2025-2026学年北师大版数学八年级下册期中考试复习专项——网格作图专项

2026年北师版八年级下册数学 期中考试复习专项 ——网格作图专项 目录 一、 平移 2 二、 平移与轴对称 6 三、 平移与旋转 8 四、 中心对称 13 五、 新定义 16 平移 1. 如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． (1)将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出，并写出点的坐标； (2)若边上一点经过上述平移后的对应点是，则点的坐标是________（用含a，b的式子表示） 2. 三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)写出下列各点的坐标：________，________． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是________． 3. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请你画出和； (2)请直接写出点的坐标和的面积． 4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为．将三角形平移，点平移到格点的位置，点，平移后的对应点分别是，得到三角形． (1)点的坐标为___________； (2)在平面直角坐标系中，画出三角形； (3)三角形的面积为___________． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为、、、，点经过平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形． (1)请画出四边形，并写出点的对应点的坐标； (2)求四边形的面积． 6. 如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，结合图形，完成下列问题： (1)三角形先向左平移_________个单位，再向_________平移_________单位得到三角形． (2)三角形内有一点，则在三角形内部的对应点的坐标是_________． (3)三角形的面积是_________． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为．将平移得到，中的任意一点经过平移后的对应点的坐标是． (1)画出； (2)直接写出平移过程中线段扫过的面积； (3)若E为直线上一点，，用含m的式子表示线段的最小值； (4)仅用无刻度直尺在线段上作一点E，使的面积为3（保留作图痕迹）． 8. 如图，把 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 ． (1)画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求出 的面积． 9. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，向右平移6个单位，向上平移2个单位后得到． (1)画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上取一点使得，求点的坐标． 平移与轴对称 10. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的． (3)求的长． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ______， ______； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的； (3)点M是y轴上的动点，当线段的长度最小时，点M的坐标______，依据是______． 平移与旋转 13. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是(　　) A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5) 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，请画出； (2)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出； (3)直接写出以，，为顶点所构成的三角形的面积为______． 17. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； (2)连接，，线段和的关系是 ； (3)在图②中画出绕点B顺时针旋转后的； (4)在图②方格纸中存在 个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 19. 如图，各顶点的坐标分别为，， (1)将向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到，画出平移后的图形，并写出平移后对应顶点的坐标； (2)点A到直线的距离＝____________； (3)将绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (3)若在内有一点，将按照（2）的方式旋转之后的对应点为，则的坐标为______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)平移，使得点A的对应点的坐标为，在图中画出（点B的对应点点C的对应点）； (2)将绕原点逆时针旋转得到，在图中画出（点A的对应点，点B的对应点，点C的对应点）； (3)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接则的最小值为__________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为 ； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标． 23. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上． (1)将绕C点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出． (2)将向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到，请在图中画出． (3)若将绕原点O旋转，A的对应点的坐标是________． (4)在y轴上找一点P，使周长最小，点P的坐标为________． 24. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移个单位后的图形（注意标上字母）； (2)连接，，线段和的关系是_________； (3)在图②中画出绕点顺时针旋转后的； (4)的面积是_________；在图中存在满足与面积相等的格点（与点不重合）共计有_________个． 中心对称 25. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 26. 如图，长方形各顶点的坐标分别为、、、，长方形各顶点的坐标分别为、、、．平移长方形得到长方形，且点的坐标为． (1)画出长方形． (2)如果长方形沿的方向平移，至与重合停止，设平移过程中平移的距离为，长方形与长方形重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围为______． (3)画出一条直线把原图长方形与长方形组成的复合图形分成面积相等的两部分． 27. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的； (2)的面积为________； (3)在所给的网格图中确定一个格点P，使得，画出线段，此时点P的坐标为________． 28. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3) ，C(1,3) ． （1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90的△AB2C2；直接写出点C2的坐标为 ； （3）求在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C所经过的路径长． 新定义 29. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师版八年级下册数学 期中考试复习专项 ——网格作图专项 目录 一、 平移 2 二、 平移与轴对称 11 三、 平移与旋转 14 四、 中心对称 28 五、 新定义 35 平移 1. 如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． (1)将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出，并写出点的坐标； (2)若边上一点经过上述平移后的对应点是，则点的坐标是________（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)作图见解析，；(2) 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，可知； （2）解：将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到． 2. 三角形和三角形在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)写出下列各点的坐标：________，________． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是________． 【答案】(1)，； (2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）； (3) 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得：，； （2）解：由平面直角坐标系可得：，， 则平移方式为先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）； （3）解：若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是． 3. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请你画出和； (2)请直接写出点的坐标和的面积． 【答案】(1)见解析；(2)， 【详解】（1）解： 如图，和即为所求： （2）根据题意， ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为．将三角形平移，点平移到格点的位置，点，平移后的对应点分别是，得到三角形． (1)点的坐标为___________； (2)在平面直角坐标系中，画出三角形； (3)三角形的面积为___________． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为； （2）解：由题意得，向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到，则如图：即为所求． （3）解：三角形的面积为． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为、、、，点经过平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形． (1)请画出四边形，并写出点的对应点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为；(2) 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，点的坐标为． （2）解：四边形的面积为． 6. 如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，结合图形，完成下列问题： (1)三角形先向左平移_________个单位，再向_________平移_________单位得到三角形． (2)三角形内有一点，则在三角形内部的对应点的坐标是_________． (3)三角形的面积是_________． 【答案】(1)4；下；2；(2)；(3)2 【详解】（1）根据题图可知，三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形； （2）由平移的性质：上加下减，左减右加可知， 三角形内有一点， 则三角形内部的对应点的坐标是， 则点的坐标是， （3）解：． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为．将平移得到，中的任意一点经过平移后的对应点的坐标是． (1)画出； (2)直接写出平移过程中线段扫过的面积； (3)若E为直线上一点，，用含m的式子表示线段的最小值； (4)仅用无刻度直尺在线段上作一点E，使的面积为3（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解；(2)17；(3)；(4)见详解 【详解】（1）解：中的任意一点经过平移后的对应点的坐标是． 是向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的， 如图所示，就是所求作的三角形； （2）解：如图， 平移到，扫过的图形是平行四边形， ； （3）解：由（2）知四边形是平行四边形， ， 当时，取最小值， 又，， ； （4）解：如图，点E就是所要求作的点． 8. 如图，把 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 ． (1)画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求出 的面积． 【答案】(1)见解析，；(2) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：由题意得，． 9. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，向右平移6个单位，向上平移2个单位后得到． (1)画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上取一点使得，求点的坐标． 【答案】(1)作图见解析；；(2)；(3)点的坐标为或 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：； （2）解：； （3）解：∵点， ∴点B到轴的距离为1， ∵点，在轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为或． 平移与轴对称 10. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的． (3)求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：由图知，． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ______， ______； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的； (3)点M是y轴上的动点，当线段的长度最小时，点M的坐标______，依据是______． 【答案】(1)0；；(2)见解析；(3)，垂线段最短 【详解】（1）解：， ，将向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度后得到， ∴； （2）解：由（1）得， 如图所示，即为所求； （3）解：由垂线段最短可知，当轴时，线段的长度最小， ∵， ∴． 平移与旋转 13. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____________． 【答案】（3，2） 【详解】解：设旋转中心为M点． ∵△DEF是由△ABC旋转得到的， ∴M在线段AD的中垂线上， ∵A（1，0），D（1，4）， ∴点M在直线y=2上，即点M的纵坐标为2． 设M（x，2）， ∵M在线段BE的中垂线上， ∴ME=MB， ∵E（1，3），B（2，0）， ∴（x-1）2+（2-3）2=（x-2）2+（2-0）2， 解得x=3． ∴旋转中心M的坐标为（3，2）． 故答案为（3，2）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是(　　) A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5) 【答案】C 【详解】∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，∴A、B的对应点分别是A´、B´． 又∵线段BB´的垂直平分线为x=1，线段AA´是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段BB´与AA´的垂直平分线的交点为（1，﹣1）． 故选C． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______． 【答案】（1，-1） 【详解】解：直线MN的解析式为：x=1， ∵，C'， 所以CC'的中点坐标为，即， 设直线CC′的解析式为：y=kx+b， 由题意：， ∴， ∴直线CC′:， ∵直线EF⊥CC′，且经过CC′中点， 设直线EF的解析式为：， ∴， ∴ ∴直线EF:， 由得， ∴P点坐标为：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，请画出； (2)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出； (3)直接写出以，，为顶点所构成的三角形的面积为______． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）以为顶点所构成的三角形的面积 17. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； (2)连接，，线段和的关系是 ； (3)在图②中画出绕点B顺时针旋转后的； (4)在图②方格纸中存在 个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析；(2)平行且相等；(3)见解析；(4)1 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据平移的性质可得线段和的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）解：如图，即为所求； （4）解：有三种情况， 当为对角线时，图②中画不下； 当为对角线时，如图所示； 当为对角线时，图②中画不下； 故在图②方格纸中存在1个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：1． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，；(2)见解析， 【详解】（1）解：∵．将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的， ∴， 如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 19. 如图，各顶点的坐标分别为，， (1)将向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到，画出平移后的图形，并写出平移后对应顶点的坐标； (2)点A到直线的距离＝____________； (3)将绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析，，，．(2)；(3)见解析 【详解】（1）解：向上平移5个单位，再向右平移2个单位得点对应的顶点坐标为，点对应的顶点坐标为，点对应的顶点坐标为，即得，，． 故平移后的图形如图，对应的顶点坐标为，，． （2）解：如图，过点作的垂线交延长线于，过作轴的平行线交延长线于，得到为点到直线的距离， 点纵坐标与点纵坐标相同， 轴， ，长度为点、横坐标之差的绝对值， ， 令直线的方程为，点坐标为， ，在直线上， 代入方程得，解得，， 直线的方程为， 轴， 点横坐标与点横坐标相同，即， 长度为点、纵坐标之差的绝对值，， 又在直线上， 将代入方程，解得， ， ， 在中，由面积公式得， ， 点到直线的距离为， 故答案为：． （3）解：连接、、将、、分别旋转，得到、、，连接、、得到如图．    20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (3)若在内有一点，将按照（2）的方式旋转之后的对应点为，则的坐标为______． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：即为所求； （2）即为所求； （3）由题意得，P的坐标为 故答案为∶ ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)平移，使得点A的对应点的坐标为，在图中画出（点B的对应点点C的对应点）； (2)将绕原点逆时针旋转得到，在图中画出（点A的对应点，点B的对应点，点C的对应点）； (3)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接则的最小值为__________． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，即为所作： （3）解：作点关于x轴的对称点Q，取点，连接交x轴于点，则， 过点D作的平行线，交轴于点 ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴的最小值为， ∴, 故答案为： 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为 ； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标． 【答案】(1)；(2)图见解析，坐标为 【详解】（1）解：由图可得，的面积． （2）解：如图所示： 由图可得，坐标为； 23. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上． (1)将绕C点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出． (2)将向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到，请在图中画出． (3)若将绕原点O旋转，A的对应点的坐标是________． (4)在y轴上找一点P，使周长最小，点P的坐标为________． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)；(4) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴关于原点对称的点的坐标为， ∴A的对应点的坐标是； （4）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为 24. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移个单位后的图形（注意标上字母）； (2)连接，，线段和的关系是_________； (3)在图②中画出绕点顺时针旋转后的； (4)的面积是_________；在图中存在满足与面积相等的格点（与点不重合）共计有_________个． 【答案】(1)图见解析；(2)平行且相等；(3)图见解析；(4)； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图， 解：根据平移性质：，，即线段和的关系是平行且相等； （3）解：如图，即为所求； （4）解：； 根据平行线间的距离处处相等，过点作的平行线，如图，不与点重合的格点共有个． 中心对称 25. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析，；(2)作图见解析，；(3) 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 26. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）． (1)在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中画，使面积为5； (3)在图3中画，使其中一条对角线长等于3，并求出另一条对角线长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)作图见解析， 【详解】（1）解：如图1中，四边形即为所求作． （2）解：如图2中，四边形即为所求作． （3）解：如图3中，四边形即为所求作．对角线． 另一条对角线的长度为：． 27. 如图，长方形各顶点的坐标分别为、、、，长方形各顶点的坐标分别为、、、．平移长方形得到长方形，且点的坐标为． (1)画出长方形． (2)如果长方形沿的方向平移，至与重合停止，设平移过程中平移的距离为，长方形与长方形重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围为______． (3)画出一条直线把原图长方形与长方形组成的复合图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)见解析；(2)4；；(3)见解析 【详解】（1）解：由题意知，长方形向右平移了四个单位长度，向上平移了四个单位长度得到长方形，作图如下：   ． （2）由题意知，，， 当长方形完全在长方形中时，重合面积最大，为； 当时，长方形完全进入长方形； 当时，长方形开始离开长方形， 所以当时，取最大值为4． 故答案为：4；． （3）画图如下： 28. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的； (2)的面积为________； (3)在所给的网格图中确定一个格点P，使得，画出线段，此时点P的坐标为________． 【答案】(1)见解析；(2)8.5；(3)见解析，点P的坐标为或 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：如图所示，点P的坐标为或． 29. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3) ，C(1,3) ． （1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90的△AB2C2；直接写出点C2的坐标为 ； （3）求在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C所经过的路径长． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，点的坐标为(-2，2)；（3） 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求， 其中点的坐标为． （3）∵，， ∴点所经过的路径长为． 新定义 30. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【答案】(1)函数图象见解析，减小；(2)；(3)或；(4) 【详解】（1）解：函数图象如下： ， 根据图象可得当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （2）解：根据题意可得， 可得， 解得或， ，为该函数图象上不同的两点， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 可得，解得， 或可得，解得， 故答案为：或； （4）解：当时，此时， 可得或， 解得或，即 ， 当时，取最大值为； 当时，此时， 根据上述自变量取值范围，可得此时或， ， 当时，， 当时，， 当或，， 故函数的最大值为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $