山东省济南市市中区育英中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试卷

2025级育英教育集团学科综合能力展示 数学 (2026.05) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1.（4分)下列运算正确的是（) A.2a2.a=2a6 B.(-a2)3=a6 C.a2+a3=a5 D.(-a263)2=a466 图 2.(4分)“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗 启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁 枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m,将数据0.0000084用科学 记数法表示为() 的 的 A.8.4×106 B.8.4X106 C.84X107 D.8.4X105 3.（4分)一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有() A、5个 B.4个 C.3个 D.2 4.(4分)1.如图，数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的内径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图， 的 用图钉将两根吸管AD,BC的中点O固定，只要测得C,D之间的距离，就可知道内径AB的长度.此方案依据 D 的数学定理或基本事实是( ) A.边边边 B.全等三角形的对应角相等 C.边角边 D、三角形的稳定性 总 5.(4分)小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如表： 时间t/min 10 20 30 40 50 垫 水温/℃ 98 55 35 24 22 22 下列说法不正确的是() 效 A. 自变量是时间，因变量是水温 王 B.水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变 觉 C.时间每增加10mn,水温则降低42℃ 冷 D.依据表格中反映出的规律可知：当1=70mm时，水温是22℃ 6,(4分)掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说 法正确的是（ &.出现点数为0是随机事件 郑 A.出现点数为2的概率是 C.出现点数为奇数是不可能事件 D.出现点数为偶数是必然事件 第1页（共6页） 7.(4分)如图，用尺规作图“过点C作CN∥OA”的实质就是作∠NCE=∠DOM,其作图依据是（) E A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 8.(4分)在下列条件中：D∠A什∠B=∠C,②∠A∠B:∠C=1:2:3,③∠A=90°-∠B,④LA=∠B=号 ∠C,⑤∠A=2B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.(4分)如图，在△ABC中，∠B+∠C=a,按图进行翻折，使BD∥CG∥BC,BE∥FG,则∠CFE的度数是() G A B.90°-8 C.-90° D.2a-180° 10.(4分)已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=C点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→ A一B路径运动.同时，点？以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点 随即，停止运动.它们的运动时间为1秒， D ①若x=1,则点P运动路程始终是点2运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到选A点附，x=6: ③若a=90°，t=5,x=1时，PC与P0垂直； ④若运动过程中存在△ACP与△BP2全等，则x+0.8或五 以上说法正确的选项为() A.①③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。) 11.(4分)化简：已知2×2x=211,则x= 12.（4分)一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除 颜色外完全一样)，昆虫停在阴影部分的概率为 第2页（共6页） 13.(4分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点E,若∠B=70°，∠C=30°，DE是△AEC的高，则 ∠AED= ⊙ 14.(4分)端午节三天假期的某一天，小明一家上午8点自驾小汽车从家出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家 的距离S(千米)与离家的时间1（时）的关系如图所示，则小明一家开车回到家的时间是 点 S(千米) 180…- 120 M 810 1415 (时) 15.4分)希望小组的同学在求武子0+ 1 1 1 2元a的值（结果用：和a表示）时遇到了困 1 2a+23a 24a+… 难.经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为a,取BC的中点，则有△ABD 的面积为a,再取AD的中点E,则有△ACB的面积为}a, 1 2 为)之a,再取CE的中点F,则有△DEF的面积为是a,· 11,1, 照此思路持续取下去.就可利用这个图形求得吃a+2立a 23a+ 240+…+ 2na的值= 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16.(8分)计算：（1) （-3)3-号4m-)9 (2) (2x+3)3-(+1)(4x-1): 17.(6分)化简求值：[(x+4y)-（2y+x)(x-2y)]÷（-4y),其中x=1,y=-3. 18.(6分)已知：如图，点A,C,F,D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,AB∥DE, 求证：∠B=∠E 第3页（共6页） 19.(8分)如图所示的是人民公园的一块长为 m (2m+n)米.宽为(m+2n)米的空地.预计在空地 m+2n 上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）. Cm-n (1)请用m、n表示观景台的面积.（结果化为最 2m+n 简) (2)如果修建观景台的费用为200元/平方米，且已知m=5(米)，n=4(米).那么修建观景台需要费用多少元？ 20.(8分)一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共40个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的2 倍多1个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是号 (1)求袋中黄球的个数： (2)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (3)现向袋中放入m个白球，同时套出红球和黄球共m个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为号求m的值。 21.(8分)某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶.快递员小李 骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店， 取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点.如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中 提供的信息回答下列问题： 距出发地距离（米） 派送点 (1)图中自变量是 一一，因变量是 1500 1200 (2)出发地到派送点的路程是 米，小李在便利 900 店停留了 分钟； 600 300 (3)快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 0 2468101214时间（分钟） 22.(10分)为测量一块区域A,B间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达A,B的点 O,连接AO,BO,并分别延长AO至点C,延长BO至点D,使CO=AO,DO=BO,最后测出CD的长即为A, B间的距离。 知识窗 (1)请你说说该方案可行的理由； 如图，若∠1=∠2，则a=b (2)由于在EF处有一堵墙阻挡了路 B B 线，使得无法按照题干的方案测出CD 的长，但在图2中可测得∠EOC= 65°，∠C=80°，∠0EF=145°，CF 图1 图2 =128m,EF=77m,请据此求出A,B间的距离. 23.（12分)《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象 与推理、”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探 究，推理，以解决新的问题。 【建立模型】 (1)如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE, 连接BE,AD交于点F.则△BCE≌ ，判定依据为 BE= ,并直接写出∠ AFB的度数 【应用模型】 (2)如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若B、D E三点共线，求证：EB平分∠AEC; E D B D 图1 图2 图3 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是△ABC外一点，连接AD,BD,CD.当AD= 5,∠BDC=90°时，请直接写出四边形ABDC的面积. 24.（12分)对于任意有理数a,b,c,d我们规定收l-a24-bc (1)已知87，a+b=2,则a-b= 2)对于有理数品》若2y是一个完全平方式，则—： (3)对于有理数x,若2=18,3x+y 2x2+3y21 3 =204. x-3y (i)求y的值： (ii)将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点E在边CD上，连接BD,BF.若a=2x, b=y,图中阴影部分的面积为174，求n的值. 20 nb 25.(12分)育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究。 (1)初步探究：如图1，小华绘制的△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：△ADC≌△CEB; D M D N B 图1 图2 图3 (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个△ABC,AB=AC,∠BAC=90°，AC上取一点D,连接BD,线段 BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BD',连接CD'交直线AB于G.小丽说点G必为线段CD'的中点。 你同意她的观点吗？请说明理由。 (3)思维发散：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一 锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图3，边DE与线段AC交于 点P,连接BP。试运用所学全等三角形的知识说明△BDP是等腰直角三角形. 第6页（共6页）2025级育英教育集团学科综合能力展示数学参考答案 20250506 一.选择题 1-5 DBCCC 6-10 AACDB 二.填空题 11.10.12. -}-·13.0°14.17·15.a- 三.解答题 16.(10原式=-27-+27+1-是 (2)原式=4x2+12x+9-(4x2-x+4x-1)=4x2+12x+9-4x2-3x+1=9x+10: 17.解：[(x+4y)2-(2+x)(x-2y)]÷(-4y) =(x2+80y+16y2-x2+4y2)÷(-4y) =(8xy+20y2)÷(-4y) =-2x-5y, 当x=1,y=-3时，原式=-2×1-5×（-3)=13： 18.证明：，AF=DC, ∴.AF-FC=DC-FC, ∴.AC=DF, .AB∥DE, .∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， (AB=DE ∠A=∠D, AC=DF ∴.△ABC≌△DEF(SAS), .∠B=∠E 19.解：(1)阴影部分的面积为： (2m+n)(m+2n)-mn-(m-n)2-(2m+n)(m-n) =2m2+4mn+m+2n2-mn-(m2-2mn+n2)-(2m2-2mn+mn-n2) =2m2+4mn+mn+2n2-mn -m2+2mn -n2-2m2+2mn -mn+n2 =-m2+7mt2n2; 第1页（共6页） 答：观景台的面积为(-m2+7mn+2n2)平方米： (2)当m=5,n=4时， 原式=-25+7×5×4+2×16 =147(平方米)， 200×147=29400(元) 答：修建观景台需要费用为29400元. 20.解：(1)根据题意得： 40×3=24(个). 5 答：袋中黄球有24个： (2)设红球有x个，则白球有(2+1)个， 根据题意得x+2x+1=40-24, 解得x=5. 所以从袋中摸出一个球是红球的概率为5=1； 408 (3)向袋中放入m个白球，同时拿出红球和黄球共m个， ∴.球的总数没有变化，白球共有2×5+1+m=11+m(个). 根据题意得，11+地=2 405 解得，m=5. 21.解：(1)图中自变量是时间，因变量是距出发地距离： 故答案为：时间，距出发地距离； (2)出发地到派送点的路程是1500米，小李在便利店停留了4分钟； 故答案为：1500,4： (3)由图象可知，当1=6时，距离派送点300米， 当12<1≤14时，速度为(1500-600)÷(14-12)=450（米/分钟）， 14-90÷450=13时（分钟. 所以快递员小李出发6分钟或13分钟，距离派送点300米. 3 22.解：(1)如图1，在△AB0和△CD0中， B0=D0 ∠A0B=∠COD, A0=C0 第2页（共6页） .∴.△ABO≌△CDO(SAS), ..AB=CD, .该方案可行； (2)如图2，延长CF,OE交于D, ,∠0EF=145°， ∴.∠DEF=180°-∠OEF=35°， .∠C0E=65°，∠C=80°， ∴.∠D=180°-∠COE-∠C=35°， ∴∠D=∠DEF, ∴.DF=EF=77m, ∴.CD=DF+CF=205(m), 由(1)知AB=CD=205m, .A,B之间的距离为205m. 23.(1)△ACD SAS AD60° (2),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, ∴.AD=AE,∠DAE=60°， .∠ADE=∠AED=60°， .∠ADB=120°， ,△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE, ∴.∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), .∠ADB=∠AEC=120°， .∠BEC=60°， ∴.∠AEB=∠BEC, ∴.EB平分∠AEC: (3)12.5. 第3页（共6页） 24.(1)3 (2)k=±2： (3)(i)(3x+y)2+(x-3y)2-3(2x2+3y2) =9x2+6wy+y2+x2-6y49y2-6x2-9y2 =4x2+2 =204, 4y=(2+y)2-(4x2+2)=120, 解得y=30: (园ni+的-202-0an的=14， na2+nb2-ab=348, 4nx2+y2-2xy=348, n(2x+y)2-4y-2y=348, 324n-120n-60=348, 解得n=2. 故n的值为2. 25.(1)解：AD⊥CE于D,BE⊥CE于E, ∴.∠ADC=∠BEC=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, 又.AC=BC, 在△ADC和△CEB中， I∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB, AC=CB ∴.△ADC≌△CEB(AAS): (2)同意.理由如下： 过点D'作D'E⊥AB,于点E, 第4页（共6页） A G D 图1 .∠D'EB=∠BAD=90°，∠D'BE+∠BD'E=90°· ,∠DBD'=90°， ∴.∠ABDH∠D'BE=90°， ∴.∠BD'E=∠ABD 在△ABD和△ED'B中， (∠ABD=∠ED'B ∠BAD=∠D'EB, BD=BD ∴.△ABD≌△ED'B(AAS), ∴.D'E=AB=AC ,∠A=∠D'EG,∠D'GE=∠AGC, ∴.△AGC≌△D'GE(AAS), ∴.CG=D'G,点G为线段CD'的中点。 (3)证明：如图1，过点D作DF⊥MN,交AB于点F, MD 图1 则△ADF为等腰直角三角形， ∴.DA=DF ,∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°， .∠1=∠2 在△BDF与△PDA中， (∠1=∠2 DF=DA ∠DFB=∠DAP=135° ∴.△BDF≌△PDA(ASA), :∠DBD'=90°· 第5页（共6页） 又∠BDE=90 ∴.△BDP为等腰直角三角形 第6页（共6页）