数学（北京卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学考前模拟卷，以天问二号探测、《算学宝鉴》古题、节目彩排等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计合理，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称与中心对称、科学记数法、概率等|结合天问二号考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|8/16|因式分解、统计估计、动态几何等|节目彩排候场时间问题，考查优化思想与数据意识| |解答题|12/68|函数综合、圆的证明、旋转探究等|《算学宝鉴》古题应用方程思想，新定义“中心映射”问题发展创新意识|

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 1.【答案】D 【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意． 2．如图，，是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 3．年5月日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为，该距离用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 3.【答案】C 【解析】解：∵， ∴用科学记数法表示为． 故选C． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 4.【答案】A 【解析】解：由数轴可得，， ∴，，，， 故A符合题意． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 5.【答案】D 【解析】解：∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得， ∴，且． 6．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 6.【答案】B 【解析】解：原有红球个，总球数为，摸到红球概率为，即，对各选项逐一验证： A、∵放入1个红球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； B、∵放入1个绿球后，红球数为，总球数为，∴，方法不可行； C、∵取出1个蓝球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； D、∵取出1个白球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； 因此方法不可行的是B． 7．如图，内接于，是的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交于点F、点G，再分别以点F、点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D，连接射线交于点E，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7.【答案】C 【解析】解：是的直径， ， 由作图过程可知，平分， ， ， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8.【答案】A 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 设点C的坐标为，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故③正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故⑤正确， 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故④正确； 综上，正确的有①②③④⑤． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．有意义，则x的取值范围是______． 9．【答案】 【解析】解：由题意得，要使原式有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是， 则x的取值范围是． 10．因式分解：___________． 10.【答案】 【解析】解： ． 11．分式方程的解为__________． 11.【答案】 【解析】解：， 方程两边同乘公分母，得， 整理得， 因式分解得， 解得 或 ， 检验：当时，，故是增根，舍去； 当时，，满足方程要求； 因此原分式方程的解为． 12．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 12.【答案】9 【详解】解：由题可得：，， ∴． 13．某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调查，将学生按照每天课外阅读时长分为A（约1小时），B（约30分钟），C（约10分钟），D（几乎没有）四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该区共有5300名初三学生，根据抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为__________人． 13.【答案】530 【解析】解：由条形统计图可知C等级的人数为80人，由扇形统计图可知C等级所占的百分比为 本次抽样调查的总人数为：（人） D等级的人数为：（人） D等级人数占抽样总人数的百分比为： 该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为：（人）． 14．将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 14.【答案】 【详解】解：如图，设钟表的圆心为，连接， ∵A，B所对应的钟表刻度分别是8，4， ∴ ， ∵和均为的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即圆形钟表的半径为． 15．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 15.【答案】 【详解】解：如图，作于P，于Q， ∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转得，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 16．学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是A、B、C、D．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 A B C D 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_______分钟；若使这28位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 16.【答案】 60 C-A-B-D 【解析】解：节目D的演员的候场时间为：， ∵，，，， 按照C-A-B-D顺序，则候场时间为：； 按照A-C-B-D顺序，则候场时间为：； ∴按照C-A-B-D顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：60，C-A-B-D． 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 17. 【解析】解：原式．（5分） 18．（5分）解不等式组： 18.【解析】解：解不等式①得：，（2分） 解不等式②得：，（4分） 所以不等式组的解集为．（5分） 19．（5分）先化简再求值，已知，求代数式且的值． 19.【解析】解：原式（2分） ；（3分） ∵， ∴．（4分） ∴原式．（5分） 20．（6分）如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 20. 【解析】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，（2分） ∵， ∴四边形是菱形；（3分） （2）解：∵，四边形 是菱形 ∴， ∵， ∴，（4分） ∵， ∴， ， ∴，（5分） 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长．（6分） 21．（5分）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度是多少尺？(列方程解应用题) 21. 【解析】解：设竹竿的长度为x尺，则门宽（x-4）尺，门高（x-2）尺，（1分） 依题意得：，（2分） 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），，（3分） ∴． 答：门的高度是8尺．（5分） 22．（5分）在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． (1)求，的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 【解析】（1）解：把代入得， 解得， ∴交点坐标为， 把代入得；（2分） （2）解：直线解析式为， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值， ∴．（5分） 23．（6分）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： 平均数 众数 中位数 A学校 85.5 80 n B学校 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）； (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率． 23. 【解析】（1）解：（1）由折线统计图可得，， 将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，． 故答案为：85；87．（2分） （2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度， 故答案为：．（3分） （3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，（5分） 选中的两位学生恰好在同一学校的概率为． 故答案为：．（6分） 24．（6分）如图，内接于，D是弧BC上一点，经过点D的的切线，分别交的延长线于E，F． (1)求证：平分； (2)若的半径长为12，，，求线段的长． 24.【解析】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴，（2分） ∴平分；（3分） （2）解：连接，过点B作于点H， ∵，平分， ∴，（4分） ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 则，，（5分） 在中，由勾股定理得，， ∴．（6分） 25．（5分）化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (2)若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 25. 【解析】（1）解：y关于x的函数图象如下图； （1分） （2）解：与y轴交点即，表示在种植过程中不添加化肥， 由种植方式一可知，此时该农作物的产量为15吨/公顷， 则该函数图象与y轴交点的坐标为；（2分） （3）解：①由题意可知，种植方式一的产量为15吨/公顷； 由实验数据可知，种植方式二的产量的最高值为43.4吨/公顷； 即该农作物每公顷的产量最多相差（吨）， 故答案为：28.4；（3分） ②若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍， 则， 观察图象可知，当时，的大概取值范围为， 即该基地化肥的使用总量需控制在4（吨/公顷）至10（吨/公顷）范围内， 故答案为：4,10（5分） 26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 26. 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线 ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式；（1分） （2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； ∴m的取值范围为；（3分） （3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴；（4分） 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴．（6分） 27．（7分）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 27. 【解析】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴．（1分） （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴．（3分） （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，（4分） 在和中， ， ∴，（5分） ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号），（6分） ∴的面积的最大值是．（7分） 28．（7分）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．    (1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射； (2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围． 28. 【解析】（1）根据中心映射的定义， 若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心．由于是等边三角形，因此直线绕A点逆时针旋转，可使弦落在弦上．但直线绕B点、C点逆时针旋转 后，弦无法与再相交成弦． 故只有点A符合映射中心的条件，如下图．   （2分） （2）如下图， 的角平分线交轴于点，过D作，垂足为G．    则与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时的半径r的取值范围是． 在中，平分，过D作x轴的平行线，与EF交于H， 则，又， 所以，则． 由得，，所以 即，。 在直角三角形OEF中，． ∴，解得． ∵， ∴在直角与直角相似． ∴，即． 因此，． 所以，的半径r的取值范围是．即．（4分） （3）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转 得到线段，恰好也是的弦，且与交于x轴，见下图．    作与交于点F，再过F作的平行线，是的切线．则满足条件的弦最大为直径，最小应大于0， 所以，．当O与H重合时，，此时弦为直径；当H与E重合时，，此时弦长度为0． 故d的取值范围是：． 由已知条件知． 又因，故． 在直角中，，则． 故d的取值范围是：．（7分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A D B C A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9． 10． 11． 12．9 13．530 14. 15. 16. 60 C-A-B-D 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【解析】解：原式．（5分） 18．（5分） 【解析】解：解不等式①得：，（2分） 解不等式②得：，（4分） 所以不等式组的解集为．（5分） 19．（5分） 【解析】解：原式（2分） ；（3分） ∵， ∴．（4分） ∴原式．（5分） 20．（6分） 【解析】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，（2分） ∵， ∴四边形是菱形；（3分） （2）解：∵，四边形 是菱形 ∴， ∵， ∴，（4分） ∵， ∴， ， ∴，（5分） 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长．（6分） 21．（5分） 【解析】解：设竹竿的长度为x尺，则门宽（x-4）尺，门高（x-2）尺，（1分） 依题意得：，（2分） 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），，（3分） ∴． 答：门的高度是8尺．（5分） 22．（5分） 【解析】（1）解：把代入得， 解得， ∴交点坐标为， 把代入得；（2分） （2）解：直线解析式为， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值， ∴．（5分） 23．（6分） 【解析】（1）解：（1）由折线统计图可得，， 将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，． 故答案为：85；87．（2分） （2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度， 故答案为：．（3分） （3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，（5分） 选中的两位学生恰好在同一学校的概率为． 故答案为：．（6分） 24.（6分） 【解析】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴，（2分） ∴平分；（3分） （2）解：连接，过点B作于点H， ∵，平分， ∴，（4分） ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 则，，（5分） 在中，由勾股定理得，， ∴．（6分） 25.（5分） 【解析】（1）解：y关于x的函数图象如下图； （1分） （2）解：与y轴交点即，表示在种植过程中不添加化肥， 由种植方式一可知，此时该农作物的产量为15吨/公顷， 则该函数图象与y轴交点的坐标为；（2分） （3）解：①由题意可知，种植方式一的产量为15吨/公顷； 由实验数据可知，种植方式二的产量的最高值为43.4吨/公顷； 即该农作物每公顷的产量最多相差（吨）， 故答案为：28.4；（3分） ②若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍， 则， 观察图象可知，当时，的大概取值范围为， 即该基地化肥的使用总量需控制在4（吨/公顷）至10（吨/公顷）范围内， 故答案为：4,10（5分） 26. （6分） 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线 ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式；（1分） （2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； ∴m的取值范围为；（3分） （3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴；（4分） 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴．（6分） 27. （7分） 【解析】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴．（1分） （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴．（3分） （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，（4分） 在和中， ， ∴，（5分） ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号），（6分） ∴的面积的最大值是．（7分） 28. （7分） 【解析】（1）根据中心映射的定义， 若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心．由于是等边三角形，因此直线绕A点逆时针旋转，可使弦落在弦上．但直线绕B点、C点逆时针旋转 后，弦无法与再相交成弦． 故只有点A符合映射中心的条件，如下图．   （2分） （2）如下图， 的角平分线交轴于点，过D作，垂足为G．    则与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时的半径r的取值范围是． 在中，平分，过D作x轴的平行线，与EF交于H， 则，又， 所以，则． 由得，，所以 即，。 在直角三角形OEF中，． ∴，解得． ∵， ∴在直角与直角相似． ∴，即． 因此，． 所以，的半径r的取值范围是．即．（4分） （3）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转 得到线段，恰好也是的弦，且与交于x轴，见下图．    作与交于点F，再过F作的平行线，是的切线．则满足条件的弦最大为直径，最小应大于0， 所以，．当O与H重合时，，此时弦为直径；当H与E重合时，，此时弦长度为0． 故d的取值范围是：． 由已知条件知． 又因，故． 在直角中，，则． 故d的取值范围是：．（7分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1[A[B][C[D] 5 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][CI[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 10. 11 11 12. 13 14. 15. 16. 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(5分) 20.(6分) A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) 22.(5分) 23.(6分) (1): (2) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(6分) B 25.(5分) (1) 0 40 20 0123456789101112x (2) (3)① ； ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(6分) 27.(7分) B D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(7分) y 2 G E 9 图1 图2 (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（) 豳出 2.如图，AB∥CD,AD是∠BAC的平分线，∠I=120°，则∠ACD的度数为() A -B D A.58 B.60° C.52 D.48 3.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采 样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为18000000km,该距离用科学记数法表示为() A.1.8×10kmB.1.8×10km C.1.8×107km D.1.8×10km 4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是() a-1 0b1→ A.a>b B.a-b>0 C.a+b>0 D.9>0 b 5.若关于x的一元二次方程2-2(k-)x+k=0有实数根，则k的取值范围是（). Ak2月 B.k≥ 2 C.ks-1 D.k≤且k≠0 2 6.一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个 1/10 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 球，要使摸到红球的概率为)，以下方法不可行的是(） A.往袋中放入一个红球 B.往袋中放入一个绿球 C.从袋中取出一个蓝球 D.从袋中取出一个白球 7.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点 F、点G,再分别以点R、点G为圆心，大于}FG长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D,连接射线 CD交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE的度数是() A.30° B.36° C.45° D.50 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 三>0的图象与边AC交于点M,与边BC交于点NM,N不重合)，给出下面五个结论：① △COA与△COB的面积一定相等；②MN∥AB;③△MON与△MCN的面积不可能相等；④△MON可能 是钝角三角形：⑤△MON可能是等边三角形.上述结论中，所有正确结论的个数有() y M A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分) 9. -2有意义，则x的取值范围是 Vx-3 10.因式分解：-3x2+12xy-12y2= 山.分成方程1-子的解为 12.过八边形的一个顶点可以引m条对角线，这些对角线将八边形分成n个三角形，则(3m-2)的值为 2/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13.某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调 查，将学生按照每天课外阅读时长分为A(约1小时)，B(约30分钟)，C(约10分钟)，D(几乎没 有)四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图.如果该区共有5300名初三学生，根据 抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为 人 个人数 200 D 160 120 0 40 A B CD等级 图1 图2 14.将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，CA和CB均为⊙O的切线，切点分别是 A,B(A,B所对应的钟表刻度分别是8,4).若CA=6,则圆形钟表的半径为 15.如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边CD'刚好经过点B,连接DD',若 AB=5,AD=4,则DD'= 16.学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是A、B、C、D.所有演员到场后节目彩排开 始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如 下： 节目 A B C 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的 节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）·若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则 节目D的演员的候场时间为 分钟：若使这28位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的 先后顺序彩排。 3/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三、解答题（本大题共12个小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15分)计：(+-2026i-固 x23(x-2)+4① 18.(5分)解不等式组： 2x-1<x+1② 52 19.(5分)先化简再求值，已知2-39-2=0，求代数式x+3y-(9w+9y)y且y≠0的值。 20.(6分)如图，E,F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE=CF. E B (I)求证：四边形BEDF是菱形： (2)若∠DAB=60°，AD=6,AE=DE,求菱形BEDF的周长. 21.(5分)《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究 了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》卷28中记 载了这样一个问题“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺.竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好 方齐.”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四 尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过.问门的高度是多少尺？ (列方程解应用题) 4/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(5分)在平面直角坐标系xOy中.函数y=-x+b与y=2x+2的图象交于点(a,2). (1)求a,b的值： (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于函数y=2x+2的值，且大于函数y=-x+b 的值，直接写出m的取值范围. 23.(6分)在实验教育集团学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名 学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： 演讲比赛成绩折线统计图 ·一A学校 成绩/分 --·--B学校 100 99 97 9 91 90 86 88 85 88 8788 85 80 78889 8 .85 767 80 80 A 1 2345678910序号 平均数 众数 中位数 A学校 85.5 80 2 B学校 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：m= (2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为S2、S?,请判断S2S?(填“><”或“=”)； (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生(A校3位，B校1位)中随机选 取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率. 5/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(6分)如图，△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点，经过点D的⊙O的切线EF∥BC,分别交 AB,AC的延长线于E,F. B D (1)求证：AD平分∠BAC; (2)若⊙O的半径长为12，∠BAC=60°，BE=6√2，求线段DE的长. 6/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(5分)化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改 良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量.某科研团队分析了化肥 使用量与某农作物产量之间的关系.部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷： 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y(吨/公顷)，化肥的使用总量为x(吨/公顷)，记录 的部分实验数据如下： x/(吨/公顷) 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 以（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出y关于x的函数图象： A 0 50 0 30 20 10 O123456789101112x (2)若将(1)中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为 (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在. ①该农作物每公顷的产量最多相差 吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用 总量需控制在 (吨公顷)至 (吨/公顷)范围内（结果保留整数）· 7/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 26.(6分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+C经过点A(0,-1),其对称轴 为直线x=2,点P是此抛物线上的点，其横坐标为2m,连接AP,取AP的中点B,过点B作y轴的平行线 交此抛物线于点Q,连接AQ、PQ. (1)求此抛物线对应的函数关系式： (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q)的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直 接写出m的取值范围： (3)当△ABQ的边与x轴平行时，求△APQ的面积. 8/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 27.(7分)【问题情境】 △ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE,连接CB、BD,恰好点D落在线段CE上. E D D 图1 图2 【数学思考】 (I)如图1，求证：BC⊥CE; 【探究实践】 (2)如图1，己知BC=1,AC=2√2，求AF的长： 【拓展提升】 (3)如图2，当AB=√5时，过点F作FG∥CE交AE于点G,连接DG,求△DFG的面积的最大值. 9/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 28.(7分)已知线段PQ是⊙G的弦，点K在直线PQ上.对于弦PQ和点K,给出如下定义：若将弦PQ 绕点K逆时针旋转α(0°<：<180)得到线段P'Q',恰好也是⊙G的弦，则称弦PQ关于点K中心映射，点 K叫做映射中心，α叫做映射角度. 图1 图2 (1)如图1，点G是等边△ABC的中心，作⊙G交AB于点P,Q.在A,B,C三点中，弦PQ关于点 中心腴射； ②如图2，在平面直角坐标系0中，直线y=x+3与x轴交于点E,与y销交于点F,∠OF的角平 分线交y轴于点D.若⊙D与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，直接写出⊙D的半径r的取值范 围； (3)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，线段MW是⊙O的弦.对于每一条弦MN,都有相应的点 H,使得弦MW关于点H中心映射，且映射角度为60°.设点H到点O的距离为d,直接写出d的取值范 围 10/102026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将白己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 口 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1I1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1.[A]IBIICIIDI 5.1AIIBIIC]ID] 2.[AIIBIICIIDI 6.IAIIBIICIID] 3.IAlIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.[A1[BIICIIDI 81AI[BI[CIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共16分） 10. 11 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共12个小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(5分) 18.(5分) 19.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) A、 D 21.(5分) 22.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) (1) ； (2) 24.(6分) ● B E D 25.(5分) (1) 60 50 30 0 10 0123456789101112x (2) (3)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(6分) A 27.(7分) E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(7分) A G B 图1 图2 (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题2分，共16分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题2分，共16分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 14.___________________ 15.___________________ 16.__________；________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 18. （5分） 19. （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（6分） 21.（5分） 22.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（6分） (1) _______； _______； (2) _______； 24.（6分） 25．（5分） (1) (2) _______； (3) ①_______； ②_______；_______； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（6分） 27.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（7分） (1) _______； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年中考考前最后一卷 数学 : : (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意事项： 郑 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第卷 : : 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 : 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是() : : : 2.如图，AB∥CD,AD是∠BAC的平分线，∠I=120°，则∠ACD的度数为() : 怒 A.58 B.609 C.52° D.48 3.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样 : 返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为18000000km,该距离用科学记数法表示为() A.1.8×103km B.1.8×10km C.1.8×107km D.1.8×10km 4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是() : a-1 0方1→ : : A.la B.a-b>0 C.a+b>0 D. : 20 5.若关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k=0有实数根，则k的取值范围是(). A.k≥- 2 8.k≥1 C.ks-1 D.k≤且k≠0 : 6. 一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个 球，要使摸到红球的概率为；，以下方法不可行的是（) 试题第1页（共6页） : ©学科网·学易金卷做好费：头限？是沿 A.往袋中放入一个红球 B.往袋中放入一个绿球 C.从袋中取出一个蓝球 D.从袋中取出一个白球 7.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点 K、点6，再分别以点人、点G为圆心，大于FG长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点0，连接射线 CD交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE的度数是() B E A.309 B.36 C.45 D.50° 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 y=-（x>0)的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合).给出下面五个结论：①△COA 与△COB的面积一定相等；②MN∥AB;③△MON与△MCN的面积不可能相等：④△MON可能是钝角 三角形；⑤△MON可能是等边三角形.上述结论中，所有正确结论的个数有() M 0 A A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 第I卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 一2有意义，则×的取值范围是 Vx-3 10.因式分解：-3x2+12xy-12y2= 11.分式方程1 2 +1= -1 1的解为 12.过八边形的一个顶点可以引m条对角线，这些对角线将八边形分成n个三角形，则(3m-2)'的值为 13.某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调 试题第2页（共6页） ©学科网·学易金卷慨树：张限爱是鲁册 查，将学生按照每天课外阅读时长分为A(约1小时)，B(约30分钟)，C(约10分钟)，D(几乎没有) 四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图.如果该区共有5300名初三学生，根据抽样 调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为 人 12 10 人数 200 D 20% 138 B 40 ABCD等级 图1 图2 B' 第13题 第14题 第15题 14.将一个标准的圆形钟表放置在“V"形架上，如图是其主视图，CA和CB均为⊙O的切线，切点分别是 A,B（A,B所对应的钟表刻度分别是8,4).若CA=6,则圆形钟表的半径为 I5.如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边CD'刚好经过点B,连接DD',若 AB=5,AD=4,则DD= 16.学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是A、B、C、D.所有演员到场后节目彩排开 始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如 下： 节目 A C D 演员人数 12 彩排时长 20 15 25 10 己知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的 节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.若节目按“A一B-C-D”的先后顺序彩排，则节 目D的演员的候场时间为 分钟：若使这28位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先 后顺序彩排】 三、解答题（本大题共12个小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 立5分)i计算：-+z-2026°+8-月 x≥3(x-2)+4① 18.(5分)解不等式组： 2x-l<+1② 5 2 19.(5分)先化简再求值，已知2-3v-2=0,求代数式(x+3-(9+9y)y且y≠0的值 20.(6分)如图，E,F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE=CF, 试题第3页（共6页） (1)求证：四边形BEDF是菱形； : : (2)若∠DAB=60°，AD=6,AE=DE,求菱形BEDF的周长， O : 21.(5分)《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一 元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》卷28中记载了这 ·.. 样一个问题“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺.竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐.”译 ... : 文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿 & 竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过.问门的高度是多少尺？（列方程解应 : 用题) 22.(5分)在平面直角坐标系xOy中.函数y=-x+b与y=2x+2的图象交于点(a,2). (1)求a,b的值： 张 (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于函数y=2x+2的值，且大于函数y=-x+b的 值，直接写出m的取值范围 23.(6分)在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学 江 生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： .: : 演讲比赛成绩折线统计图 ·一A学校 游 成绩/分 --·-B学校 100 92 平均数 众数 中位数 95 86 88 88/ 8783 -8 80 8889 A学校 85.5 80 n 617 80 80 B学校 85.5 m 86 74 12345678910序号 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：m= ’n= (2)4、B两所学校决赛成绩的方差分别记为S2、S好，请判断S?S子（填“>”“<"或“=”）： E (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生(A校3位，B校1位)中随机选取 : 2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率. 学 24.(6分)如图，△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点，经过点D的⊙O的切线EF∥BC,分别交 : AB,AC的延长线于E,F @ E (1)求证：AD平分∠BAC: (2)若⊙O的半径长为12，∠BAC=60°，BE=6√2，求线段DE的长. 25.(5分)化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良 : 土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量.某科研团队分析了化肥使 .: 试题第4页（共6页） : : 用量与某农作物产量之间的关系.部分内容如下： : 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷： 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y(吨/公顷)，化肥的使用总量为×（吨/公顷）.记录的 : 部分实验数据如下： : : x/(吨/公顷) 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y以（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： : (1)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出y关于x的函数图象： : : 60 50 ·: 20 10 : 0123456789101112x 尽 (2)若将(1)中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为 (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在。 .. : ①该农作物每公顷的产量最多相差 吨（结果保留1位小数）： : ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用 O O 总量需控制在 (吨/公顷)至 (吨/公顷)范围内（结果保留整数）. 26.(6分)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,-1),其对称轴为 直线x=2,点P是此抛物线上的点，其横坐标为2m,连接AP,取AP的中点B,过点B作y轴的平行线交 : 此抛物线于点Q,连接AQ、PQ : : (1)求此抛物线对应的函数关系式： (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q)的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直 接写出m的取值范围： (3)当△ABQ的边与x轴平行时，求△APQ的面积. 27.(7分)【问题情境】 △ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE,连接CB、BD,恰好点D落在线段CE上. 试题第5页（共6页） : : : : 可学科网·学易金卷做闭：限？是册 图1 图2 【数学思考】 (1)如图1，求证：BC⊥CE; 【探究实践】 (2)如图1，已知BC=1,AC=2√2，求AF的长： 【拓展提升】 (3)如图2，当AB=√时，过点F作FG∥CE交AE于点G,连接DG,求△DFG的面积的最大值， 28.(7分)已知线段PQ是⊙G的弦，点K在直线PQ上.对于弦PQ和点K,给出如下定义：若将弦PQ绕 点K逆时针旋转(0°<a<180)得到线段P'Q',恰好也是⊙G的弦，则称弦PQ关于点K中心映射，点K 叫做映射中心，α叫做映射角度， A G 图1 图2 (1)如图1，点G是等边△ABC的中心，作⊙G交AB于点P,Q.在A,B,C三点中，弦PQ关于点 中 心腴射； (2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线y=- 4X+3与x轴交于点E,与y轴交于点F,∠OEF的角平 分线交y轴于点D,若⊙D与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，直接写出⊙D的半径r的取值范 围； (3)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，线段MW是⊙O的弦.对于每一条弦MN,都有相应的点 H,使得弦MN关于点H中心映射，且映射角度为60°.设点H到点O的距离为d,直接写出d的取值范 围. 试题第6页（共6页） 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．年5月日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为，该距离用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 6．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 7．如图，内接于，是的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交于点F、点G，再分别以点F、点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D，连接射线交于点E，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．有意义，则x的取值范围是______． 10．因式分解：___________． 11．分式方程的解为__________． 12．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 13．某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调查，将学生按照每天课外阅读时长分为A（约1小时），B（约30分钟），C（约10分钟），D（几乎没有）四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该区共有5300名初三学生，根据抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为__________人． 14．将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 15．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 16．学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是A、B、C、D．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 A B C D 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_______分钟；若使这28位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组： 19．（5分）先化简再求值，已知，求代数式且的值． 20．（6分）如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 21．（5分）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度是多少尺？(列方程解应用题) 22．（5分）在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． (1)求，的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 23．（6分）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： 平均数 众数 中位数 A学校 85.5 80 n B学校 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）； (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率． 24．（6分）如图，内接于，D是弧BC上一点，经过点D的的切线，分别交的延长线于E，F． (1)求证：平分； (2)若的半径长为12，，，求线段的长． 25．（5分）化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (2)若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 27．（7分）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 28．（7分）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．    (1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射； (2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 10. ________________ 11. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________；________ 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（5分） 22．（5分） 23．（6分） (1) _______； _______； (2) _______； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6分） 25．（5分） (1) (2) _______； (3) ①_______； ②_______；_______； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 27．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（7分） (1) _______； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．年5月日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为，该距离用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 6．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 7．如图，内接于，是的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交于点F、点G，再分别以点F、点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D，连接射线交于点E，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．有意义，则x的取值范围是______． 10．因式分解：___________． 11．分式方程的解为__________． 12．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 13．某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调查，将学生按照每天课外阅读时长分为A（约1小时），B（约30分钟），C（约10分钟），D（几乎没有）四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该区共有5300名初三学生，根据抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为__________人． 14．将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 15．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 16．学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是A、B、C、D．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 A B C D 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_______分钟；若使这28位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组： 19．（5分）先化简再求值，已知，求代数式且的值． 20．（6分）如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 21．（5分）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度是多少尺？(列方程解应用题) 22．（5分）在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． (1)求，的值： (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 23．（6分）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）； (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率． 24．（6分）如图，内接于，D是弧BC上一点，经过点D的的切线，分别交的延长线于E，F． (1)求证：平分； (2)若的半径长为12，，，求线段的长． 25．（5分）化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (2)若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 27．（7分）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 28．（7分）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．    (1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射； (2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $