精品解析：甘肃张掖市第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高一下学期期中考试试卷 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，即， 则. 2. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 【答案】D 【解析】 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于，， 所以，解得， 所以，，则， 所以. 故选：A. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影数量为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一个向量在另一个向量上的投影数量公式求解即可. 【详解】因为，且， 由向量投影的定义，向量在向量上的投影数量为：. 5. 已知，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，解得， 所以. 6. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A. 平均数为15，标准差为10 B. 平均数为15，标准差为50 C. 平均数为17，标准差为10 D. 平均数为17，标准差为50 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 8. 如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. 的共轭复数 B. C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简，再计算即可； 【详解】 选项A：，故正确； 选项B：，故正确； 选项C：，实部为，虚部为，故错误； 选项D：在复平面对应坐标为，在第四象限，故正确； 故选:ABD 10. 下面的命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 方向相反的两个非零向量一定共线 C. 若满足且与同向，则 D. “若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，若，不一定平行，故A错； 对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且， 故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可得，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确 故选：BD 11. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 【答案】 【解析】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 13. 在中，点，满足，．若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，由此能求出结果． 【详解】解：在中，点，满足，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题． 14. 若，则_____. 【答案】## 【解析】 【详解】. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由三点共线求解即可； （2）求出与的坐标，由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由已知得， 因为三点共线， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以； 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？ 【答案】（1）； （2）众数、平均数分别为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质直接求解即可； （2）利用频率分布直方图的性质，直接求解众数和平均数即可； （3）先求出三组数据的频数，然后利用分层抽样的性质直接求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为， 可得，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得众数等于最高小矩形中点横坐标； 样本平均数为. 即样本成绩的众数为，平均数为. 【小问3详解】 先计算三组数据的频数： 对于：，：， 又：， 三组频数比为，抽取个样本时， 则的抽取个数为：. 即成绩在分的应抽取份. 17. 如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解； （2）利用面积方法和三角形的面积公式计算. 【小问1详解】 由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. 【小问2详解】 因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 18. 若，，且，． （1）求和； （2）求及． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解； （2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，，所以， 所以； 【小问2详解】 ， 又，所以. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. （1）求； （2）若，求锐角的周长的取值范围. 【答案】（1）选①②③，答案均为 （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由正弦定理得到，利用余弦定理得到；选②，利用恒等变换得到，结合，求出；选③，由正弦定理和三角恒等变换得到，求出答案； （2）由正弦定理得到，变形得到的周长，利用是锐角三角形，所以，结合正弦曲线求出取值范围. 【小问1详解】 选①，由， 可得， 因为及正弦定理，可得， 所以，整理得， 则，因为，所以； 选②，由，可得， 即， 因为，可得，所以，即； 选③，由，由正弦定理得， 即， 即， 整理得， 因为，可得， 即，因为，所以. 【小问2详解】 由，可得， 故， 所以周长， 又由，可得， ， 又因为是锐角三角形，所以， 即，解得， 可得，所以， 所以， 所以的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中考试试卷 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 10 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影数量为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A. 平均数为15，标准差为10 B. 平均数为15，标准差为50 C. 平均数为17，标准差为10 D. 平均数为17，标准差为50 7. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. 的共轭复数 B. C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 10. 下面的命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 方向相反的两个非零向量一定共线 C. 若满足且与同向，则 D. “若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 11. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 13. 在中，点，满足，．若，则________. 14. 若，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？ 17. 如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，设为三角形的角平分线，求的长. 18. 若，，且，． （1）求和； （2）求及． 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. （1）求； （2）若，求锐角的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $