甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷以统计与几何应用为核心，通过随机抽样（第4题）、解三角形（第8题）等问题，体现用数学眼光观察现实、数学思维分析问题的素养，注重基础与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（第1题百分位数）、向量（第3题共线）|基础概念辨析，如第6题结合面积判断三角形形状| |多选题|3/18|向量（第9题垂直与夹角）、三角变换（第10题化简）|多维度能力考查，如第11题综合正弦定理与外接圆| |填空题|3/15|向量模长（第12题）、三角求值（第13题）|简洁考查核心公式应用| |解答题|5/77|统计（第16题频率分布直方图）、解三角形（第19题周长范围）|情境化综合设计，如第16题通过竞赛成绩分析考查数据处理，第19题结合锐角三角形求周长范围，体现逻辑推理与数学建模|

民乐一中2025—2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 4．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 5．已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 8．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（ ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为-5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 10．下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 11．记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C．的外接圆的周长为 D．为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 13．已知，则______． 14．在中，，，面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，是平面内两个不共线的向量，，，. (1)若A，C，D三点共线，求实数m的值； (2)若，，是钝角，求实数m的取值范围. 16．某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩整理后，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)估计这次竞赛成绩的平均分（各组数据以该组区间的中点值作代表）； (3)若该中学计划奖励竞赛成绩前15%的学生，求获得奖励的学生竞赛成绩的最低分． 17．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 18．若，，且，． (1)求和； (2)求及． 19．已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围 民乐一中2025—2026学年第二学期高一年级期中考试·数学试卷·共4页·第1页 学科网（北京）股份有限公司 $民乐一中2025-2026学年第二学期高一期中考试数学参考答案 题号 2 3 4 6 6 8 9 10 答案 0 C A B C D BC BCD 题号 11 答案BC 12.5 【详解】la+=va2+2ā6+万=，4+2×2x3x2+9=5 6 【详解】因为tan π 1+tand=3, 1-tana 所以tana=2' 2tana 所以tan2a= 24 1tan&113 4 14.5 【详解】由余弦定理可得：22=b2+c2-2 bccos=b2+c2-bc, 3 b2+c2≥2bc,.4=b2+c2-bc≥bc :bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立， S.be sin be 即ABC面积的最大值为√5 2 4 15.(3 ②a>子且m=川 【详解】(1)AC=AB+BC=4e+e,,CD=2e1+me, 若A,C,D三点共线，即AC,CD共线， 即存在实数t使得AC=tCD成立， 即4e+g=t2e+me),即(4-21)g+(1-tm)g,=0, 则 4-2t=0 -m=0所以1=2，m=2 (2)∠ABD是钝角，则BA·BD<0,且BA与BD不共线， 又e=(2,0),e2=(1,2,∴.BA=(-4,-4,BD=(m+9,2m-2) 即18D=-12m-28<0,即m>子 又BA与BD不共线，即m≠11， 综上，>号且 答案第1页，共2页 16.(1)0.012 (2)76.2分 (3)89分 【详解】(1)根据频率分布直方图的性质，可得(a+0.018+0.028+0.030+a)×10=1, 可得10(2a+0.076)=1,解得a=0.012 (2)由(1)知a=0.012, 由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： x=(55×0.012+65×0.018+75×0.028+85×0.03+95×0.012×10=76.2, 所以估计这次竞赛成绩的平均分76.2分 (3)由题意知，前15%的学生对应的频率为0.15， 因为[90,100]的频率为0.12，[80,90)的频率为0.3， 所以前15%的学生的成绩位于[80,90)之间， 设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为X,则x=90-0.15-0.12×10=89, 0.3 所以获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为89分： 1.号 (22v3 3 【详解】(1)因为a cos B=4cosA, 由余弦定理得ax+c2-b=4xP+c2-g 2ac 2bc 即axg+9-4 4x4+9-a2 解得a=√7， 2×3a 2×2×3 所以cosA= b2+c2-a24+9-71 2bc 2×2x32’ 又4(0，到，所以4=号 1 (2)将4=子，a=万代入ueo0sB=4eos4得cosB= 2=2， 4× √ 7 因为点D是线段BC上靠近点B的三等分点， 所以BD=BC=7 1 3 在△ABD中，AD2=BD2+AB2-2 BD.AB-co0sB=7+9-2X5×3 2√752 -×3× 9 3 79 所以AD=23 3 答案第1页，共2页 A B 18.(①sin2a= 5.cos(B-a)-_3/10 10 ②)cs(a+B)= 2,a+B=7π 4 【详解】(1)因为a∈ ππ 所以2ae[ 45 所以sin2a=V1-cos22a=,1- V55 又，a[引，m-a>u所-a昏 11310 所以cos(B-a=-V-sim2(B-a=V-10=-10 (2)cosa+B)=cos[2a+(B-a)】=cos2acos(β-a)-sin2asin(β-a) -25x3o-5x0.2 5 10 5102 又a+Be经，2小，所以a+B= 7π 19.01=月 (2)5+V万 (3)1+V5,3] 【详解】(1)在ABC中，因为2 acosA=ccosB+bcosC, 所以2 sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC,即2 sinAcosA=sinC+B=sin元-A)=sinA, 因为4e(0,,所以in4>0,故csA= 2，则A= 3 2)因为ABc的面积为号，即，bcsn1xxcx咖3小 1 2 32 所以bc=6 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=b2+c2-bc=(b+c2-3bc=25-18=7. 解得a=√7，所以ABC周长为5+√7 答案第1页，共2页 b e=a-1-23 (3)由正弦定理得sinB sinc sin.4 sim73,即b=2 2 -sinB,c= 3 3-sinC, 3 则b+c=23 3 sinB+sin 6/: 医为4C为锐角三角形，则0<B<受0<C-否-B< 2 B< 2 所以号<8+君冬则副9 a+b+c=1+2sinB+e(+3,3], 6 故ABC周长的取值范围为1+√3,3]. 答案第1页，共2页