甘肃武威市天祝藏族自治县第一中学2025-2026学年高二下学期第二阶段考试数学试题

2025~2026学年度第二学期第二阶段考试 高二数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，选择性必修第二册第1章~第2章。 地如 % 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为 A.2 B.4 C.6 D. 灯 2.在等差数列(an)中，若a3十a11=10,则a,= A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知空间向量a=(1,-1,y)与b=(2,x,4)共线，则y-2x= A.-6 B.6 C.-4 D.4 4.已知向量a=(1,0,一2)，b=(1,2,2),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 A(合写号】 B.(0,1,3) c(传号》 D(3-号-号) 5.设正项等比数列(an}的前n项和为Sn,若a1=1,a,一2a1=a2,则S。= A.31 B.32 C.63 D.65 崭 6.函数f(x)=2一2的图象大致为 【高二数学第1页（共4页）】 8 7,如图，已知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形，且EC=2P它，若A=a, AD=b,A户=c,则B克= A、2 39 B.3 4 c是a-b-c 1 3 D.-a+分+ 8.已知函数f)=号sin2x-ac0sx十2x在R上单调递增，则实数a的取值范围为 A.[1,十o) B.[-1,0] C.[-2,1] D.[-1,1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=（1,0,一2)，b=(3,一2,1)，则下列结论正确的是 A.a十2b=(7,-4,0) B.a·b=1 C.a⊥(b-a) D.cos(a,b)=y⑩ 70 10.已知函数f(x)=2x3一6x十c(x∈R),若函数f(x)恰有两个零点，则c可以为 A.-4 B.6 C.4 D.2 11.记Sn为数列(an)的前n项和，已知a1=1,an=Sn-1(n≥2)，设m为整数，且对任意n∈N·, m≥2+2+十，则 an A.数列(an)是等比数列 B.数列(Sn)是等比数列 C.m的最小值为6 Dm的最小值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=(22+x)lnx十2在点(1,2)处的切线方程为 13.在等比数列(a,)中，a十az十a,十a,十a十a十a,=48,且aa4a6=64,则上+1十1+1十 1+1+1= as a6 a7 14.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2),B(2,1,3),C(1,一1,2)，AD为△ABC的边BC 上的高，则AD= 【高二数学第2页（共4页）】 ⊙ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=(x一2)2(x十4). (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)求函数f(x)在[一3,3]上的最值. 16.（本小题满分15分) 已知正项递增数列(a,)为等比数列，满足a,十a4-9。 02a=81,数列（亿.}满足b。=loga. (1)求(an},(bn)的通项公式； (2)数列(cn)满足cn=abn,求(cn)的前n项的和Sn. 17.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥AD,PA⊥底面 ABCD,E为BP的中点，AB=2,PA=AD=CD=1. (1)证明：EC∥平面PAD: (2)求二面角E-AC-P的正弦值， 【高二数学第3页（共4页）】 B 18.（本小题满分17分) 已知数列(an)的前n项和为Sn,且an= +1. (1)求(an)的通项公式； (2)设b1=a1,bn+1=b。十nan,求数列(bn)的通项公式. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx十 -,g(z)=zln x-az2+a(aER). x (1)求函数f(x)的最大值； (2)若函数g(x)在(0，十∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数g(x)≤0在x∈[1，十o∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 B2025~2026学年度第二学期第二阶段考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.B 2.A 因为空间向量a=(1,-1)与6=(24)共线，所以号-=产解得x=-2y=所以y一2x= 6.故选A. 3.B对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量： 对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变 量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选B. 4Da在b上的投影向量的公式为”6·b=-号(1,22)=（一专-号-号），故选D 5.D由题设，若X表示数学考试成绩，则P(X>120)=P(X<80)=日，而PX<10)= 所以P(80<X<10)=号-言-号，故参加本次联考的总人数约为800÷号=240.枚选D 6.C:x≠0，f(-)=2一2=-x)x)为奇函数，排除选项A:f)=2-2>0排除选项D )=2t2)xn22-222-h222十n2422当x>2时，必有f(x)>0 x x 所以排除选项B.故选C. 7.A由题意，P吃=号P心=号(AC-A的)=A心-号A市=合(AB+Ad)-号A立-=号a+号6c 成=A店--a-,则迹-2-P成=3a+0日c-(a-0)=-号a++号c,故选N 8.D由f(x)=cos2x+asin x+2=一2sinx+asin x+3,又由函数f(x)在R上单调递增，有-2sinx+ asin x十3≥0恒成立，整理为2sinx-asin x-3≤0.令t=sinx(-1≤t≤1)，g(t)=2t-at-3(-1≤t≤1)， 由次码货的的性有2》一。可得1长。1.技路D 9.ABDA:a+2b=(7,-4,0),故A正确； B:a·b=1×3+0×(-2)+(-2)×1=1,故B正确； C:a·(b-a)=a·b-a2=1-5=-4≠0，故C错误； 1 -√70 D:cos(a,)-ad:b5×V70放D正，确放选ABD. 10.ACf(x)=6x2-6=6(x-1)(x十1)，f(x)>0→x>1或x<-1;f(x)<0→-1<x<1, ∴·f(x)在(-∞，一1)和(1，十∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减， ∴.f(x)极小值=f(1)=一4十c,f(x)极大指=f(-1)=4十c,函数f(x)恰有两个零点，可得一4十c<0,且4十c =0或4+c>0,且-4十c=0,解得c=-4或c=4.即实数c的值是-4或4. 1.ABD由题意可知P(BA)-PA)-,则P(AB)=b因此P(AB)=P(A)P(B),放A正确： P(A) PA+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)-是放B正确： P(AB)十P(AB)=P(B)因此P(AB)=专，故C错误： 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 1 1 PAB)+PAB)=Pa).因此PAB=PAB)--是-号PBIA) P(BA)4 P(A)1 4 3 ,即P(AB)≠P(BA),故D正确，故选ABD, 12.2x-y=0因为y=(2x+1)mx+十2，所以y11=2,所以曲线y=(x+x)1nx十2在点(1,2)处的 切线方程为y一2=2(x-1),即2x-y=0. 13.号或06875设小胡从这8题中任选1恶且作对”为事件A,“选到能完整做对的4道题”为事件B,选到 有思路的2道题”为事件C,“选到完全没有思路的题”为事件D, 则P(B)=专-P(C)=号-子P(D)=名- P(AIB)=1.P(AIC)=P(AID)- 由全概率公式可得P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D) -×1+×+×- 14.誓=(-1，-1.-1)BC=（-1,-2,-1.i=5,BD-,d-26,所以AD= BCI 3 √BA-BD=S 31 15.解：(1)函数f(x)的定义域为R,………………………1分 f(x)=2(x-2)(x+4)+(x-2)2=3(x-2)(x+2),… 2分 令∫(x)=0,解得1=2或x2=一2.…………… 3分 当x<一2或x>2时，f(x)>0;当一2<x<2时，f(x)<0,……………5分 所以函数f(x)的单调递增区间为：（一o∞，一2），(2，十∞)；………6分 单调递减区间为：（一2,2）；………7分 当x=一2时，函数f(x)取极大值，且极大值为f(一2)=32： 8分 当x=2时，函数f(x)取极小值，且极小值为f(2)=0;… 9分 (2)由(1)知，在区间[-3,3]上，当x=-2时，函数f(x)有极大值，且极大值为f(-2)=32;当x=2时，函 数f(x)取极小值，且极小值为f(2)=0: 10分 又因为f(-3)=25,f(3)=7.…… 12分 所以函数f(x)在区间[一3,3]上的最大值为32，最小值为0.… ” 13分 16.解：(1)由题意有20十a十50十60十a十10=200，…. …3分 解得a=30, 故a的值为30； …5分 (2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p 60十40= 200 2 ………………6分 故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配~B(5,号) ……………………8分 则P=o)=C·(合）)°·（分）广=立 …9分 pP=D=C(2)广.（合）'=最 10分 P=2)=c·(合）》.(2)= 11分 p=3)=c·(2)广.(3)广-6 12分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 P=0=c(合》广·()广=最 13分 p=5)=c·(2)广·()广= 则的分布列为： 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 1 P 32 32 16 16 32 32 14分 的数学期望为E()=5X}=5 2-2 15分 17.解：(1)由已知得，P(A)= C号C号+CC程_4 C 21 所以事件A发生的概率为 4 4分 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4. P(X=k=CC=0.1.2,3,4. C ………………8分 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 10 0 20 5 126 63 21 63 126 xw-品++g+品-9 15分 18.(1)证明：如图，取AP的中点F,连EF,DF, .BE=PE,PF=AF, .EFLAB. 2分 直角梯形ABCD, .CDAB. ..CDLEF, .四边形EFDC为平行四边形，.EC∥FD,… 5分 DFC平面PAD,EC过平面PAD,EC∥FD, .EC∥平面PAD；… 7分 (2)解：如图，，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, ∴.AP,AB,AD两两垂直 以A为原点，A店，AD,A户向量方向分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示空 间直角坐标系。 各点坐标如下：A(0,0.0),P(0.0,1).C11.0).B(2.00.E(1,0,号） ………9分 设平面APC的法向量为m=(x,y,z), 由AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),有 APm=z=0 AC.m=x十y=0, 取x=1,y=一1， 之=0，有m=(1,-1,0),……………………………12分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 设平面EAC的法向量为n=(a,b,c), AC·n=a+b=0 t=11.0.正-(1.0号）有证=a+子= 1 取x=1,y=-1,z=-2,有n=(1,-1,-2), …15分 2 可得m·n=2,m=√2，n=√6，cosm,n〉= 2X631 故二面角E-AC-P的正弦值为√一号-5 17分 19.解：1)fx)=lnx+1,定义域为：(0，十o),f(x)=lnx ……1分 令(x)=0,得x=1,当0<x<1时，f(x)>0:当x>1时，f(x)<0, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，……………………………………3分 所以当x=1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)=1;…………4分 (2)因为函数g(x)在(0，十o∞)上单调递减，所以g'(x)=lnx十1-2ax≤0在(0，十∞)上恒成立，…5分 即2a在0，十ae)止上恒成立，博2a≥（中） x …6分 由（可知，f0血中的最大值为1，所以2a≥1，即a≥合， x 所以实数a的取值范围为[号十)： ………………………” 8分 (3)若函数g(x)≤0在x∈[1，十∞)上恒成立，即g(x)=xlnx-a.x2十a≤0在x∈[1，十∞)上恒成立， 所以nx-a.x十么≤0在x∈[1，十oo)上恒成立，…9分 x 令h(x)=lnx-ax+a(x≥1)， x 则h（x)=1-a-及=二aT十X二a,……… 10分 因为x≥1，所以当a≤0时，h'(x)≥0在x∈[1，十o∞)上恒成立， 所以函数h(x)在x∈[1，十o∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)=0,所以a≤0时不符合题意：…11分 当a>0时，令t(x)=-ax2+x-a, ①当△=1-4a2≤0时，即a>号时，则(x)=-ar+x一a≤0恒成立， 即h'(x)≤0在x∈[1，+o∞)上恒成立，所以函数h(x)在x∈[1，+∞)上单调递减， 所以(x)h(1)=0,所以a>2时符合题意：…13分 ②当△=1-4a2>0时.即0<a<2时，令(x)=-ar2+x-a=0, 则=1顿，=1+@ 2a 24 x12=1,x1十x2=1>0,所以0<12， 14分 a 所以当x∈(1，x2)时，t(x)>0,所以h'(x)>0在x∈(1，x2)上恒成立， 即函数h(x)在x∈(1，x2)上单调递增，所以当x∈(1，x2)时，h(x)>h(1)=0, <号时，不符合题意。………… 16分 综上，实数a的取值范围为[2，+∞） 1 …………17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】