精品解析：北京师范大学实验华夏女子中学2025—2026学年度第二学期学业评价初二数学试题

北京师范大学实验华夏女子中学 2025—2026学年度第二学期学业评价 初二数学试题 注意事项 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间100分钟． 2在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分（100分） 一、单项选择题：本大题共10小题．每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母． 【详解】解：A选项、的被开方数5是不能开得尽方的整数，满足条件，是最简二次根式； B选项、，被开方数4是能开得尽方的数，不是最简二次根式； C选项、，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D选项、，被开方数是能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 2. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确计算是解题的关键． 根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得． 【详解】A：，而非，故本选项不符合题意； B：在实数范围内，负数没有平方根，和无意义，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，而非，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】找出每组中最长边，计算两条短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则能组成直角三角形，由此判断选项即可． 【详解】解：对于A选项，最长边，， ∴ 不能组成直角三角形，不符合题意； 对于B选项，最长边，，， 满足，能组成直角三角形，符合题意； 对于C选项，最长边，， 不能组成直角三角形，不符合题意； 对于D选项，最长边，， 不能组成直角三角形，不符合题意． 4. 如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　） A. 110° B. 35° C. 70° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝110°， ∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键． 5. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； 故选：C． 6. 以下关于直线的说法正确的是( ) A. 直线与x轴的交点的坐标为（0，－4） B. 坐标为（3，3）的点不在直线上 C. 直线不经过第四象限 D. 函数的值随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出结论A错误，把（3，3）代入函数解析式可得结论B正确；利用一次函数图象与系数的关系可得出结论C错误；利用一次函数的性质可得出结论D错误． 【详解】解：A、当y=0时，2x-4=0，解得：x=2， ∴直线y=2x-4与x轴的交点的坐标为（2，0），选项A不符合题意； B、当x=3时，y=2x-4=2， ∴坐标为（3，3）的点不在直线y=2x-4上，选项B符合题意； C、∵k=2＞0，b=-4＜0， ∴直线y=2x-4经过第一、三、四象限，选项C不符合题意； D、∵k=2＞0， ∴函数y=2x-4的值随x的增大而增大，选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，逐一判定四个选项的正误是解题的关键． 7. 已知为数轴原点，如图， （1）在数轴上截取线段； （2）过点作直线垂直于； （3）在直线上截取线段； （4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点. 根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求得，进而得，再判断结论的正误． 【详解】根据题意得，， ， 故正确； ， ， ∵， ∴， 正确，错误； ， 故错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得． 8. 某学校组织趣味运动会，小明和小亮两人报名参加了“运球往返跑”比赛，即：两人同时出发，每人用羽毛球拍托着球跑完规定的路程，若途中球不慎掉落，须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．其中，距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．如图表示两人比赛过程中y与x的函数关系的图象，以下推断正确的是（　　） A. 运球往返跑的总路程是50米 B. 小亮比小明往返全程所用的时间少3秒 C. 返回时小明与小亮平均速度的比是3：4 D. 小明去时所用时间与返回时间相差7秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中的数据解答即可． 【详解】解：A．由图可知，运球往返的总路程为30+30=60（米），故A错误； B．由图知，小亮往返全程所用时间为40秒，小明往返全程所用时间为37秒，所以小亮比小明往返全程所用的时间多3秒，故B错误； C．小亮返回的速度为30÷（40-20）=1.5（米/秒），小明返会的速度为30÷（37-22）=2（米/秒），所以返回时小明与小亮平均速度的比是2：1.5=4：3，故C错误； D．小明去时所用时间为22秒，返回时间为37-22=15秒，所以小明去时所用时间与返回时间相差7秒，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取有效信息解决问题是解答的关键． 9. 已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意和，即可得到答案. 【详解】①当，、的图象都经过一、二、三象限 ②当，、的图象都经过二、三、四象限 ③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限 ④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有A. 故选A. 【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质. 10. 如图1，数轴上点表示数0，点表示数1，线段（不含端点）上的动点表示实数，则；如图2，将线段围成一个圆，使两端点，恰好重合（从到是逆时针方向）；如图3，再将这个圆平移到平面直角坐标系中，使其圆心落在轴上，点的坐标为．直线与轴交于点，则是关于的函数．下列说法中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，随的增大而增大 C. 是的一次函数 D. 存在，使得当和时，函数值相等 【答案】B 【解析】 【分析】当时，点恰好是线段的中点，此时点在轴上，即可判断A选项；分三种情况：、、，分别判断函数关于的增减性，即可判断B选项；假设是的一次函数，则（是常数），根据一次函数的增减性得到，进而推出矛盾，即可判断C选项；根据函数的增减性即可判断D选项． 【详解】解：当时，点恰好是线段的中点， 由题意得，此时点在轴上， ∴直线与轴交于点， ∴，故A选项错误； 当时，随着的增大，直线与轴的夹角越来越小， ∵直线与轴交于点， ∴随的增大而增大，且， 当时，； 当时，随着的增大，直线与轴的夹角越来越大， ∵直线与轴交于点， ∴随的增大而增大，且， ∴当时，随的增大而增大，故B选项正确； 假设是的一次函数，则（是常数）， 当时，；当时，； ∵随的增大而增大，且， ∴， 由图象可知，存在使得当时，或， 此时与矛盾， ∴不是的一次函数，故C选项错误； ∵当时，随的增大而增大， ∴不存在，使得当和时，函数值相等，故D选项错误． 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 已知直线经过点，当时，有，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质可得，解不等式即可得解． 【详解】解：∵直线经过点，当时，有， ∴，解得． 13. 如图，在中，，，作于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的特征，平行线的性质，根据平行四边形的性质得到；，再根据勾股定理求出最后结果． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ； 四边形是平行四边形，， ， ， 在中，， 故答案为：． 14. 春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为1.5米，然后测得他与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． （1）风筝的垂直高度______米； （2）如果小明想让风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线______米． 【答案】 ①. 21.5 ②. 8 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，过B作于D， 由题意得：，米，米，米， （米）， （米）； 设风筝沿方向下降12米至点M，连接， 米， （米）， （米）， （米）， 即：他应该往回收线8米． 15. 如图，已知四边形满足，，、分别为和的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据平行线的性质证明，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，则， ∵为的中点， ∴， ，， 同理可得：， ，， ∴， 即， ∵， ∴， ． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 17. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论中正确的是______（只填写序号）． ①，；②当时，；③；④． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①因为正比例函数经过一、三象限， 所以， 一次函数经过一、二、四象限，所以，故①错误； ②由图像可得，当时，，故②正确； ③正比例函数与一次函数的图象交于点， 则，则，故③正确； ④由③可知，， ∴， ∴， 对于正比例函数，当时，，不能判断与3的大小关系，故④错误； 综上所述，正确的是②③． 18. 如图，中，，，为边上一动点，为平面内一点，则以点、、、为顶点的平行四边形有______个，的最小值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】①根据平行四边形的判定可得结论；②以为对角线的平行四边形为，此时，故当时，最小，即最小，设、相交于O，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，再利用三角形的面积相等可求得的最小值． 【详解】解：如图， 以为边的平行四边形为，，此时， 以为对角线的平行四边形为，此时，故当时，最小，即最小， 如图，设、相交于O，则， ∵，， ∴，， ∴， 由得， ∵， ∴的最小值为， 故以点、、、为顶点的平行四边形有3个，的最小值为． 三、解答题（共54分，19题10分，20题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题5分，25题9分，） 19. 计算求值： （1） （2） （3）已知，，求的值 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质、二次根式的乘除法运算法则计算，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法公式，零指数幂和绝对值运算法则进行运算，再进行加减运算即可； （3）先求得，，再利用完全平方公式得到，进而代值求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ， ∴． 20. 以下是某同学设计的“利用已知矩形作一个内角为的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：，使． 作法如下： ①作的角平分线，交于点； ②以为圆心，以______（图中已有线段）的长为半径画弧，与的延长线相交于点；连接，则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请补充完整以上作图步骤； （2）请在图中完成作图； （3）作出的四边形为平行四边形的依据是：______； （4）若，，则的周长是______． 【答案】（1） （2） 如图，平行四边形即为所求； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及平行四边形的判定即可填写； （2）根据题意作图即可； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行求解即可； （4）先得到为等腰直角三角形，再由定理求解，然后即可求解周长． 【小问1详解】 解：作法如下： ①作的角平分线，交于点； ②以为圆心，以（图中已有线段）的长为半径画弧，与的延长线相交于点；连接，则四边形即为所求作的平行四边形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形； 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出该函数图象； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 令，则， 描点，连线，该函数图象如下； （3） （4）且． 【解析】 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）描点，连线，画出该函数图象即可； （3）求得时，；时，，据此求解即可． （4）结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：一次函数的图象是由的图象平移得到， ， 把点代入可得， 解得， 所以一次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴当时， 的取值范围为； 【小问4详解】 解：设， 当时，， 把代入，可得，解得， 当时，对于的每一个值都有， 即当时，对于的每一个值都有， 结合图象可得且． 22. 如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，如果，，求的长 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ， ． ． 四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再证明．则．即可证明四边形是平行四边形； （2）证明是直角三角形，，可证明四边形是矩形，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ． 是直角三角形，． 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 23. 如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： （1）______的函数（填“是”或“不是”） （2）在中，，，则______； （3）在中，，，则______； （4）在中，，，则______； （5）如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； （6）如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 【答案】（1）是 （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （5）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （6）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应， ∴是的函数； 【小问2详解】 解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，，， ∴，， ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴； 【小问5详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； 【小问6详解】 解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 【答案】（1） 补全的函数图象如图： （2） （3）①4，② 【解析】 【分析】该题考查了正比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与是正比例函数，设与的关系式为，根据待定系数法求解即可； （3）①将代入求解即可； ②根据图象可得当，与是正比例函数，求出；设需要挪动的物体质量约为，则，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①将时，， 即这些重物的质量为； ②根据图象可得当，与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 设需要挪动的物体质量约为， 则， 解得：． 25. 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接． （1）根据题意补全图形，并求证：； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． （3）若，请直接写出线段的取值范围是______． 【答案】（1） 补全图形如图， 证明：连接， ∵，关于对称． ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴．， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ． ∴， ∴； （2）， 证明：在上取点使得，连接． ∵四边形是正方形． ∴，． ∵， ∴． 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， 在中，，． ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，根据对称的性质可得，．证明，根据全等三角形的性质得到．进而利用证明，即可得到； （2）在上取点使得，连接．证明，根据等腰直角三角形的性质即可得到线段与的数量关系； （3）点与点、点重合，有最大值为3，当时，有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点与点重合时，此时点与点、点重合，有最大值为3， 当时，有最小值， ∵， ∴共线， ∴， ∴线段的取值范围是． 第二部分（10分） 26. 先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值______； （3）解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【小问1详解】 解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 平面直角坐标系中，菱形的四个顶点坐标分别为：，，，，其中，，P、Q是这个菱形外两点，且． 给出如下定义：记线段的中点为T，平移线段得到线段（其中，分别是点P，Q的对应点），记线段的中点为．若点和分别落在菱形的一组邻边上，或线段与菱形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到菱形的“最佳距离”，称此时的点为线段到菱形的“最佳点”． （1）如图1，平移线段，得到菱形内两条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为______；若、分别为和的中点，则点______（填或）为线段到菱形的“最佳点”； （2）如图2，若，，且点P、Q都在直线上，则“最佳点”的坐标是______； （3）如图3，若，则菱形为正方形，线段的中点T的坐标为，记线段到正方形的“最佳距离”， ①直接写出的最小值：______； ②如果所有符合题意的线段到菱形的“最佳点”组成的图形为W，直接写出W的周长为______． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意结合图象即可得出结果； （2）根据“最佳距离”和“最佳点”的定义，结合菱形的性质，一次函数，解直角三角形即可得出结果； （3）①根据“最佳距离”的定义，结合函数图象，利用两点间的距离公式即可得解； ②先根据题意在图中画出所有符合条件的T点，再利用等腰直角三角形的性质，勾股定理及正方形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，线段在平移的过程中，线段长度未发生变化， 根据平移的性质可知，， 即这两条线段的位置关系为， 如图，连接，， ∵点位于x轴下方，点和点T位于x轴上方， ∴， 由题意可知，点为线段到菱形的“最佳点”． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，，， ∴易证得四边形为菱形， ∵点P、Q都在直线上， 要使线段的中点到菱形存在“最佳点”，即线段中点到平移后的线段中点存在最小值， ∴当点A为中点时，在平移过程中会存在“最佳点”， 如图，将向右平移得到，使得点在上，点在上，则点为中点，即“最佳点”， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 由直线可知， 令，，则，即， 令，，解得，则，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，则， 过点作交于点K， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线， ∴，解得， ∴， ∴中点，即“最佳点”的坐标是． 【小问3详解】 解：①∵， ∴，，，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是边长为1的正方形， ∵点是线段的中点， 由题意可得，如图，由垂线段最短知，距离点T最近的“最佳点”位于线段的中点， 此时，线段在平移的过程中与线段互相重合，符合题意， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 即的最小值为； ②由题意知，如图，所有符合题意的线段到菱形的“最佳点”有，,O，, ∴组成的图形W为四边形， ∵，，， ∴， 过点作交于点M，过点作交于点N， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴, 在中，， 同理可得：， ∴四边形的周长为， 即W的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学实验华夏女子中学 2025—2026学年度第二学期学业评价 初二数学试题 注意事项 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间100分钟． 2在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分（100分） 一、单项选择题：本大题共10小题．每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　） A. 110° B. 35° C. 70° D. 55° 5. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 以下关于直线的说法正确的是( ) A. 直线与x轴的交点的坐标为（0，－4） B. 坐标为（3，3）的点不在直线上 C. 直线不经过第四象限 D. 函数的值随x的增大而减小 7. 已知为数轴原点，如图， （1）在数轴上截取线段； （2）过点作直线垂直于； （3）在直线上截取线段； （4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点. 根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 8. 某学校组织趣味运动会，小明和小亮两人报名参加了“运球往返跑”比赛，即：两人同时出发，每人用羽毛球拍托着球跑完规定的路程，若途中球不慎掉落，须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．其中，距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．如图表示两人比赛过程中y与x的函数关系的图象，以下推断正确的是（　　） A. 运球往返跑的总路程是50米 B. 小亮比小明往返全程所用的时间少3秒 C. 返回时小明与小亮平均速度的比是3：4 D. 小明去时所用时间与返回时间相差7秒 9. 已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图1，数轴上点表示数0，点表示数1，线段（不含端点）上的动点表示实数，则；如图2，将线段围成一个圆，使两端点，恰好重合（从到是逆时针方向）；如图3，再将这个圆平移到平面直角坐标系中，使其圆心落在轴上，点的坐标为．直线与轴交于点，则是关于的函数．下列说法中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，随的增大而增大 C. 是的一次函数 D. 存在，使得当和时，函数值相等 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知直线经过点，当时，有，则的取值范围是_____________． 13. 如图，在中，，，作于，则______． 14. 春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为1.5米，然后测得他与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． （1）风筝的垂直高度______米； （2）如果小明想让风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线______米． 15. 如图，已知四边形满足，，、分别为和的中点，则______． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 17. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论中正确的是______（只填写序号）． ①，；②当时，；③；④． 18. 如图，中，，，为边上一动点，为平面内一点，则以点、、、为顶点的平行四边形有______个，的最小值为______． 三、解答题（共54分，19题10分，20题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题5分，25题9分，） 19. 计算求值： （1） （2） （3）已知，，求的值 20. 以下是某同学设计的“利用已知矩形作一个内角为的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：，使． 作法如下： ①作的角平分线，交于点； ②以为圆心，以______（图中已有线段）的长为半径画弧，与的延长线相交于点；连接，则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请补充完整以上作图步骤； （2）请在图中完成作图； （3）作出的四边形为平行四边形的依据是：______； （4）若，，则的周长是______． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出该函数图象； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，如果，，求的长 23. 如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： （1）______的函数（填“是”或“不是”） （2）在中，，，则______； （3）在中，，，则______； （4）在中，，，则______； （5）如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； （6）如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 24. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 25. 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接． （1）根据题意补全图形，并求证：； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． （3）若，请直接写出线段的取值范围是______． 第二部分（10分） 26. 先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值______； （3）解决问题：已知正数满足，则的值为______． 27. 平面直角坐标系中，菱形的四个顶点坐标分别为：，，，，其中，，P、Q是这个菱形外两点，且． 给出如下定义：记线段的中点为T，平移线段得到线段（其中，分别是点P，Q的对应点），记线段的中点为．若点和分别落在菱形的一组邻边上，或线段与菱形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到菱形的“最佳距离”，称此时的点为线段到菱形的“最佳点”． （1）如图1，平移线段，得到菱形内两条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为______；若、分别为和的中点，则点______（填或）为线段到菱形的“最佳点”； （2）如图2，若，，且点P、Q都在直线上，则“最佳点”的坐标是______； （3）如图3，若，则菱形为正方形，线段的中点T的坐标为，记线段到正方形的“最佳距离”， ①直接写出的最小值：______； ②如果所有符合题意的线段到菱形的“最佳点”组成的图形为W，直接写出W的周长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $