专项9 相交线与平行线中的计算与证明&专项10 平行线中的综合探究-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（人教版·新教材 河南专版）

河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍观 专项9相交线与平行线中的计算与证明 紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.直线AB,CD相交于点O,且∠AOD是钝角，在∠AOD的内部作射线OE,且OE⊥AB (1)请根据已知条件画出图形 (2)若∠AOC=38°，求∠EOD的度数 (3)若∠AOD:∠BOD=3:2,求∠COE的度数 2.下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程. 已知：点C在直线AB上，点D在直线AB外，且∠DCB=60° 求作：直线DE,使得DE∥AB. 作法：如图， ①在线段CD的延长线上任取一点M;②以点D为顶点，DM为一边，运用数学工具，在DM 右侧作∠MDE=60°；③将射线DE反向延长，直线DE就是所求作的直线， 根据小红的作图过程，解决以下问题： D (1)补全图形，并完成证明过程； 60 B 证明：.·∠MDE=60°，∠DCB=60°，∴.∠MDE=∠DCB. ∴.DE∥AB( )(填推理的依据). (2)在(1)的条件下，过点C作CD的垂线，交直线DE于点F,求∠CFE的度数 3.如图，D,E,F分别在三角形ABC的三条边上，DE∥AB,∠1+∠2=180°. (1)证明：DF∥AC. (2)若∠1=100°，DF平分∠BDE,求∠C的度数. D 24 ●·七年级·数学·下册 河游营迎 4.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽 象的几何图形，其中AB∥CD,MG∥FN.点E,M,F在同一直线上，点G,N,H在同一直线上， 且∠EFN=∠G. (1)EF与GH平行吗？若平行，请说明理由、 (2)求证：∠AEF=∠GHD.(提示：延长EF交CD于点P) 互 图1 图2 5.世新情境台灯中隐含的几何问题如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优 点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图1是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当 灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE 135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°.如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM 的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小明解决此问题的思路如下： D 图1 图2 图3 (1)小明在解决问题时，过点C作CF∥BE,则可以得到CF∥MN,其理由是 (2)如图2，根据小明的思路求得∠CDM的度数为 ,∠ABE的度数为 (3)小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无 关.小明的说法对吗？请结合图3说明理由. 25 河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍观 专项10 平行线中的综合探究 。紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,5)，(3,0).将线段AB向下平移2个 单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD. (1)直接写出坐标：点C ,点D (2)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位 长度；点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度.若两点同时出发，几秒后 MN∥x轴？ (3)若P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），则∠DCP,∠CPA与∠PAB之间存在怎样 的数量关系？请直接写出结论 Y B A B x 备用图 2.世新考法主题式几何探究题【问题情境】数学活动课上，老师要求同学们以一副三角尺 为背景探究图形的位置变化.将一副三角尺按照图1所示的方式放置，其中∠ACB=∠DCE= 90°，∠CAB=∠ABC=45°，∠EDC=30°. 【猜想证明】(1)如图1，“笃学”小组发现∠ACE与∠BCD之间的数量关系为 【操作探究】(2)“勤奋”小组通过分析图1提出问题：试判断∠ACD与∠BCE之间的数量关 系，并说明理由 【拓展探究】(3)“智慧”小组受到启发：让三角尺ABC固定不动，将三角尺DCE从图2的位 置绕，点C逆时针转动180°的过程中，当三角尺DCE的一边与三角尺ABC的边AB平行时， 直接写出∠BCE的度数， 图1 图2 26河洛芸熙·期末考试必刷卷 (3)120 (4)270×9=30(人). 答：该校本学期参加艺术鉴赏(D)活动的学生大约为300 人 专项7计算 (A组) 1解：()原式-1+号-3=-号 8 (2)原式=0-5+5-2=5-7. 2.解：(1)由①，得x=8-2y.③将③代入②，得4(8-2y)+ 3y=7.解得y=5.将y=5代人③，得x=8-2×5=-2.所 以原方程组的解为：三之 (2)①×6，得3x-2y-2=0.③②+③，得6x=18.解得 x=3.将x=3代入②，得9+2=16解得y=了所以原方 x=3, 程组的解为 7 y=2 3.解：(1)：3a+1的立方根是-2，.3a+1=(-2)3=-8 .a=-3.2b-1的算术平方根是3,2b-1=32=9. b=5.9<√10<√16,3<√10<4.c是10的 整数部分，.c=3. (2)由(1)可知，a=-3,b=5,c=3..2b-a+c=2×5- (-3)+3=16..2b-a+c的平方根是±4. 「x-3(x-2)≥4，① 4.解：{1+2x>x-1,② 解不等式①，得x≤1.解不等式 3 ②，得x<4.将不等式的解集在数轴上表示如图所示..不 等式组的解集为x≤1. -5-4-3-2-1012345 (B组) 1.解：(1)原式=-2-(2-3)+3=-2-2+3+3= -4+23. (2)原式=2+√2-2=2 2.解：(1)②-①×2，得5y=-10.解得y=-2.将y=-2代 入①，得x-(-2)=4.解得x=2.所以原方程组的解为 「x=2, 1y=-2 (2)由①，得5x-3y=3.③由②，得2x+3y=18.④ ③+④，得7x=21.解得x=3.将x=3代入③，得5×3-3y=3. 解得=4所以原方程组的解为[： 3.解：(1)去分母，得1+x≥3x-3.移项，得x-3x≥-3-1. 合并同类项，得-2x≥-4.系数化为1，得x≤2..不等式 的正整数解为1,2. (2)①一去分母时，漏乘常数项1②x>-2x≤2 -3-2-10123→ -2<x≤2 (C组) 1.解：(1)原式=2+2-1+2=3+2 (2)原式=2+1-1=2. 2.解：(1)①×3+②×2，得19x=114.解得x=6.将x=6代 入①，得3×6+4=16解得y=-分所以原方程组的解 「x=6, 为 1 y=-2 (2)由②，得3y-4x=5.③①-③，得2x=-4.解得x= -2.将x=-2代入①，得3y-2×(-2)=1.解得y=-1. 所以原方程组的解为{x三-？， 1y=-1. 3.解：(1)解不等式①，得x≤1+m.由图可得，不等式①的解 3 而将运吧 集为x≤3..1+m=3.解得m=2. (2)由(1)可知不等式①的解集为x≤3.解不等式②，得 x>-3..不等式组的解集为-3<x≤3.不等式组的解集 在数轴上表示如图所示， -4 -3-2-1012 34 专项8实际应用题 1.解：(1)设1个A部件的质量为xt,1个B部件的质量为yt 根据题意，得{位+2,28·解得0公 1y=0.8. 答：1个A部件的质量为1.2t,1个B部件的质量为0.8t. (2)设该卡车一次最多可运输m套这种设备通过此大桥. 根据题意，得(1.2+0.8×3)m+8≤30.解得m≤5 ..m 为正整数，且m取最大值，∴.m=6. 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥 2.解：(1)480 (2)设60座客车每辆每天的租金为x元，45座客车每辆每 天的租金为y元 根据题意.得43y890解得800。 1y=800. 答：60座客车每辆每天的租金为1000元，45座客车每辆 每天的租金为800元. (3)设租用60座的客车m辆，则租用45座的客车(10-m) 辆.根据题意，得60m+45(10-m)≥480.解得m≥2. 又m≤4，且为正整数，.m可以取2,3,4 .该学校共有3种租车方案 方案1：租用2辆60座的客车，8辆45座的客车；总租金为 1000×2+800×8=8400(元)： 方案2：租用3辆60座的客车，7辆45座的客车：总租金为 1000×3+800×7=8600(元)： 方案3：租用4辆60座的客车，6辆45座的客车：总租金为 1000×4+800×6=8800(元). .8400<8600<8800,.租用2辆60座的客车，8辆45座 的客车最合算. 3.解：(1)设甲种水果的进价为每千克x元，乙种水果的进价 为每千克y元.根据题意，得200x+200y=8000, 1x-y=20. 解得厂x=30, y=10.200×(40-30)+200×(16-10)=3200 （元). 答：甲种水果的进价为每千克30元，乙种水果的进价为每 千克10元.销售完后，该水果商共赚了3200元. (2)设甲种水果的售价为a元/千克.根据题意，得(1- 20%)×200×16+200a-8000≥3200×90%.解得a≥41.6. 答：甲种水果的售价最少应为41.6元/千克. 4.解：任务1：在该商店无促销活动时，设A商品的销售单价 是x元/件，B商品的销售单价是y元/件. 根据题意得：十子260解得60 1y=200. 答：在该商店无促销活动时，A商品的销售单价是160元/件， B商品的销售单价是200元/件. 任务2：(1)(4750-30a)(2)(4800-32a) 任务3：根据题意，得4750-30a<4800-32a.解得a<25 又0<a<30,∴.0<a<25. 答：当0<a<25时，使用无人机配送商品更合算. 专项9相交线与平行线中的计算与证明 1.解：(1)如图所示 E 一D (2).OE⊥AB,.∠AOE=90°..∠AOC=38°，.∠E0D= 180°-∠A0C-∠A0E=180°-38°-90°=52 (3).:∠AOD:∠BOD=3:2,∠AOD+∠BOD=180°， ∴.∠BOD=72°.∴.∠A0C=∠BOD=72°.∴.∠COE= ∠A0E+∠A0C=90°+72°=162 而派言奥 2.解：(1)补全的图形如图所示 F 一E A 60 —B 同位角相等，两直线平行 (2)如上图，CF即为所求作..'CF⊥CD,∴.∠FCD=90 .·∠DCB=60°.∠ACF=180°-∠FCD-∠DCB=180°- 90°-60°=30°.由(1)知DE∥AB,∴.∠CFE=∠ACF=30°. 3.解：(1)证明：.DE∥AB,∴.∠A=∠2.，·∠1+∠2=180° ∴.∠1+∠A=180°.，∴.DF∥AC. (2).DE∥AB,∴.∠FDE+∠1=180°..∠1=100° .∠FDE=180°-∠1=180°-100°=80°..·DF平分 ∠BDE,.∠FDB=∠FDE=80°.由(1)知DF∥AC, .∠C=∠FDB=80 4.解：(1)平行.理由如下： .·MG∥FN,.∴.∠EFN=∠EMG.,∠EFN=∠G,.∴.∠G= ∠EMG..EF∥GH. (2)证明：如图，延长EF交CD于点P E B .AB∥CD,.∠BEF+∠MPH=180° G ,EP∥GH,∴.∠GHP+∠MPH=180 ∴.∠BEF=∠GHP. .·∠BEF=180°-∠AEF,∠GHP=180°- C P H D ∠GHD. ∴.∠AEF=∠GHD 5.解：(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 线也互相平行 (2)63° 639 (3)小明的说法对.理由如下： .'CF∥BE,∴.∠BCF+∠CBE=180°.∴.∠BCF+∠CBA+ ∠ABE=180°.，·AB∥CD,∴.∠ABC+∠BCD=180 ∴.∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°.∴.∠ABE=∠FCD, .·CF∥MN,∴.∠CDM=∠FCD.∴.∠CDM=∠ABE 专项10平行线中的综合探究 1.解：(1)(-1,3)(-1，-2) (2)设t秒时MN∥x轴，且CD与x轴交 y A 于点E.如图1，根据题意，得AM=1,DW =0.5t.·AB=5,DE=2,.BM=5-t NE=0.5t-2.MW∥x轴，.BM=NE. .5-t=0.5t-2.解得t= 14.14 33s后， D 图1 MN∥x轴. (3)∠DCP,∠CPA与∠PAB之间的数量关系为∠CPA= ∠DCP+∠PAB或∠CPA=∠DCP-∠PAB. 解析分两种情况讨论：①如图2，当点P在直线AB的左 侧时，由平移的性质可知AB∥CD,过点P作PE∥AB交AC 于点E,则PE∥AB∥CD.∴.∠PAB=∠APE,∠DCP= ∠CPE..:∠CPA=∠CPE+∠APE,.∴.∠CPA=∠DCP+ ∠PAB. B 图2 图3 ②如图3，当点P在直线AB的右侧时，设PC交AB于点E. 由平移的性质可知AB∥CD ∴.∠DCP=∠AEC=∠PEB. .:∠PAB+∠CPA+∠AEP=180°，∠PEB+∠AEP=180° ∠PEB=∠PAB+∠CPA=∠DCP. .∠CPA=∠DCP-∠PAB. 综上所述，∠DCP,∠CPA与∠PAB之间的数量关系为 ∠CPA=∠DCP+∠PAB或∠CPA=∠DCP-∠PAB. 2.解：(1)∠ACE=∠BCD (2)∠BCE+∠ACD=180.理由如下：∠ACB=∠DCE= 90°，∴.∠ACE+∠ACD+∠ACD+∠DCB=180°.，·∠BCE= ●·七年级·数学·下册 ∠ACE+∠ACD+∠DCB,.:.∠BCE+∠ACD=180 (3)∠BCE的度数为45或105或135. 解析》分三种情况讨论：①如图1，延长BC到点F,当AB∥ CD时，则∠DCF=∠B=45°..·∠DCE=90°，∴.∠FCE 45°.∴.∠BCE=180°-∠FCE=180°-45°=135°.②如图 2,作CF∥AB.当AB∥DE时，则AB∥DE∥CF..∠ABC+ ∠FCB=180°，∠DEC+∠FCE=180°.∴.∠FCB+∠FCE= 360°-（∠ABC+∠DEC)=360°-(45°+60°）=255 ∴.∠BCE=360°-（∠FCB+∠FCE)=360°-255°=105 ③如图3，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=45 综上所述，∠BCE的度数为45°或105或135 图1 图2 图3 试卷1洛阳市 一、选择题 题号12345678910 答案CABC D ACDBD 10.D解析，·AB∥CD,.∴.∠BEF+∠DFE=180°..·∠BEF 与∠DFE的角平分线相交于点BEP,=号∠BEF, ∠DFP,=3∠DFE如图，过点B作P,M∥AB,过点B 作P2N∥AB..AB∥PM∥CD,AB∥PN∥CD..∠BEP =∠EPM,∠DFP,=∠FP,M.·∠EPF=∠EPM+ ∠FP,MLBP,F=LBBP,+∠DFP,=3∠BEF+ ∠DFE..LEP,F=之（∠BEF+LDFE)=分×180= 90°.∠BEP,与∠DFP,的角平分线相交于点P2,AB∥ BN/CD∠BER=LBP,N=3∠BEP,=× ∠BE,LDFR=∠FR,N=寸∠DFP=)x3∠DFE ∠B肌F=号×（∠BEF+∠DFE)=克×180e同理， 可得∠P=分×3×（∠BEF+∠DFE)=克xI80 六能此类推，∠B=×180=10故运D 2” E A B M P P /F D 二、填空题 11.-412.a>3.13.1 14.从小寒到夏至白昼时长逐渐变长，从夏至到冬至白昼时长 逐渐变短（答案合理即可） 15,182解折》由题意，可知[35060910>10.解得 分<x≤18：x为整数，.输人的x的最大值是18，最小 8 值为2. 三、解答题 16.解：(1)原式=-2-4+4-π (3分) =-2-T. (4分) (2)原式=23-√2-23+2√2 (2分) =√2. (4分) 17.解：(1)/3x+y=5,① 1x-2y=4.② 由①×2+②，得7x=14. ●● 4