专题9 平行四边形中的计算与证明-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（人教版·新教材 河南专版）

●·八年级·数学·下册 而称艺侧 政专题 专题9平行四边形中的计算与证明 满分：50分得分： 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[郑州市](10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.延长CB至点D,使得BD=CB,过点A,D 分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若小红：由题目的已知条件，若 连接BE,则可证明BE⊥CD. 连接CE,则可证明CE=DE. (1)请你选择一位同学的说法并进行证明； (2)连接CE,交AB于点F,试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论， 2.(10分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CD的中点为E,连接OE并延长 至点F,使得EF=OE,连接CF,DF (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若EF=5,BD=16,求菱形ABCD的面积. 3.[广州市](10分)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线， (1)用无刻度的直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD,BC于点E,F;(保留作图 痕迹，不写作法) (2)连接BE,DF,求证：四边形BEDF是菱形； (3)若AB=4,BC=8,求EF的长. 31 河洛芸熙·期末考试必刷卷 而形艺爬 4.（10分)如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC,设MN交 △ABC的外角平分线CF于点F,交△ABC的内角平分线CE于点E. (1)求证：0E=OF; (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论； (3)若AC边上存在，点O,使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论 5.可数学思想分类讨论(10分)学习完《四边形》这章后，数学老师给出一个问题情境让 同学们探讨： 问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,点O为对角线AC和BD的交点，M为 BC上一个动点，连接MO并延长交AD于点N. (1)判断BM和ND的数量关系并证明； (2)如图2，将四边形ABMN沿BC方向平移得到四边形A'B'M'N',当点B'与点M重合时，由 (1)可得点N'与点D重合.求证：四边形B'M'DN是平行四边形； (3)如图3，当点M在直线BC上运动时，若直线MN交直线CD于点P,连接BP,将△BCP 沿BP折叠，点C的对应点为点Q,连接DQ,得到△PQD.当∠PDQ=90°时，请直接写出 线段DP的长度， N D(N M BM(B')M'C 图1 图2 图3 32而派言侧 (2).AB BC,AB=AP PB =100+PB...BC=PB+100. (7分) ∴.在Rt△CPB中，由勾股定理，得PB2=BC2-PC2=(PB+ 100)2-2402.解得PB=238. 答：观景台P与观景台B之间距离PB的长为238m.(10分)》 2.解：(1)根据题意，得DE=AB=1.6m,BD⊥DF 在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF=√BF-BD=12(m), 因此EF=DF+DE=13.6(m). 答：此时风筝的垂直高度EF为13.6m. (5分) (2)根据题意，得DC=12+18=30(m) 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC=√BD+CD=34(m), 还需要放出风筝线为34-20=14(m). 答：还需要放出风筝线14m. (10分) 3.解：(1)设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售 价为b元. 根据题意，得2a+36=440, (3分) 14a+5b=800. 解得80 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为 80元. (5分) (2)设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果(12-x)箱. 根据题意，得0≤12-x≤x. 解得6≤x≤12. (7分) 设该公司需花费w元 根据题意，得0=100x+80(12-x)=20x+960 20>0,.w随x的增大而增大 ∴.当x=6时，10有最小值.10最小=20×6+960=1080. 答：该公司最少需花费1080元： 10分) 4.解：(1)y=0.2x+1 (3分) (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2= √32+42=5(m). (6分) 根据题意，得5-(0.2x+1)≥0.5.解得x≤17.5. ∴.扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车. .17>12,.扶手电梯一次性转运的购物车数量多.（10分) 5.解：(1)851.7 (2分) 解析》由图知A,B两岛间的距离为25km,B,C两岛间的 距离为60km,∴.A,C两岛间的距离为25+60=85(km). 海巡船的速度为25÷0.5=50(km/h),∴a=85÷50=1.7. (2)当0≤x≤0.5时，设y关于x的函数解析式为y=x+b (k≠0). 函数图象经过点(0,25)，(0.5,0)， 「b=25, 05h0解得62550y=-50x+254分 当0.5<x≤1.7时，设y关于x的函数解析式为y=mx+n (m≠0). 函数图象经过点(0.5,0)，(1.7,60) 调+10解得9 {n=-25,·J=50x-25. 综上所述，当0≤x≤0.5时，y=-50x+25;当0.5<x≤1.7 时，y=50x-25. (6分》 点P的坐标所表示的实际意义为经过0.5h海巡船到达B岛 (7分) (3)由-50x+25=15,得x=0.2 由50x-25=15,得x=0.8..0.8-0.2=0.6(h),.该海 巡船能接收到该信号的时间为0.6h. (10分) 6.解：(1)当40≤x≤50时，W=(50-35)x+(70-50)(200- x)=-5x+4000. (2分) 当50<x≤100时，W=50x-[35×50+35×0.8×(x- 50)]+(70-50)(200-x)=2x+3650. ●·八年级·数学·下册 厚-{6556000600 (4分) (2)当40≤x≤50时，根据题意，得W=(50-35)(x-m)+ (30-35)m+(70-50)(200-x-3m)+(50-50)×3m= -5x+4000-80m .·-5<0,.W随x的增大而减小 .当x=40时，W的值最大，最大值为-5×40+4000- 80m=-80m+3800. ∴.-80m+3800≥3000.解得m≤10. (7分) 当50<x≤100时，W=[50(x-m)+30m]-[35×50+35× 0.8×(x-50)]+(70-50)(200-x-3m)+(50-50)× 3m=2x+3650-80m. 2>0,.W随x的增大而增大 ∴.当x=100时，W的值最大，最大值为2×100+3650- 80m=-80m+3850. ∴.-80m+3850≥3000.解得m≤10.625 m是正整数，m的最大值为10. (10分) 专题9平行四边形中的计算与证明 1.解：(1)选择小星的说法。 证明：如图1，连接BE. .AE∥BD,DE∥BA, .四边形ABDE是平行四边形 .AE BD. (2分) 图1 .BD=CB,.∴.AE=CB AE∥CB,四边形AEBC是平行四边形 (4分) :∠C=90°，∴.四边形AEBC是矩形 .∠EBC=90°..BE⊥CD (6分) (或选择小红的说法.证明：如图2，连接CE,BE E .·AE∥BD,DE∥BA .四边形ABDE是平行四边形 ∴.AE=BD,AB=DE. (2分)6 BD=CB,∴.AE=CB. 图2 AE∥CB,四边形AEBC是平行四边形. (4分) :∠C=90°，∴四边形AEBC是矩形. ∴，AB=CE.∴，CE=DE (6分)) (2)BF/DE.BF-DE. (8分) 证明：如图3，连接CE,交AB于点F,连接BE 由(1)知四边形AEBC是矩形，∴.CF=EF BD=CB,∴.BF是△CDE的中位线. BF∥DE,BN=DE (10分) 2.解：(1)证明：CD的中点为E,DE=CE. 图3 .·EF=OE,.四边形OCFD是平行四边形 (2分) .·四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD..∠COD=90 ·.四边形OCFD是矩形. (4分) (2):0E=EF=5,BD=16, 0F=2EF=10,0D=0B=2BD=8 (6分) .四边形OCFD是矩形，.CD=OF=10. 0A=0C=√CD2-0D2=√102-82=6. (8分) 4c=201=25m=24C.80=分x12x16=% (10分) 3.解：(1)如图，直线EF即为所求。 (2分) 0 (2)证明：如上图，EF与BD交于点O, .EF垂直平分线段BD, ● 6 河洛芸熙·期末考试必刷卷 .OB=OD,EF⊥BD. .·四边形ABCD是矩形 .AD∥BC..∠EDO=∠FBO. (4分) r∠EDO=∠FBO 在△EDO和△FBO中，DO=BO I∠EOD=∠FOB ∴.△EDO≌△FBO(ASA)..OE=OF. ·OB=OD..四边形BEDF是平行四边形 ··EF⊥BD,.四边形BEDF是菱形 (6分) (3):四边形BEDF是菱形， ∴.BE=ED=BF=DF. BE =x..AB =4,AD BC=8,.'.AE=8-x. 在Rt△BAE中，由勾股定理，得42+(8-x)2=x2 x=5,即BE=ED=BF=5.,AE=8-x=8-5=3.(8分) 如(1)中图，过点E作EH⊥BC交BC于点H,则四边形 AEHB是矩形. ∴.EH=AB=4,BH=AE=3.∴.HF=BF-BH=5-3=2. 在Rt△EHF中，EF=√Ef+HF=√42+22=√20=25. (10分) 4.解：(1)证明：.CE平分∠ACB,∴.∠ACE=∠BCE .MN∥BC,.∠OEC=∠BCE..∠ACE=∠OEC. .OE=OC.同理OF=OC...OE=OF (3分)》 (2)当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.(4分) 证明：当点0为AC的中点时，OA=OC..OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形. (5分)》 :CE平分∠ACB,CF平分∠ACD ∠ACE=7∠ACB,∠ACP=7∠ACD 2 LBCF=∠ACE+LACF=(LACB+∠ACD)=90 .四边形AECF是矩形 (7分) (3)当△ABC是直角三角形且∠ACB=90°时，在AC边上存 在点O(为AC的中点)，使四边形AECF是正方形.(8分) 证明：，∠ACB=90°，.AC⊥BC :MN∥BC,.AC⊥MN,即AC⊥EF 由(2)知，四边形AECF是矩形，∴.四边形AECF是正方形. (10分) 5.解：(1)BM=ND (1分》 证明：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,OB=OD. .∴.∠OBM=∠ODN.又.∠BOM=∠DON ∴△BOM≌△DON(ASA)..BM=ND. (4分》 (2)证明：由平移的性质，得B'M=BM. 由(1)知BM=ND,∴.B'M'=ND.又B'M'∥ND,.四边形 B'MDN是平行四边形 (8分) (3)线段DP的长度为或3. (10分) 解析》分两种情况：①如图①， 0 N 当∠PDQ=90°时，此时点Q落 在AD上.AB=W3,BC=2,由 M 折叠的性质知BQ=BC=2.在 图① Rt△ABQ中，由勾股定理，得AQ=√BQ-AB √22-(3)2=1..DQ=AD-AQ=2-1=1.设DP=m,则 QP=CP=CD-DP=√3-m.在Rt△PDQ中，由勾股定理，得 0p=D0+p,即(5-m)2=P+2.解得m=写 P=号 而衣苍观 ②如图②，当点Q落在DA的延长线上时， P 设DP=n,则PQ=PC=n+3.由折叠的性 质知，BQ=BC=2,.AQ=√BQ-AB2= 0 V22-(3)2=1,.QD=AQ+AD=1+ BM C 2=3.在Rt△DPQ中，由勾股定理得PQ= PD2+QD2,即(n+3)2=n2+32.解得n= 图② 5..DP=3. 综上所述，线段DP的长度为或5. 试卷1洛阳市 一、选择题 题号12345678910 答案DC B D B ACD CA 9.C解析如图1，根据作图过程，可知OA=OC,AE=CE AF=CF..·四边形ABCD是平行四边形，.∴AB∥CD. .∠CE0=∠AFO,∠ECO=∠FAO,.∴.△CEO≌△AFO (AAS).CE=AF.四边形AFCE为平行四边形.：AE= CE,四边形AFCE为菱形.A不符合题意； D FC FB 图1 图2 如图2，根据作图过程，可知∠ADE=∠FmE=分∠ADC, ∠DAF=∠BP=子∠DAE.:四边形ABCD是平行四边 形，.AB∥CD..∴.∠DFA=∠BAF..∠DAF=∠DFA..DA= DF.同理，AD=AE.∴.DF=AE.·AB∥CD,∴.四边形AEFD 为平行四边形.：DA=DF,.四边形AEFD为菱形.B不符 合题意；如图3，根据折叠的性质，可 D 得AD=AE,FD=FE,∠DFA= ∠EFA.DC∥AB,,∠DFA= A ∠EAF.∴.∠EFA=∠EAF.,∴.AE= EF..AD=AE=EF=DF..四边形 图3 AEFD为菱形.D不符合题意：无法证 明C中的四边形BEDF为菱形，符合题意.故选C. 10.A解析进货期间每天调进化肥36÷6=6(t),①正确： 第6天时，库存化肥36t,第10天时，库存化肥20t,∴.销 售化肥的速度=36-20+6×4=10(V天)，②错误：第11 10-6 天时，公司的化肥存量为20-10=10(1)，③错误：第10天 时，剩余的20t完全售出需要20÷10=2（天），∴.该公司 这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间 是12天，④正确.综上所述，①④正确.故选A. 二、填空题 11.0(答案不唯一)12.2√5-213.x=-214.0.33 15多或解折》根据题意，分两种特况：①知图1，点 M,N分别是AD,BC的中点，则直线MN是矩形ABCD的 对称轴.当点A'落在MN上时，则四边形ABVM,MNCD是 矩形.AM=BN=弓AD=4根据折叠的性质，可得A"P= AP,A'B AB =5..A'N =A'B2 BN2 =3..A'M= MN-A'V=5-3=2.∠PMA'=90°，.A'p2=PM+ AfAP=4-AP+2解得AP=3AP=