2027届高考一轮总复习导学案---专题三函数概念与性质10幂函数

高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数10幂函数 1、 考情分析 本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 2、 知识梳理 知识点一 幂函数 1.幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 2. 幂函数的图象和性质 （1）幂函数的图像 （2）幂函数的单调性 （3）幂函数的奇偶性 3、 类型应用 类型一 幂函数图像的判断 例1：如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 变式训练1-1：幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一般幂函数的单调性、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 变式训练1-2：在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数的图像和性质、幂函数图象的判断及应用、函数图像的识别 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 类型二 求幂函数解析式或求值 例2：若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【知识点】求幂函数的解析式 【详解】代入，即，解得. 变式训练2-1：已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】/ 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【分析】利用待定系数法求出的解析式，进而求出. 【详解】设，则，得， ，故. 故答案为：. 变式训练2-2：已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 变式训练2-3：已知函数是幂函数，若，则__________. 【答案】2 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式、求幂函数的值 【分析】设幂函数为代入已知条件运算求解. 【详解】设，是常数，代入已知条件运算求解. 设，是常数，则，解得 则. 故答案为：2. 类型三 幂函数的性质的判断 例3：下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义判断即可得答案. 【详解】利用幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数，故只有为幂函数. 故选：A. 变式训练3-1：下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断函数是否是幂函数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】结合函数奇偶性的性质以及幂函数的定义与性质分别检验各选项即可． 【详解】根据幂函数的定义可知：为幂函数， 且定义域为 ，满足 为奇函数，故A正确； 为偶函数,故排除B选项； 令，∴，所以为非奇非偶函数，C错误； 的定义域为 ，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故D错误， 故选：A． 变式训练3-2：下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性 【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 变式训练3-3：下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数及指数函数的单调性结合奇偶性判断各个选项. 【详解】对于A：是奇函数，A选项错误； 对于B：是偶函数，在单调递增，B选项正确； 对于C：是偶函数，在单调递减，C选项错误； 对于D：是偶函数，在单调递减，D选项错误； 故选：B. 类型四 幂函数的定义域 例4：下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求幂函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 变式训练4-1：（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的定义域 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 变式训练4-2：函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的定义域、求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由根号内大于等于，真数大于，计算即可得. 【详解】由题意得，解得， 故其定义域为. 故选：C. 变式训练4-3：函数 的定义域是______________． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求幂函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】利用具体函数定义域求法可令根号下的式子大于等于0，且分母不为0，解不等式即可求出定义域. 【详解】易知，要使式子有意义则需满足； 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 类型五 利用幂函数性质求参数 例5：若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性求参数、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数是奇函数，是偶函数排除C， 是非奇非偶函数，排除B、 又幂函数在上单调递减，所以为负数，排除D选项， 幂函数是奇函数，且在上单调递减，所以A正确. 故选：A 变式训练5-1：（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 变式训练5-2：已知幂函数在上单调递增，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，故. 故选：C. 变式训练5-3：已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 类型六 复合函数单调性 例6：函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域，再由复合函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，解得或， 即函数的定义域为. 令，则的图像开口向上，且对称轴为直线，在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 的单调递减区间是. 故选：B 变式训练6：已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断与幂函数相关的复合函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 类型七 利用幂函数单调性解不等式 例7：已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 变式训练7-1：已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式 【分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可. 【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 变式训练7-2：设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 类型八 比较大小 例8：若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【详解】对于A，由，当为负数时，式子无意义，不成立； 对于B，当为负数时，式子无意义，不成立； 对于C，因为函数在上为增函数，则； 对于D，当为负数时，式子无意义，不成立. 变式训练8：下列选项正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【分析】举例说明可判断A；由幂函数在定义域内单调递增，则，故B错误；由指数函数在定义域内单调递增，则，故C错误；由对数函数在定义域内单调递增，则，故D正确； 【详解】对于A选项，若，时，满足，但，故A选项错误； 对于B选项，构造幂函数，且该幂函数在定义域内单调递增， ，因此，故B选项错误； 对于C选项，构造指数函数，且该指数函数在定义域内单调递增， ，因此，故C选项错误； 对于D选项，构造对数函数，且该对数函数在定义域内单调递增， ，因此，故D正确， 故选：D． 例9：设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 变式训练9-1：已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 变式训练9-2：已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 类型九 数学情境 1．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性 【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果. 【详解】A选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A排除； B选项，定义域为，在上显然单调递增，且， 所以是偶函数，图象关于轴对称，即B正确； C选项，定义域为，在上显然单调递减，C排除； D选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，即D正确. 故选：BD. 2．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为指数函数．过程如下：发送方发送明文“9”，通过加密后得到密文“3”，再发送密文“3”，接受方通过解密密钥得到明文“27”．若接受方得到明文“9”，则发送方发送的明文为______． 【答案】4 【知识点】求指数函数解析式、求幂函数的值、指数函数的判定与求值、求幂函数的解析式 【分析】根据题意求出加密密钥的幂函数以及解密密钥指数函数，再根据接受方得到明文“9”，进行逆运算，即可求得答案. 【详解】设加密密钥为幂函数，则由题意得，即 设解密密钥为指数函数，则，即， 故接受方得到明文“9”，则，则， 即发送方发送的明文为4， 故答案为：4 3．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则__________． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义进行求解即可得． 【详解】解：因为函数为幂函数， 所以可得，解得． 故答案为：1 4、 素养提升 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】必要条件、充分条件、判断一般幂函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2.“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 3.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、对数函数单调性的应用、幂函数的单调性的其他应用 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. 4．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数10幂函数 1、 考情分析 本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 2、 知识梳理 知识点一 幂函数 1.幂函数的定义及一般形式 形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 2. 幂函数的图象和性质 （1）幂函数的图像 （2）幂函数的单调性 （3）幂函数的奇偶性 3、 类型应用 类型一 幂函数图像的判断 例1：如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 变式训练1-1：幂函数的图像是（   ）. A．B．C．D． 变式训练1-2：在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 类型二 求幂函数解析式或求值 例2：若幂函数的图像经过点，则实数______. 变式训练2-1：已知幂函数的图象过点，则______． 变式训练2-2：已知，若是幂函数，且，则______. 变式训练2-3：已知函数是幂函数，若，则__________. 类型三 幂函数的性质的判断 例3：下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 变式训练3-1：下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 变式训练3-2：下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 变式训练3-3：下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 类型四 幂函数的定义域 例4：下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 变式训练4-1：（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 变式训练4-2：函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-3：函数 的定义域是______________． 类型五 利用幂函数性质求参数 例5：若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 变式训练5-1：（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 变式训练5-2：已知幂函数在上单调递增，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．-1 变式训练5-3：已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 类型六 复合函数单调性 例6：函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练6：已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 类型七 利用幂函数单调性解不等式 例7：已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练7-1：已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 变式训练7-2：设是幂函数，若，则的取值范围是______． 类型八 比较大小 例8：若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 变式训练8：下列选项正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 例9：设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 变式训练9-1：已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练9-2：已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 类型九 数学情境 1．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为指数函数．过程如下：发送方发送明文“9”，通过加密后得到密文“3”，再发送密文“3”，接受方通过解密密钥得到明文“27”．若接受方得到明文“9”，则发送方发送的明文为______． 3．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则__________． 4、 素养提升 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $