数学（河南卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学模拟卷以氮化镓芯片、汽车盲区安全等真实情境为载体，融合《梦溪笔谈》文化素材，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面考查数与代数、图形与几何、统计与概率知识，注重数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|绝对值、图形对称、科学记数法等|结合数轴、菱形折叠考查几何直观| |填空题|5/15|方差稳定性、会圆术、规律探究|以《梦溪笔谈》会圆术体现文化传承| |解答题|8/75|汽车盲区实践、二次函数、几何旋转证明|21题汽车盲区问题融合应用意识，23题旋转探究发展推理能力|

: 2026年中考考前最后一卷 o 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 斯 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) : 1.如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是() : A B C D 4-3-2-101234→ 尽 A.点A B.点B C.点C D.点D 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() O 3.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 1.024×10-7m,则1.024×107这个数对应的原数是（) : A.0.0000001024B.0.000001024 C.10240000 D.1024000 拟 4.如图，△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置.如果∠ECD=30°，那么∠ACE等于() : : : A.70° B.50° C.40° D.30° 5.一元二次方程x(x-1)=2x的根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 6.如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点，若AB=8,EF=3,则线段CE的长为 试题第1页（共6页） 可学科网·学易金卷做概费：限是鲁普 F () A.7 B.5 C.2 D.√34 7.计算41 m2-41m-2 的结果等于( A.-1 B.2-m m+2 D.-1 -2 8.小颖在一副扑克牌中选出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出两张 牌，抽出的两张牌刚好是红桃和方片的概率是() A. c. o 6 9.如图，在菱形纸片ABCD中，∠C=45°，点M、N分别在边AD、AB上，将纸片沿着直线MN折叠， 使点A的对应点A与点B重合，若AM=3√5，则DM的长为() D M A B(A) A.6-3√2 B.2√2 C.2 D.1 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,D是线段BC上一点（不与端点重合）， 且∠ADB=2∠B,则BD+AD=() A.V40 B.8 C.10 D.12 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） B D 11.若√1-3x在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 (写一个即可) 12.甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示.已知两人10次投掷的平 均成绩相同.甲、乙两人中成绩稳定性更好的是」 18m 18m 29 12m 13.按一定规律排列的代数式：5x,10x2,15x2,20x4,25x,.,则第n个代数式是 14.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是 以O为圆心，OA长为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CDLAB,“会圆术"给出AB的长I的 近似值5的计算公式：5=AB+CD,当O4=2,40B=90°时，11-s昨 (结果保留兀) OA 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做好德：限是鲁” D B 15.如图，已知点C(4,0),点D(04),直线CD与反比例函数y=二的图象交于A,B两点，若 BC 1 则k= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(10分)计算： (1)V3×12+(-2)-(元-2026)° (2)化简： x+1 x+2 x2+4x+4 17.(8分)某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的 选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数）， 并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息 a.学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： 分值个 10 32 012345678910学生 ·一甲 -。-乙 b.学生对课程丙的满意度评分：7,8,6,4,5,9，x,6,10,9 c. 三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 6.6 试题第3页（共6页） 乙 7.3 L : O 丙 7.3 7.5 : : 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为： : (2)表中的值为_一，信息b中x的值为 (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数 : 据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数， 平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分 : 别相等，则中位数较大者学生更加满意.按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是，最低 张 的是 （填“甲"“乙”或“丙”). 18.(9分)如图.平行四边形AOBC的顶点为网格线的交点，反比例函数 VA 加 y=(:>0)的图象过格点A,点B. (1)求反比例函数的解析式： 数 游 (2)在图中用直尺和2B铅笔画出△ABC沿CO所在直线平移，使得点C与点 B O重合，得到△A'B'O(不写画法). O ①点A,点B一（填“是”或“不是"）都在反比例函数图象上： S ②四边形A'B'BA是一（特殊四边形），它的面积等于一· O : 19.(9分)如图，AB为OO的直径，点C是AB上方的OO上一点，AB=10,AC=6, (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在AB下方的⊙O上确定一点D,使 AD=BD(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)中得到的图形中，连接CD,求∠ACD的度数和CD的长. B 20.(9分)体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其 O 中足球、篮球也是主要考查对象.为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种 方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个， (1)求足球、篮球的单价： (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不 ≈ 超过篮球数量的子，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 21.(10分)请根据以下素材，完成探究任务： : O 试题第4页（共6页） : : 【汽车盲区与行车安全实践】 o 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体 可见局域 遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时， 车头盲区 车尾盲区 素材一 若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事 可见局域 故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似 看作矩形)，以及两侧后视镜的可见区域. 图1 如图2，若司机视线高度AB=1.5m,车前盖最高处与地 4 面距离CD=1m,驾驶员与车头水平距离BE=2m,车前 o 素材二 盖最高处与车头水平距离DE=0.5m,点M在EF上， M ED B M=0.8n. 图2 % : 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟 随一辆速度为90km/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急 刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一 车尾盲区 心色⑤ 素材三 个1.2秒的反应时间.己知小汽车从开始刹车到完全停住 -5m-→ 的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑 图3 行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩 O O 形区域. 问题解决 (1)①如图2，求车头盲区EF的长度； 任务一 ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； (2)如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 米的距离，才不会闯入小 : 任务二 : 汽车的车尾盲区. O 22. (10分)已知二次函数y=(x-1)2. ·: : (1)完成下表： 3 (2)根据（1)所列的表，描点(5个点)，在下面网格中画出抛物线y=(x-1)的图象. O : : 试题第5页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做赶费：就限是格 yA 6 5 4 2 1 -6-5-4-3-2-10 23456x 2 -3 -4 5 =6 (3)将抛物线y=(x-1)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作 图) ①直接写出抛物线C的表达式： ②请判断抛物线C是否经过点P(1,2),并说明理由. 23.(10分)已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直线AC上取一点D,连接BD,线段BD绕点B逆 时针旋转90°，得到线段BD',连接CD交直线AB于G. D D 图1 图2 图3 (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段D'G的数量关系.于是他画了图1所示当D在AC 边上时的图形，并通过测量得到了线段CG与DG的数量关系.你认为小捷的猜想是CG D'G (填“>”，“="或“<")： (2)当D在AC边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与∠BDC相等的角 (3)如图3，当D在边AC的反向延长线上时，写出CA,CD,CD的数量关系（用等式表示），并证明. 试题第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（    ）    A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A．7 B．5 C．2 D． 7．计算的结果等于（ ）． A． B． C． D． 8．小颖在一副扑克牌中选出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出两张牌，抽出的两张牌刚好是红桃和方片的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 10．如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（写一个即可） 12．甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________． 13．按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______． 14．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， ___________(结果保留) 15．如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算： (1) (2)化简：． 17．（8分）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 18．（9分）如图．平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在图中用直尺和铅笔画出△ABC沿所在直线平移，使得点与点重合，得到（不写画法）． ①点，点______（填“是”或“不是”）都在反比例函数图象上； ②四边形A＇B＇BA是______（特殊四边形），它的面积等于______． 19．（9分）如图，为的直径，点是上方的上一点，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在下方的上确定一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中得到的图形中，连接，求的度数和的长． 20．（9分）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． (1)求足球、篮球的单价； (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 21．（10分）请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 22．（10分）已知二次函数． (1)完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … (2)根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 23．（10分）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A[B][C[D] 5[A][B][C[D] 9[AJ[B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[AJ[B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][CI[D] 7[A][B][CI[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13. 15. 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) (1) (2) (3) 18.(9分) (1) C A B 0 (2)① ② 19.(9分) (1) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(2) 20.(9分) (1) (2) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) (1)① ② (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分)(1) -1 0 3 … … (2) 5 3 2 -6-5-4-3-2-10 123456x -2 3 -4 6 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(10分) D' D 图1 图2 图3 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【11/1 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.IAIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIID] 9.IAIIBIICI[DI 2.[AJIBIICIIDI 6.1AIIBIICIID] 10.[AI[BIICI[D] 3.[AJIBI[CIIDI 7.AIIBIICIID] 4.[AJIBIICI[DI 8.1AIIBIIC]ID] 二、填空题（每小题3分， 共15分) 11. 12. 13 14. 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) (1) (2) (3) 18.(9分) (1) C B (2)① ② 19.(9分) (1) O B (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) (1) (2) 21.(10分) (1)① ② (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分)(1) (2) -1 0 1 2 6 … … 54 32 (3) 654-3-2-19 2 3456x 234 5 23.(10分) D D A D D G B D (1) 图1 图2 图3 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 1、【答案】C 【详解】解：由数轴可知：，所以绝对值最小的是点C． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2、【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，直接根据定义作答即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B. 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（    ） A． B． C． D． 3、【答案】A 【详解】解：∵对于科学记数法，当n<0 时，将a的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中a=1.024，， ∴将1.024的小数点向左移动7位，得到原数为0.0000001024． 4．如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（    ）    A． B． C． D． 4、【答案】C 【分析】根据旋转的性质可知∠BCE=70°，∠ACB=∠ECD，再根据角的和差关系即可解答． 【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置， ∴∠BCE=70°，△ABC≌△DEC， ∴∠ACB=∠ECD， ∵∠ECD=30°， ∴∠ACB=∠ECD=30°， ∴∠ACE=∠BCE-∠ECD=70°- 30°=40°， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转的定义，角的和差关系，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5、【答案】B 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据的符号判断方程根的情况． 【详解】解： 展开得 移项整理得 这里 ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A．7 B．5 C．2 D． 6、【答案】B 【分析】先由三角形中位线定理得到的长，再利用勾股定理求出的长，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 7．计算 的结果等于（ ）． A． B． C． D． 7、【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握好分式加减运算的法则是关键． 将分母因式分解后通分，合并分子并约分． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 8．小颖在一副扑克牌中选出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出两张牌，抽出的两张牌刚好是红桃和方片的概率是（ ） A． B． C． D． 8、【答案】D 【分析】一次抽取两张牌，可以通过画树状图列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例． 【详解】解：设黑桃、梅花、红桃、方片分别用A、B、C、D表示． 列表如下： —— AB AC AD BA —— BC BD CA CB —— CD DA DB DC —— 由表可知，总共有种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：CD、DC，共种． ∴两张牌刚好是红桃和方片的概率是. 9．如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 9、【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选A． 10．如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 10、【答案】C 【分析】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 延长至点，使，得到等腰三角形，再由外角的性质得到等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（写一个即可） 11、【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键． 根据二次根式中被开方数的非负性求解． 【详解】解：由题意可知， 解得， 则的值可以是0． 故答案为：0(答案不唯一)． 12．甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________． 12、【答案】乙 【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：从图看出：甲选手的成绩波动较大，乙选手的成绩波动较小； 故甲、乙两人中成绩稳定性更好的是乙． 13．按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______． 13、【答案】 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索．观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是，…， ∴第n个单项式是． 故答案为：． 14．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时，___________(结果保留) 14、【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长，垂径定理，勾股定理，弧长公式，掌握相关定理公式是问题求解的关键． 根据已知条件求得和的长，代入得到弧长的近似值，利用弧长公式求得弧长的值，即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是弦的中点，在上，， ∴延长可得在上，， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 15．如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 15、【答案】 【分析】根据点C和点D的坐标可得；过点A作于点E，过点B作 于点F，都是等腰直角三角形，；设，由平行线分线段成比例定理得到，则可推出，求出，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于点E，过点B作 于点F， ∴都是等腰直角三角形，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵点A和点B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算： (1) (2)化简：． 16、【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；(5分) （2）解： ．(10分) 17．（8分）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 17、【答案】(1)8（1分） (2)（2分），9（4分） (3)丙，乙（8分） 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【详解】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 18．（9分）如图．平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在图中用直尺和铅笔画出△ABC沿所在直线平移，使得点与点重合，得到（不写画法）． ①点，点______（填“是”或“不是”）都在反比例函数图象上； ②四边形A＇B＇BA是______（特殊四边形），它的面积等于______． 18、【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)①是②矩形，30 【分析】本题考查反比例函数的应用，平移变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）求出点A坐标，利用待定系数法解决问题即可． （2）①根据要求画出图形即可，利用图象法判断即可．②根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为；(3分) （2）如解图所示； （5分） ①是； （6分） 观察图象可知，， ∴，均在反比例函数的图象上， ②观察图象可知：点A、、三点共线，、、三点共线，且， ∴四边形是平行四边形， ∵AB＇=A＇B， ∴平行四边形AA＇B＇B是矩形， （7分） ， ∴，（9分 ） 故答案为：①是②矩形，30． 19．（9分）如图，为的直径，点是上方的上一点，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在下方的上确定一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中得到的图形中，连接，求的度数和的长． 19、【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，根据垂径定理即可得出； （2）连接，，过点作于点，根据圆周角定理可得，根据是直径，得出，勾股定理求得，进而证明，分别求得，根据等腰直角三角形的性质可得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； (4分) （2）解：如图，连接，，过点作于点， 由（1）可知： ∴ ∵ ∴， ∵是直径， ∴(5分) ∵，， ∴， ∴，(6分) ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 解得：(7分) ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴(8分) ∴(9分) 20．（9分）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． (1)求足球、篮球的单价； (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 20、【答案】(1)足球的单价均为50元，篮球的单价为100元 (2)当购买足球20个，篮球80个时花费最少 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买篮球 100 个，足球 100 个或购买篮球 120 个，足球 60 个均花费 15000 元”列二元一次方程组进行计算解答； （2）设购买足球的数量为个，则购买篮球个，花费为元，根据“足球数量不超过篮球数量的”列不等式确定的取值范围，然后列出关于的函数解析式，并根据一次函数的性质分析最值． 【详解】（1）解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得，(2分) 解得．(3分) 足球的单价为50元，篮球的单价为100元．(4分) （2）解：设购买足球的数量为x个，则购买篮球个，花费为y元． 则有，(5分) ．(6分) ．(7分) ， 随x的增大而减小．(8分) 又， 当时，y有最小值，最小值为9000， 当购买足球20个，篮球80个时花费最少．(9分) 21．（10分）请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 21、【答案】（1）①，②不能，理由见解析；（2）45 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）①根据题意，，，，， ， ， ，且， ， ， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， (3分) ②过点作交于点， ，，， ， ， ， ， 不能观察到物体(7分) （2）摩托车的速度为， ∴摩托车在秒的反应时间里的路程为， ∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域， ∴， ∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 故答案为：45(10分) 22．（10分）已知二次函数． (1)完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … (2)根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 22、【答案】(1)表格见详解 (2)图象见详解 (3)①；②不经过，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握画函数图象及其性质是解题的关键；因此： （1）把，，，，分别代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据五点描法可画出函数图象； （3）①直接根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解；②把代入抛物线C去验证即可． 【详解】（1）解：表格如下： 0 1 2 3 4 1 0 1 4 (3分) （2）解：图象如下所示：   (5分) （3）解：①由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C的表达式为；(8分) ②把代入抛物线C的表达式得：， ∴抛物线C不经过点．(10分) 23．（10分）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 23、【答案】(1) (2)见解析； (3)，见解析 【分析】（1）作，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据“角角边”证明，可得答案； （2）根据同角的余角相等解答即可； （3）作，交延长线于点，再根据“角角边”证明，可得，进而得出，然后作，交的延长线于，即可说明四边形是矩形，接下来可得，然后根据勾股定理得，最后整理得出答案． 【详解】（1）解：． 过点D作，于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴；(2分) （2）解：补全的图2如下： 与相等的角是. ∵ ∴． ∵， ∴， ∴；(5分) （3），证明如下： 如图3，过作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ．(10分) / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是() A B CD 432101之的4→ A.点A B.点B C.点C D.点D 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A. B D 3.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 1.024×10-7m,则1.024×10-7m这个数对应的原数是() A.0.0000001024B.0.000001024 C.10240000 D.1024000 4.如图，△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置.如果∠ECD=30°，那么∠ACE等于() B A.70° B.50 C.40° D.30° 5.一元二次方程x(x-1)=2x的根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 119 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点，若AB=8,EF=3,则线段CE的长为 () A.7 B.5 C.2 D.√34 7.计算 4m2的结果等于( A.-1 B.2-m C.、1 D.、1 +2 -2 8.小颖在一副扑克牌中选出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出两张 牌，抽出的两张牌刚好是红桃和方片的概率是( ) A. B. C. D. 6 9.如图，在菱形纸片ABCD中，∠C=45°，点M、N分别在边AD、AB上，将纸片沿着直线MN折叠， 使点A的对应点A'与点B重合，若AM=3√2，则DM的长为() D C M B(A) A.6-3√5 B.2N2 C.2 D.1 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,D是线段BC上一点（不与端点重合），且∠ADB=2∠B, 则BD+AD=() B D A.√40 B.8 C.10 D.12 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.若√1-3x在实数范围内有意义，则实数x的值可以是」 .(写一个即可) 12.甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示.已知两人10次投掷的平 均成绩相同.甲、乙两人中成绩稳定性更好的是 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18m 18m 12m 12m 用 13.按一定规律排列的代数式：5x,10x2,15x3,20x4,25x3,.,则第n个代数式是 14.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是 以O为圆心，OA长为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB,“会圆术”给出AB的长I的 近似值s的计算公式：5=AB+CD ,当OA=2,∠AOB=90°时，|1-5= (结果保留π) OA 15,如图，已知点C(40),点D(0),直线c0与反比例高致y广的图象交于4B两点，若船-分则 k= D 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分)计算： (1)V3×V12+(2)-(π-2026)° (2)化简： 1）.x+1 1- x+2x2+4x+4 17.(8分)某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的 选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数）， 并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： 319 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 分值个 10-- 012345678910学生 。一甲 --…乙 b.学生对课程丙的满意度评分：7,8,6,4,5,9，x,6,10,9 c. 三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 6.6 > 乙 7.3 u 丙 7.3 7.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为： (2)表中m的值为 ,信息b中x的值为 (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数 据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数， 平均数较大者学生更加满意：若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意：若平均数、方差分 别相等，则中位数较大者学生更加满意.按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是，最低 的是（填“甲“乙”或“丙”）. 18.(9分)如图.平行四边形AOBC的顶点为网格线的交点，反比例函数y=二(x>0)的图象过格点A,点 B. (1)求反比例函数的解析式： (2)在图中用直尺和2B铅笔画出△ABC沿CO所在直线平移，使得点C与点O重合，得到△AB'O(不写画 4/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 法)· ①点A,点B (填“是”或“不是”)都在反比例函数图象上； ②四边形A'B'BA是 (特殊四边形)，它的面积等于一 A B 19.(9分)如图，AB为OO的直径，点C是AB上方的⊙O上一点，AB=10,AC=6. (I)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在AB下方的OO上确定一点D,使AD=BD(保留作图痕迹，不 写作法). (②)在(1)中得到的图形中，连接CD,求∠ACD的度数和CD的长. A B 20.(9分)体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查 对象.为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100 个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个. (1)求足球、篮球的单价： 519 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不 超过篮球数量的子，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 21.(10分)请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体 可见局域 遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时， 车头盲区 车尾盲区 素材一 若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事 可见局域 故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似 看作矩形)，以及两侧后视镜的可见区域. 图1 如图2，若司机视线高度AB=1.5m,车前盖最高处与地 C 面距离CD=lm,驾驶员与车头水平距离BE=2m,车前 素材二 盖最高处与车头水平距离DE=0.5m,点M在EF上， M ED ME=0.8m 图2 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟 随一辆速度为90k/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急 刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一 车尾盲区 素材三 个1.2秒的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住 5m 的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑 图3 行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩 形区域. 问题解决 (1)①如图2，求车头盲区EF的长度： 任务一 ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由： (2)如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 米的距离，才不会闯入小 任务二 汽车的车尾盲区 22.(10分)已知二次函数y=(x-1)2. (1)完成下表： 719 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -1 0 1 23 y (2)根据(1)所列的表，描点(5个点)，在下面网格中画出抛物线y=（x-1)的图象. y 6 5 3 2 6-5-4-3-2-10 123456x 3 =4 (3)将抛物线y=(x一1)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C(此处不作 图)· ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点P(1,2),并说明理由. 23.(10分)己知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直线AC上取一点D,连接BD,线段BD绕点B逆 时针旋转90°，得到线段BD',连接CD交直线AB于G. 819 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D G D B B 图1 图2 图3 (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段D'G的数量关系.于是他画了图1所示当D在AC 边上时的图形，并通过测量得到了线段CG与D'G的数量关系.你认为小捷的猜想是CG DG(填 “>”,“=”或“<”)： (2)当D在AC边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与∠BDC相等的角 (3)如图3，当D在边AC的反向延长线上时，写出CA,CD,CD的数量关系（用等式表示），并证明. 9/9 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，绕点顺时针旋转70°到的位置．如果∠ECD=30°，那么等于（    ）    A．70° B．50° C．40° D．30° 5．一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A．7 B．5 C．2 D． 7．计算 的结果等于（ ）． A． B． C． D． 8．小颖在一副扑克牌中选出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出两张牌，抽出的两张牌刚好是红桃和方片的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 10．如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（写一个即可） 12．甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________． 13．按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______． 14．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时，___________(结果保留) 15．如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算： (1) (2)化简：． 17．（8分）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 18．（9分）如图．平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在图中用直尺和铅笔画出△ABC沿所在直线平移，使得点与点重合，得到（不写画法）． ①点，点______（填“是”或“不是”）都在反比例函数图象上； ②四边形A＇B＇BA是______（特殊四边形），它的面积等于______． 19．（9分）如图，为的直径，点是上方的上一点，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在下方的上确定一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中得到的图形中，连接，求的度数和的长． 20．（9分）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． (1)求足球、篮球的单价； (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 21．（10分）请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 22．（10分）已知二次函数． (1)完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … (2)根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 23．（10分）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（8分） （1） （2） ， （3） ， 18.（9分） （1） （2）① ② ， 19.（9分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（2） 20. （9分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10分） （1）① ② （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分）（1） x … 0 1 2 3 … y … … （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.___________________ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） （1） （2） 17. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（8分） （1） （2） ， （3） ， 18.（9分） （1） （2）① ② ， 19.（9分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （9分） （1） （2） 21.（10分） （1）① ② （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分）（1） （2） x … 0 1 2 3 … y … … （3） 23.（10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C B B C D A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．0（答案不唯一） 12．乙 13． 14． 15．3 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） （1）解： ；(5分) （2）解： ．(10分) 17．（8分） 【答案】(1)8（1分） (2)（2分），9（4分） (3)丙，乙（8分） 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【详解】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 18．（9分）【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)①是②矩形，30 【分析】本题考查反比例函数的应用，平移变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）求出点A坐标，利用待定系数法解决问题即可． （2）①根据要求画出图形即可，利用图象法判断即可．②根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为；(3分) （2）如解图所示； （5分） ①是； （6分） 观察图象可知，， ∴，均在反比例函数的图象上， ②观察图象可知：点A、、三点共线，、、三点共线，且， ∴四边形是平行四边形， ∵AB＇=A＇B， ∴平行四边形AA＇B＇B是矩形， （7分） ， ∴，（9分 ） 故答案为：①是②矩形，30． 19．（9分）【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，根据垂径定理即可得出； （2）连接，，过点作于点，根据圆周角定理可得，根据是直径，得出，勾股定理求得，进而证明，分别求得，根据等腰直角三角形的性质可得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； (4分) （2）解：如图，连接，，过点作于点， 由（1）可知： ∴ ∵ ∴， ∵是直径， ∴(5分) ∵，， ∴， ∴，(6分) ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 解得：(7分) ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴(8分) ∴(9分) 20．（9分）【答案】(1)足球的单价均为50元，篮球的单价为100元 (2)当购买足球20个，篮球80个时花费最少 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买篮球 100 个，足球 100 个或购买篮球 120 个，足球 60 个均花费 15000 元”列二元一次方程组进行计算解答； （2）设购买足球的数量为个，则购买篮球个，花费为元，根据“足球数量不超过篮球数量的”列不等式确定的取值范围，然后列出关于的函数解析式，并根据一次函数的性质分析最值． 【详解】（1）解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得，(2分) 解得．(3分) 足球的单价为50元，篮球的单价为100元．(4分) （2）解：设购买足球的数量为x个，则购买篮球个，花费为y元． 则有，(5分) ．(6分) ．(7分) ， 随x的增大而减小．(8分) 又， 当时，y有最小值，最小值为9000， 当购买足球20个，篮球80个时花费最少．(9分) 21．（10分）【答案】（1）①，②不能，理由见解析；（2）45 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）①根据题意，，，，， ， ， ，且， ， ， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， (3分) ②过点作交于点， ，，， ， ， ， ， 不能观察到物体(7分) （2）摩托车的速度为， ∴摩托车在秒的反应时间里的路程为， ∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域， ∴， ∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 故答案为：45(10分) 22．（10分）【答案】(1)表格见详解 (2)图象见详解 (3)①；②不经过，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握画函数图象及其性质是解题的关键；因此： （1）把，，，，分别代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据五点描法可画出函数图象； （3）①直接根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解；②把代入抛物线C去验证即可． 【详解】（1）解：表格如下： 0 1 2 3 4 1 0 1 4 (3分) （2）解：图象如下所示：   (5分) （3）解：①由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C的表达式为；(8分) ②把代入抛物线C的表达式得：， ∴抛物线C不经过点．(10分) 23．（10分） 【答案】(1) (2)见解析； (3)，见解析 【分析】（1）作，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据“角角边”证明，可得答案； （2）根据同角的余角相等解答即可； （3）作，交延长线于点，再根据“角角边”证明，可得，进而得出，然后作，交的延长线于，即可说明四边形是矩形，接下来可得，然后根据勾股定理得，最后整理得出答案． 【详解】（1）解：． 过点D作，于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴；(2分) （2）解：补全的图2如下： 与相等的角是. ∵ ∴． ∵， ∴， ∴；(5分) （3），证明如下： 如图3，过作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ．(10分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $