第二十章 勾股定理阶段测试2025-2026学年人教版 数学八年级下册

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 初二数学下学期阶段测试 第二十章 勾股定理 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共40分） 一、单选题（共10题，每题4分） 1．如图，数轴上点C所表示的数为，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A． B． C． D．2 2．如图，从电线杆离地面的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是的高线．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 4．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（   ） A．52 B．76 C．100 D．124 5．如图，，两点是体育馆相距最远的两点，分别从，两点引出一条直线交于点，若于点，，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 6．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 7．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2026次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 8.（原创）在中，，将绕点B逆时针旋转60度得到，点C、A的对应点分别是D、E，AC的延长线交ED于F点，则下列说法一定正确的是（ ） A. B． C． D． 9．如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 10．如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索．如图2，在中，，，，点，，分别在边，，上，则周长的最小值为（    ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题（共3题，每题6分，共18分） 11．（新情境题）晨晨家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光晨晨设计了下图所示的直角遮阳篷，既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行），此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为，则遮阳篷的宽度______． 12．如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________． 13．我们将筝形定义为：一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形．如图，在中，，，分别在边上取点，使四边形是筝形，则筝形的对角线的长为_______． 三、解答题（共5题，62分） 14．（本题8分）如图，在等边三角形中，，点是y轴上的一点，连接． (1)求点A的坐标； (2)求四边形的面积． 15．（本题10分）已知点，则之间的距离为． (1)若已知点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，若存在点，请判断的形状，并说明理由． (3)若，求当x为何值时，y取最小值． 16．（新情境题）（本题12分）党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 17．（本题14分）如图，某地利用城市空地建设一处“口袋公园”供市民休闲娱乐，公园外轮廓为四边形，其中米，米，米，米，为公园内的一条小路． (1)求证：． (2)为保证市民安全，计划在点处安装一监控，监控可监视小路EF处的情况．若监控可视范围为50米(即米)，求EF的长． 18.（原创）（本题18分）在等边中，点E和点F分别在BC、AC边上，且AE=CF，AE与CF相交于D点。 图1 图2 （1） 如图1，求证： （2） 如图2，延长BF至G点，连接AG，当时，请问AG与AB是否相等，如果相等，请证明。 （3） 在（2）的条件下，若,求的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学下学期阶段测试 第二十章 勾股定理 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B A C C D D A 一、单选题（共10题，每题4分） 1．【答案】A 【分析】利用勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：由题意可知，在中，， ∴， ∴， 即点A所表示的实数是． 2．【答案】C 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴； 故处到电线杆底部处的距离为. 3．【答案】C 【分析】先求出，再由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．【答案】B 【详解】解：根据题意可知，． 在中． 所以阴影部分的面积． 5．【答案】A 【分析】根据题意确定直角三角形的斜边和直角边，结合勾股定理即可求解． 【详解】在中，，，， 故． 6．【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 7．【答案】C 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027． 8． 【答案】D 【详解】设AF与BE交于G点 因为是由绕点B逆时针旋转60度得到 因此B选项不正确，不符合题意； （此处为8字模型的应用） 因此D选项正确，符合题意； 根据旋转的性质，，无法得出； 因此C选项不正确，不符合题意； 不一定等于，因此BC与ED不一定平行； 因此A选项不正确，不符合题意； 故选：D 9．【答案】D 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 由折叠知，， ∴； ∵， ∴， ∴． 10．【答案】A 【分析】先根据将军饮马模型的提示，分别作点关于的对称点，连接两个对称点，则对称点之间的线段的长度是周长的最小值，再利用已知条件求出答案． 【详解】解：如图1，过点作于点，， ， ， ， ． 如图2，过点作，垂足为点， 过点分别作，的对称点，， 连接，交于点，交于点， 则此时的周长最小，连接，， 由对称性可知： ，，， ， ， 是等边三角形， ， 此时的周长，， ， 周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马模型的多对称拓展，解题的关键是两次对称，化折为直将三角形周长转化成一条线段的长度，利用点到直线垂线段最短求出答案． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题（共3题，每题6分，共18分） 11．【答案】 【分析】根据题意求得，推出，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 12．【答案】 【分析】利用平移的性质解决最短路径问题，将点乙向上平移路宽的距离，连接甲与平移后的点，利用勾股定理求出线段长，再加上路宽即可． 【详解】解：如图，将点乙（点）沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接， 由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度， ，， 根据勾股定理，得， 则甲到乙的最短路程为． 13．【答案】3或 【分析】先解，再分垂直平分和垂直平分两种情况进行求解． 【详解】解：在中，，， ， 又四边形是筝形， 如图，当垂直平分时，相交于点， 则垂直平分， ，又， 为等边三角形， ； 如图，当垂直平分时，相交于点，过作， ，， ， ， ， ， ， 综上，的长为3或． 三、解答题（共5题，62分） 14． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形与坐标，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形“三线合一”是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，得到．作出边上的高线，由等边三角形“三线合一”，得到，再根据勾股定理算出，结合图中点A在第二象限，从而得到A点坐标． （2）因为点C在y轴上，所以点C的横坐标为0，得到．将四边形分成等边三角形和直角三角形两部分，各自求出面积后，相加得到结果． 【详解】（1）过A作轴于E，则在等边三角形中，垂直平分， ∵等边三角形中，， ∴， ∴，， 在直角三角形中，， ∵点A在第二象限， 点A坐标为； （2）∵点C在y轴上， ∴， ∴，点C坐标为， ∴， ， ， ． 15．【答案】(1)； (2)等腰直角三角形，理由见详解； (3)． 【分析】本题考查两点间距离公式、勾股定理及其逆定理及最短路线问题，解题的关键是学会用材料中的新定义解决问题，属于中考创新题型． （1）根据两点间距离的定义，利用两点的距离公式即可求出； （2）根据两点间距离公式求出其余两边的长，利用勾股定理的逆定理判断即可解决问题； （3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的值最小时即可解决问题． 【详解】（1）解：∵平面直角坐标系内任意两点，之间的距离为， ∵点， ． 即线段的长为． （2）解：点，点， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形． （3）解：， 设点 这时可以理解为在x轴上的一点P满足最小， 作点C关于x轴对称的点，连接，线段的长即为y，直线与x轴的交点即为所求的点P， ∵点C与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， 设直线为， 将、代入， 得， 解得， ， 当时，， 所以当x为时，y取最小值．， 16．【答案】(1)小路的长度为15m (2)改造这片空地共需花费17100元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 答：小路的长度为15m； （2）∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 元； 答：改造这片空地共需花费17100元． 17．【答案】(1)见解析 (2)20米 【分析】（1）利用勾股定理求出BD，再用勾股定理的逆定理判定即可是直角三角形； （2）过点A作于点G，则点G是的中点，即，再用等面积法求出AG，再用勾股定理求EG，从而得解． 【详解】（1）解：∵米，米，， ∴米， 又∵米，米， ∴， ∴是直角三角形，； （2）过点A作于点G， ∵米， ∴点G是的中点，即， ∵， ∴米， ∴米， ∴=20米． （原创）18.【答案】（1）答案见解析 （2） 相等，答案见解析 （3） 【分析】（1）由逆等线的性质，根据全等三角形SAS推出，，从而得到，再结合等边三角形三个内角都是60度，即可证明。 （2） 设由等边三角形性质，得出；在中，，可推出，得到，从而得到AB=AG。 （3） 过A点作,交BG于K点，证明ADK是等边三角形，，设，从而得到，在中，，因此，在直角三角形AHG中，用勾股定理可列方程：，求出，。 再作CM垂直BG，在直角三角形GCM中，一个角为30度，已求出CG的长，可求出CM，进而求出三角形BGC的面积。 【详解】（1）证明：是等边三角形 又 (SAS) （2） AG=AB，证明如下： 设 ； 在中， AB=AG（等角对等边）。 （3） 如图，过A点作,交BG于K点 由（2）可知， 根据三线合一，可得： 在与中， 由（1）知， ,是等边三角形 设，因此 在中， 在直角三角形AHG中，用勾股定理可列方程： 可得：，。 作，在中，， 【点睛】这道题考察了等边三角形结合逆等线，证明全等三角形的方式。同时考察了带有30度角的直角三角形，合理选择直角三角形，并且通过设立未知数列方程，是解决问题的关键，题目较难，综合性较强。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 4 实数与数轴、用勾股定理解三角形、数轴上两点之间的距离 0.85 2 单选题 4 用勾股定理解三角形 0.85 3 单选题 4 含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形 0.85 4 单选题 4 以直角三角形三边为边长的图形面积 0.85 5 单选题 4 用勾股定理解三角形 0.8 6 单选题 4 勾股定理的证明方法 0.65 7 单选题 4 以直角三角形三边为边长的图形面积 0.65 8 单选题 4 旋转的性质，三角形角度关系 0.65 9 单选题 4 含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、等边三角形的判定和性质 0.6 10 单选题 4 根据成轴对称图形的特征进行求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 0.4 11 填空题 6 根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 0.65 12 填空题 6 最短路径问题、用勾股定理解三角形 0.65 13 填空题 6 线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、实数的混合运算、含30度角的直角三角形 0.4 14 解答题 8 已知点所在的象限求参数、等边三角形的性质、写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形 0.65 15 解答题 10 已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段问题(轴对称综合题) 0.65 16 解答题 12 用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 0.6 17 解答题 14 三线合一、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 0.6 18 解答题 18 用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定，等腰三角形的性质、等边三角形的性质 0.35 $