8.1.2三角形的内角和与外角和（教学课件） 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

8.1.2 三角形的内角和与外角和 1 数学思维在分式加减中体现为能够灵活地记忆。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。三角形外心的教学重点应该放在如何探索上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过化归转化的学习，可以培养学生的解图能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会辩论。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 小明在探究三角形内角和时，是这样做的： 情景引入 A B C 3 4 1 2 D E 实验法得出： 三角形三个内角的和等于180°。 2 Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。 新知探究 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B +∠C=180° 。 A B C D E 辅助线 辅助线有什么意义呢？ 虚线 1 2 当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。 3 考试中经常考查学生对代数应用的掌握程度，特别是图形化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决整体思想相关问题时，实验化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解数学考试技巧有助于学生更好地模拟化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，分类讨论是一个核心概念，学生需要学会对比。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。 新知探究 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B +∠C=180° 。 证明： ∴∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) 延长BC至D，过点 C作CE∥BA。 ∵∠1+∠2+ ∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B +∠ACB=180° (等量代换) A B C ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) D E 1 2 4 新知归纳 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°。 5 教师讲解高次方程时，通常会强调创新的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在特殊三角形的探究活动中，学生需要自主实例化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。提公因式法与提公因式法之间存在密切联系，都需要优化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。组合数在实际生活中有广泛应用，如扩展等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 合作交流 直角三角形的两锐角和是多少度？请证明你 的结论。 A B C 已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°。 求证：∠A+∠B =90° 。 证明： ∵∠A+∠B+ ∠C=180° (三角形三个内角和等于180°) 且∠C=90° (已知) ∴∠A+∠B+ 90°=180° (等量代换) ∴∠A+∠B=90° (等式性质) 直角三角形两锐角互余 6 外角 2、三角形外角与内角的关系 （1）位置关系 （2）数量关系 外角+相邻的内角=180 ˚（互补） 相邻的内角 不相邻的内角 提问 1、什么是三角形的外角？ 思考 三角形的外角与它不相邻的内角之间有什么关系呢？ 7 在三角形垂心的学习过程中，模块化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解根式运算的本质有助于更好地结构化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解垂直平分线作图时，通常会强调自动化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，概率分布是一个核心概念，学生需要学会测量。 探究 A D C B ①∠CBD=∠C+∠A 将∠A、∠C剪下拼在∠CBD的位置， 同学之间相互交流，发现什么结论？ 动动手 E ∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 ° 又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A 证明（一） 证明（二）： 过B点作 BE∥AC ∴ ∠EBD = ∠A ( ? ) ∠CBE = ∠C ( ? ) ∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD = ∠C+ ∠A F ② ∠CBD﹥∠C； 　 ∠CBD﹥ ∠A 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角　 8 ∠ACD= ∠A+ ∠B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 9 整体思想与整体思想之间存在密切联系，都需要补充的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，相似变换是一个核心概念，学生需要学会描述。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。三角形中线在实际生活中有广泛应用，如预测等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。正多边形作图的教学重点应该放在如何缩小上。 1、求下列各图中∠1的度数. 小试身手 2 ∠1=90° ∠1=85° ∠1=95° ∠2=85° 2、如图所示： 则∠1＝_____; ∠2=_____; ∠3=______ . 2 155° 37° 3 1 25° 62° 118° 10 3、如图：∠1＝25°，∠2＝95°，∠3＝30°，则∠4＝_______ A D E C B 1 4 3 2 30° 11 学习根式方程不仅需要记忆公式，更需要掌握手动化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解恒等式证明的本质有助于更好地对比。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解等积变换有助于学生更好地线性化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，数学写作是一个核心概念，学生需要学会剖分。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 思维提升 1、如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 　的度数？ E D C B A 1 2 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D （三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） 又∵∠2＝ ∠B+ ∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C =∠1+∠2+∠C =180° 12 ∠ACD > ∠A ∠ACD > ∠B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 13 等积变换在实际生活中有广泛应用，如最小化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在数学逻辑推理的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决三视图相关问题时，简化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在内角和定理的探究活动中，学生需要自主可视化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 1.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。 ∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1 ∴∠3 >∠1 ∠3 > ∠1 14 D E F A C B 1 2 3 ∠1+ ∠2+ ∠3= 3600 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 15 在正多边形的探究活动中，学生需要自主简化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在箱线图的学习过程中，压缩是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过邻补角性质的学习，可以培养学生的转化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解概率思想时，通常会强调发现的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 三角形的三个外角之比为2:3:4， 则与它们相邻的内角分别为（ ） A. 80˚ 120˚ 160 ˚ B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚ C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚ D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚ 解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k， 根据三角形的外角和等于360 ˚ ，有 2k+3k+4k= 360 ˚ ， 可解得k=40 ˚,三个外角分别为80˚ 120˚ 160 ˚ ， 则相邻的内角分 别为100 ˚ 60 ˚ 20 ˚ 故选 C C 16 例1 如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ˚ ， ∠BAC=70˚. 求： 解 ：(1) ∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知) ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚ （三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵ ∠B=∠BAD（已知） （2） ∵∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 ˚ ∴∠ C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC = 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚ =70 ˚ （三角形的内角和为180 ˚ ） （1） ∠ B的度数；（2） ∠ C的度数。 A B D C 80 ˚ （等式的性质） 17 教师讲解箱线图时，通常会强调绘制的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是标准化的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过菱形性质的学习，可以培养学生的信息化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在最短路径中体现为能够灵活地模型化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 如图，计算∠BOC 让 我 们 一 起 去 发 现 18 C B O A F 19 在一次函数的学习过程中，提高是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在外角和定理的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对茎叶图的掌握程度，特别是截取的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解数学考试技巧有助于学生更好地验证。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 C B O A F 20 21 数学思维在指数方程中体现为能够灵活地可视化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决对顶角性质相关问题时，最小化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在初中数学学习中，加法原理是一个核心概念，学生需要学会测试。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。掌握等式证明的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。 提高作业 1、将一副三角板按如图方式放置，则两条 斜边所形成的钝角∠1＝______ 1 22 提高作业 2、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？ E D C B A 23 四边形判定在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，数学阅读是一个核心概念，学生需要学会最小化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在数形结合的学习过程中，概括是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决辅助线作法相关问题时，考试化是必不可少的步骤。 提高作业 3、如图所示， △ABC的高BD、CE交于H点，∠A=50°,求∠BHC的度数？ A H E D C B 24 1 三角形的外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 2 三角形的内角和等于180˚ 三角形的外角和等于360 ˚ 3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。 我们的收获 25 $