山西太原师范学院附属中学2025-2026学年第二学期高一年级期中学业诊断数学试题

2025~2026学年第二学期高一年级期中学业诊断 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.若z=(1+i)i(i为虚数单位)，则z的虚部是 A.1 B.-1 C.i D.-i 2.化简AB+BD-AC-CD等于 A.AD B.0 C.BC D.DA 3.已知两个单位向量a,b满足a⊥b, 则4a-30= A.5 B.4 C.3 D.2 4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形ABCD,已知AB=4, CD=2,则四边形ABCD的周长为 D A.8+2W3+√6 B.8+22 C.6+22+2W3 D.6+V6+√2 δA) B” 5.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A.2 B.2W2 c.4 D.4V2 6.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知角B,C满足：3sinB-sinC=0, 3cosB+5cosC=0,则cosC的值是 3 &.3 3 7.晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表；图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独 特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”，现使用 图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形ABCD为矩形，AB=20m,AE,DE, BF,CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为6m,圆心角为花.已知区域ABFE和 第1页共5页 DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为 图1 图2 A.100mm2 C.407m2 D.80m2 3 3 8.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一 点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,Sc且 S4MA+S。·MB+Se·MC=0若M是△4BC的垂心， M 2MA+3MB+7MC=0,则cos∠AMB= A.- 15 8.-3o C.-i5 15 D.-3o 30 30 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设复数z在复平面内对应的点为Z,O为坐标原点，i为虚数单位，则下列说法正确 的是 A.若z∈R,则z=z B.若z2∈R,则z∈R C.若z=-1+i,则z对应的点在第三象限 D.若1≤2≤√2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π 10.下列说法中正确的是 A.对任意向量a,6,c都有ac=a6c) B.若日=月=+ 则8和5的夹角为2号 第2页共5页 c.已知a=（W5,16=（l,-√3)则a在方上的投影向量的坐标为 D.已知向量a,66起点重合，同=25，=4，<a,6>石(a-d)(6-d=0,则同的 最大值√13+1 11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D中，点E为AD中点，动点P在正方 D 形AB,CD1内（含边界)，则 B A.若AP=4√2，则点P的轨迹长度为π B.平面PEC截正方体得到的几何体的体积的最小值为 3 C.若点P为A,D中点，则三棱锥E-BCP的外接球表面积为41π D.若BP与BB,的夹角为公，Q为线段BD,上的动点 则Pq+5ag份发小值为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.2026= 13.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状， 如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得∠AOB=∠BOC=∠C0A=120°的点O 即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点、已知 △4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,A=花.设点O为△4BC的费马点，且 2 满足0i.0i+O8.0C+0C.Oi=45 ,则△ABC的面积为 3 14在AMC中，os4=号它的面积是10，D-子丽+号4C,E,F分别在 2 AB,4C所在的直线上，且满足AD-元A≥D园，D-uAC≥D对任意 九，u∈R恒成立，则DE.DF= 第3页共5页 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知复数z=(2-im2-31-im-21+,m∈R. (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当m=0时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值. 16.(15分)己知△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 bcosA=(2c-a)cosB,c-2a=1,b=7. (1)求角B的大小； (2)求a的值. 17.(15分)如图，在菱形ABCD中，若AB=3,∠BAD=60°，B距=BC,C厅=2F而 (1)若AE=元AB+uAD,FE=xAB+yAD,求元，4，x,y的值： (2)求AE以及AE·FE的值： (3)若AE与BF交于点H,用向量基底法求BH:BF的值. 18.(17分)2026年4月20日，太原师范学院附属中学“青春附中杯”第一届班级足球 超级联赛正式启幕，师生齐聚绿茵场，共赴这场以青春为名、以足球为媒的体育盛会。 如图1为操场的足球门，下面将该物体抽象为一个直四棱柱ABB1A,一DCC,D1,如图2， 底面ABBA为直角梯形，AB∥AB,AB⊥BB,A,B1=1,AB=BC=BB1=4, F为BC的中点，E在AB上且BE=3EA. 第4页共5页 图1 图2 （1)求证：D,E,B1,D1四点共面； (2)求直四棱柱ABBA-DCCD的表面积； (3)求三棱锥C1-CDF外接球的体积. 19.(17分)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类"有一个 题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三 百步欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小 斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”这就是秦九韶推出的“三 斜求积"公式.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积 公式为S ie-( (1)用“三斜求积"公式证明S=二ac sin B; 2 (2)若c=2,且√3b·cosC+2W5cosB=b,求△4BC面积的最大值； (3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体设等腰四面体D一ABC的 外接球表面积为S,A1BC的外接圆面积为S,求三的最小值 S 提示：（x2+y2+z22z2+z2x2+x2y2）=0y2+z2z2+x2x2+y2+x2y2z2 第5页共5页