证明题优先先证出平行四边形，再结合菱形专属条件完成推导，步骤简洁高效。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是___________．（填“菱形”、“矩形”或“正方形” 5．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 题型5正方形性质计算与证明 正方形兼具矩形与菱形全部性质，四边相等、四角为直角，对角线相等垂直且互相平分，还能平分内角。计算时依托直角与等腰直角三角形模型，结合勾股定理快速求解边长、对角线与角度。证明类题目可灵活混用矩形、菱形的判定与性质，双向转化条件，简化推理过程。 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 2．（24-25八年级下·江苏·期中）下列说法错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为6，的面积为6，则的长为_______． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 题型6特殊四边形折叠问题 折叠前后对应边、对应角完全相等，牢牢抓住全等不变量是解题核心。折叠必产生等腰、直角或特殊三角形，结合矩形菱形正方形的边角、对角线性质列式计算。遇求边长或最值，常设未知数，利用勾股定理建立方程求解，快速破题。 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点C的对应点F恰好在线段上．若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．1.5 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则折痕的长为________． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，________． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，，．    (1)请说明：； (2)求的面积． 题型7特殊四边形与面积问题 牢记各类特殊四边形专属面积公式，灵活选用简化运算，平行四边形以底乘高为核心，菱形和正方形可巧用对角线乘积的一半快速求值。遇到组合图形、割补类题型，采用分割法或补形法拆分图形，转化为规则四边形与三角形求和计算。结合等底等高面积相等的结论，进行面积转化替换，避开复杂边长计算，高效解题。 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 3．（2425八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，延长到E，连接．若矩形的面积是20，的面积是26，则的面积是______．    4．（2025·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是______． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作，过点B作，CE与BE相交于点E． (1)求OC的长； (2)求证：四边形OBEC为矩形； (3)求矩形OBEC的面积，并计算矩形面积与菱形面积的比值． 题型8四边形综合问题 熟练融合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，根据题干条件灵活切换定理。遇到边长、角度、线段关系，优先借助直角三角形、等腰三角形与中位线模型转化条件。复杂大题结合勾股定理、方程思想与全等证明，分步拆解条件，层层推导即可快速解题。 1．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 2．（24-25八年级下·江苏·月考）如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，，E，F分别是边和上的点，于点F，则线段的长度为_____． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． 题型9等腰梯形的判定与性质 等腰梯形性质：两腰相等、同底两角相等、对角线相等、轴对称且对角互补。 判定：先证是梯形，再满足两腰相等 / 同底角相等 / 对角线相等即可。 解题三大招：平移腰、作双高、延长两腰，秒拆成等腰三角形、矩形来做题。 1．（25-26八年级下·江苏·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 2．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·江苏·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）等腰梯形中，，，，，则该梯形的周长为__________． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 7．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是______． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则___________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在矩形纸片中，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)利用无刻度直尺与圆规作图：在图中作一点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹） 14．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知：如图，中，、相交于点，点是外一点，且．求证：是矩形． 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02矩形+菱形+正方形+梯形9大重难题型+强化训练 题型1矩形性质基础计算 矩形兼具平行四边形所有性质，核心抓住**四个角为直角、对角线相等且互相平分**两大特殊点。 遇边长、角度、线段计算，优先用直角构造直角三角形，结合勾股定理求解。 对角线平分出等腰三角形，利用等角等边关系，快速简化角度与线段运算。 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，先证明是等边三角形，可得，则，利用所对的直角边等于斜边的一半得的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】/120度 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，再根据垂直平分线的性质得到，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，且，，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ． ∴在矩形中，． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积， （1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出即可； （2）由勾股定理得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2矩形判定证明 先看基础：平行四边形证矩形，只需证一个直角或对角线相等**即可。 普通四边形证矩形，可证**三个角是直角**直接判定。 综合题先证平行四边形，再补矩形专属条件，步骤简洁、得分稳定。 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求； 当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求； 当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求； 当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，四边形是平行四边形，下列条件①，②，③，④，⑤中能判定四边形是矩形的是______． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了平行四边形性质，菱形的判定，矩形的判定，等腰三角形性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一验证判断即可． 【详解】解：①四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，①能判定四边形是矩形； ②四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，②不能判定四边形是矩形； ③四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，③能判定四边形是矩形； ④四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 四边形是菱形，④不能判定四边形是矩形； ⑤， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形，⑤能判定四边形是矩形； 综上所述，能判定四边形是矩形的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形． 【答案】矩 【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【详解】（1）证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 题型3菱形性质计算 菱形具备平行四边形全部性质，独有**四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角**两大关键特征。计算边长、周长直接用四边相等；涉及线段、长度求值，借助对角线垂直构造直角三角形，结合勾股定理快速运算。利用对角线平分内角的特点，可快速转化角度，简化角度计算与边角结合题型。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，已知的周长是15，则菱形的周长是（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，，可知是等边三角形，进而求出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， 即， ∵的周长是15， ∴， ∴菱形的周长． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则__________． 【答案】64 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，菱形中，，点，分别在，上，且． (1)求证：为等边三角形； (2)连接，若将四边形的面积分为：两部分，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为或 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． （1）连接AC，由菱形的性质可证明△ACE≌△CDF，得出EC=FC，再证出∠ECF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论． （2）作，分两种情况：当时；当时，分别求出的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 和都是等边三角形， ，， ， 又， ； 在和中，，，， ， ， 为等边三角形． （2）解：由（1）可知≌， ， ． 如图，作交于点，在中，，， ， ， ． 当：：时，； 当：：时，． 综上所述，的面积为或． 题型4菱形判定证明 平行四边形判定菱形，只需证明一组邻边相等或是对角线互相垂直即可。普通四边形可直接证明四条边相等来判定菱形。综合证明题优先先证出平行四边形，再结合菱形专属条件完成推导，步骤简洁高效。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各种特殊的平行四边形的判定方法是解题关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：如图，    A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确； B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确； C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确； D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________． 【答案】10 【分析】据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵是矩形， ∴ ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是___________．（填“菱形”、“矩形”或“正方形” 【答案】菱形 【分析】首先根据AD∥BC，AB∥CD，得出四边形ABCD是平行四边形，再过点A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，两把直尺完全一样可以得到AE=AF，通过等面积法可以得到BC=CD，从而证明四边形ABCD是菱形． 【详解】 解：由题可知AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 过点A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，如图所示， ∵两把直尺完全一样， ∴AE=AF ∴， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，等面积法证明一组邻边相等是本题的关键． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）连接交于点O，根据正方形性质得，再根据得，由此可判定四边形是菱形； （2）先由勾股定理求出，则根据得，则，然后根据菱形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 题型5正方形性质计算与证明 正方形兼具矩形与菱形全部性质，四边相等、四角为直角，对角线相等垂直且互相平分，还能平分内角。计算时依托直角与等腰直角三角形模型，结合勾股定理快速求解边长、对角线与角度。证明类题目可灵活混用矩形、菱形的判定与性质，双向转化条件，简化推理过程。 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏·期中）下列说法错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】B 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故错误，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【答案】 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴， ． ． ． 所以，． 所以，是直角三角形． 由勾股定理得． 因为是的中点， 所以． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为6，的面积为6，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，过点E作于点H，先求出，得出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ∵正方形的边长为6， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，根据正方形性质得出，根据，得出； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ． 题型6特殊四边形折叠问题 折叠前后对应边、对应角完全相等，牢牢抓住全等不变量是解题核心。折叠必产生等腰、直角或特殊三角形，结合矩形菱形正方形的边角、对角线性质列式计算。遇求边长或最值，常设未知数，利用勾股定理建立方程求解，快速破题。 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点C的对应点F恰好在线段上．若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查长方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程． 根据四边形是矩形，可得，由折叠可知得，，，所以，进而可以证明，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠可知：，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 故选：B 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键． 过点G作于F，根据轴对称的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出的值． 【详解】解：如图，故点G作于点F， 由折叠的性质得：四边形与四边形关于对称， ∴四边形四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得：． ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，________． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，，．    (1)请说明：； (2)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由折叠得出，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据等角对等边即可得证； （2）设，则，根据勾股定理得出，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：是由沿直线折叠得到的， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）解：设，则， ，， ， ， ， 的面积 ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 题型7特殊四边形与面积问题 牢记各类特殊四边形专属面积公式，灵活选用简化运算，平行四边形以底乘高为核心，菱形和正方形可巧用对角线乘积的一半快速求值。遇到组合图形、割补类题型，采用分割法或补形法拆分图形，转化为规则四边形与三角形求和计算。结合等底等高面积相等的结论，进行面积转化替换，避开复杂边长计算，高效解题。 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可知矩形的面积，又可知，进而可得矩形的面积． 【详解】四边形是矩形， ，， ， ，矩形， 的面积是． 矩形的面积． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作轴于．只要证明，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积， 故选：C． 3．（2425八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，延长到E，连接．若矩形的面积是20，的面积是26，则的面积是______．    【答案】16 【分析】由矩形的性质得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的面积是20， ∴， ∵的面积是26， ∴， 故答案为：16． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、矩形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，由矩形的面积求出的面积是解题的关键． 4．（2025·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】97 【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．令其中2个部分的面积分别为、，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，令其中2个部分的面积分别为、， 矩形面积的一半，矩形面积的一半， ， ， 故答案为：97． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作，过点B作，CE与BE相交于点E． (1)求OC的长； (2)求证：四边形OBEC为矩形； (3)求矩形OBEC的面积，并计算矩形面积与菱形面积的比值． 【答案】(1)4cm (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用菱形的性质和勾股定理求解即可； （2）先证明四边形OBEC是平行四边形，再由OB⊥OC，即可证明平行四边形OBEC是矩形； （3）先求出AC、BD的长，再根据菱形面积公式和矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵O是菱形ABCD对角线的交点， ∴BD⊥AC，即∠COD=90°， ∵CD＝5cm，OD＝3cm， ∴； （2）解：∵， ， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵OB⊥OC， ∴平行四边形OBEC是矩形； （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD=3cm，AC=2OC=8cm，BD=2OD=6cm， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 题型8四边形综合问题 熟练融合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，根据题干条件灵活切换定理。遇到边长、角度、线段关系，优先借助直角三角形、等腰三角形与中位线模型转化条件。复杂大题结合勾股定理、方程思想与全等证明，分步拆解条件，层层推导即可快速解题。 1．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 【答案】B 【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成． 【详解】设两对角线的交点为E ∵ =54 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半． 2．（24-25八年级下·江苏·月考）如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 【答案】124 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，求得的度数，再判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，，E，F分别是边和上的点，于点F，则线段的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定以及勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．过点E作交于点G，先运用菱形的性质求出，结合直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，求出的长度，最后在中，运用勾股定理求出线段的长度． 【详解】解：过点E作交于点G， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 即． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，、为角平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， 由勾股定理得， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 题型9等腰梯形的判定与性质 等腰梯形性质：两腰相等、同底两角相等、对角线相等、轴对称且对角互补。 判定：先证是梯形，再满足两腰相等 / 同底角相等 / 对角线相等即可。 解题三大招：平移腰、作双高、延长两腰，秒拆成等腰三角形、矩形来做题。 1．（25-26八年级下·江苏·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 3．（2025·江苏·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）等腰梯形中，，，，，则该梯形的周长为__________． 【答案】16 【分析】过等腰梯形上底的顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和等边三角形，先求出梯形的腰长，再计算周长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵等腰梯形中，，， ∴四边形是平行四边形，，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴梯形的周长． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质求得，，，推出，即可证明四边形是等腰梯形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 7．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由图象上点知，且点在点时，的面积为12，连接交于点，则可求出和，利用勾股定理求出，得到． 【详解】解：如图1，连接交于点， 由图2知，当时，点与点重合，，的面积为12， 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据矩形与折叠可证，，，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，即的长为． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 【答案】4.8 【分析】连接，过点P分别作，，根据矩形的性质得，，，，，根据勾股定理得，及，，，即可得三角形和三角形的面积，根据即可得． 【详解】解：连接，过点P分别作，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ， 解得，． ∴点P到矩形的对角线、的距离之和为. 7．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 作交于点，    在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，． ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 10．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则___________． 【答案】1 【分析】由菱形的性质可得，可证和是等边三角形，可得，可证≌，可得，由勾股定理列出方程组，即可求解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形，， ， 和是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ≌， ， 设， 是等边三角形，点E为CD中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在矩形纸片中，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，证明四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据折叠的性质，得到，设，则，在和中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴ ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形， 设，则， 在中，， ∴； 故； （2）解：连接， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵矩形， ∴， 设，则， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴，解得， ∴． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)利用无刻度直尺与圆规作图：在图中作一点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，，则可求出，由角平分线的性质求出的度数即可得到答案； （2）分别以点B和点G为圆心，的长为半径画弧，二者交于点E，连接，则四边形即为所求；可证明是等边三角形，则，由作图可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，四边形即为所求； 14．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 15．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知：如图，中，、相交于点，点是外一点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【分析】连接，首先根据O是、的中点，在中，，在中，，进而得到，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论． 【详解】证明：连接，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴点O为与的中点， 在中， ∵O为中点，，O为中点， ∴， 在中，，O为中点， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 16．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $