专题7 二次函数综合之特殊三角形的存在性问题（4大题型专项突破）2026年中考数学第二轮专题复习

专题07 二次函数综合之特殊三角形的存在性问题 （4大题型专项突破） 【题型1 二次函数综合之等腰三角形的存在性问题】.......................................................................................1 【题型2 二次函数综合之直角三角形的存在性问题】.......................................................................................4 【题型3 二次函数综合之等腰直角三角形的存在性问题】...............................................................................7 【题型4 二次函数综合之等边三角形的存在性问题】.....................................................................................11 题型1 二次函数综合之等腰三角形的存在性问题 一、核心解题思路 等腰三角形的核心是“两腰相等”，解题的关键是分类讨论：先明确哪两条边是腰，哪条边是底边，再结合二次函数的坐标特征求解点的位置。 1.确定定点与动点：先找到题目中固定的两个顶点（设为 A(x1,y1)、B(x2,y2)），再设动点P的坐标（通常用二次函数解析式表示，如 P(x,ax2+bx+c)）。 2.分三类讨论： · 情况1：AB=AP（以A为顶点，AB、AP为腰） · 情况2：AB=BP（以B为顶点，AB、BP为腰） · 情况3：AP=BP（以P为顶点，AP、BP为腰） 3.列方程求解：利用两点间距离公式计算边长，根据腰相等列方程，求解未知数，最后检验解是否符合题意（比如点是否在函数图像上、是否与已知点重合）。 二、关键解题技巧 1.距离公式速用：两点 M(xm,ym)、N(xn,yn) 的距离平方为 MN2=(xm−xn)2+(ym−yn)2，为了避免开方运算，通常直接用“距离平方相等”列方程，计算更简便。 2.几何法辅助： · 若AB=AP，则点P在以A为圆心、AB为半径的圆上，与二次函数图像的交点即为所求； · 若AP=BP，则点P在AB的垂直平分线上，先求垂直平分线的解析式，再联立二次函数求交点。 3.排除无效解：解出的点若与A、B重合，或三点共线无法构成三角形，要直接舍去。 【例1】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【变式1-1】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【变式1-3】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【变式1-5】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 题型2 二次函数综合之直角三角形的存在性问题 一、核心解题思路 直角三角形的核心是“有一个角为90°”，解题关键同样是分类讨论直角顶点，再结合勾股定理或两直线垂直的斜率关系求解。 1.确定定点与动点：同等腰三角形，设固定顶点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，动点 P(x,ax2+bx+c)。 2.分三类讨论直角顶点： · 情况1：∠A=90∘（直角在A点，AB⊥AP） · 情况2：∠B=90∘（直角在B点，BA⊥BP） · 情况3：∠P=90∘（直角在P点，PA⊥PB） 3.列方程求解： · 勾股定理法：若直角在A，则AB2+AP2=BP2；同理可得另外两种情况的勾股方程，用距离公式展开计算。 · 斜率法（初中阶段可理解为 “垂直直线的k值关系”）：若两条直线垂直，且斜率都存在，则k1⋅k2=−1，可通过计算斜率列方程；若其中一条直线是水平/竖直的，直接用“水平⊥竖直”判断即可。 二、关键解题技巧 1.优先勾股定理：初中阶段勾股定理法更通用，不受直线是否水平/竖直的限制，也不用考虑斜率不存在的特殊情况，更稳妥。 2.几何模型辅助： · 直角顶点在动点P时，点 P在以AB为直径的圆上（直径所对的圆周角是直角），圆与二次函数的交点即为所求。 · 直角顶点在A或B时，可过A 作AB的垂线，或过B作BA的垂线，求垂线与二次函数的交点。 3.坐标法简化：若有顶点在坐标轴上，可直接利用坐标轴的垂直性简化计算，比如直角顶点在x轴上，一条边水平、一条边竖直，坐标差直接为边长。 【例2】（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2-4】（25-26九年级下·山东淄博·月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)若，为该抛物线上的两点，且，直接写出t的取值范围； (3)①如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接，，．当时，求点E的坐标； ②在①的条件下，若点G也在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点G的横坐标． 题型3 二次函数综合之等腰直角三角形的存在性问题 一、核心解题思路 等腰直角三角形同时满足“等腰”和“直角”两个条件，解题时可以结合前两种题型的方法，先定直角顶点，再定腰相等，或先定腰相等再定直角。 1.确定定点与动点：设固定顶点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，动点 P(x,ax2+bx+c)。 2.三类讨论直角顶点（最清晰的分类方式）： · 情况 1：直角在A点（∠A=90∘），则 AB=AP且AB⊥AP； · 情况 2：直角在B点（∠B=90∘），则 BA=BP且BA⊥BP； · 情况 3：直角在P点（∠P=90∘），则 PA=PB且PA⊥PB。 2.列方程求解： · 坐标平移法（最常用的初中方法）：已知直角顶点A，若AB到AP是顺时针旋转90°，则点B绕A旋转90°得到点P，坐标变化规律为：(x,y) 绕 (a,b) 顺时针转90°变为 (a+(y−b),b−(x−a))，逆时针转90°变为(a−(y−b),b+(x−a))，直接写出 P 的坐标再代入二次函数解析式求解。 · 勾股 + 距离法：先利用勾股定理表示直角边，再根据 “两直角边相等” 列方程，联立求解。 二、关键解题技巧 1.旋转法秒杀：对于直角顶点在定点的情况，用“坐标旋转平移”直接写出动点坐标，比列复杂的距离方程更高效，也不容易算错。 2.等腰+垂直双重条件：直角在动点P时，P既在AB的垂直平分线上（等腰条件），又在以AB为直径的圆上（直角条件），可联立垂直平分线和圆的方程（或二次函数）求交点。 3.避免漏解：每个直角顶点都有顺时针和逆时针两种旋转方向，比如直角在A时，AP可以是AB顺时针转90°，也可以是逆时针转90°，要分别讨论。 【例3】（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）综合与探究 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【变式3-3】（22-23九年级下·广西玉林·月考）如图，抛物线与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴． (1)求抛物线L的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 【变式3-4】（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 【变式3-5】（25-26九年级下·贵州遵义·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点．是上的动点，设点P的横坐标为，过点P作直线轴． (1)求抛物线的函数表达式及点A、D的坐标； (2)如图2，连接，直线l交直线于点M，连接交于点N，求的长（用含m的代数式表示）及的最大值； (3)在点P运动过程中，将抛物线沿直线l对称得到抛物线，与y轴交于点E，F为上一点，试探究是否存在点P，使是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-6】（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，二次函数的最大值为m，求m的值； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型4 二次函数综合之等边三角形的存在性问题 一、核心解题思路 等边三角形的核心是“三边相等，每个内角都是60°”，初中阶段这类题通常结合坐标变换或距离公式求解，难度稍高。 1.确定定点与动点：设固定顶点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，动点 P(x,ax2+bx+c)。 2.分两类讨论（以AB为边或AB为对角线）： · 情况 1：以AB为边作等边三角形，则点P到A、B的距离都等于AB的长度（PA=PB=AB），且点 P 在AB的垂直平分线上，同时在以A、B为圆心、AB为半径的两个圆的交点上； · 情况 2：以AB为对角线作等边三角形（较少考），此时AB的中点为等边三角形的中心，结合中心与顶点的距离关系求解。 3.列方程求解： · 距离公式法：由PA=AB且PB=AB，列两个距离平方相等的方程，联立求解动点坐标，再代入二次函数解析式验证。 · 坐标旋转法：点B绕A旋转60° 或 - 60°可得到点P，利用旋转后的坐标规律写出P的坐标，再代入函数解析式求解。 二、关键解题技巧 1.垂直平分线简化：因为等边三角形顶点P在AB的垂直平分线上，可先求出垂直平分线的解析式，设出P的坐标（用垂直平分线的解析式表示），再利用PA=AB列一元方程求解，减少未知数个数。 2.特殊角度坐标计算：利用30°-60°-90°直角三角形的边长比例，计算垂直平分线上点的坐标，比如AB的中点为M，等边三角形的高为AB，可直接写出P的坐标。 3.检验解的有效性：注意两个圆有两个交点，分别在AB的两侧，要全部讨论，避免漏解。 【例4】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数综合之特殊三角形的存在性问题 （4大题型专项突破） 【题型1 二次函数综合之等腰三角形的存在性问题】.......................................................................................1 【题型2 二次函数综合之直角三角形的存在性问题】.....................................................................................17 【题型3 二次函数综合之等腰直角三角形的存在性问题】.............................................................................32 【题型4 二次函数综合之等边三角形的存在性问题】.....................................................................................58 题型1 二次函数综合之等腰三角形的存在性问题 一、核心解题思路 等腰三角形的核心是“两腰相等”，解题的关键是分类讨论：先明确哪两条边是腰，哪条边是底边，再结合二次函数的坐标特征求解点的位置。 1.确定定点与动点：先找到题目中固定的两个顶点（设为 A(x1,y1)、B(x2,y2)），再设动点P的坐标（通常用二次函数解析式表示，如 P(x,ax2+bx+c)）。 2.分三类讨论： · 情况1：AB=AP（以A为顶点，AB、AP为腰） · 情况2：AB=BP（以B为顶点，AB、BP为腰） · 情况3：AP=BP（以P为顶点，AP、BP为腰） 3.列方程求解：利用两点间距离公式计算边长，根据腰相等列方程，求解未知数，最后检验解是否符合题意（比如点是否在函数图像上、是否与已知点重合）。 二、关键解题技巧 1.距离公式速用：两点 M(xm,ym)、N(xn,yn) 的距离平方为 MN2=(xm−xn)2+(ym−yn)2，为了避免开方运算，通常直接用“距离平方相等”列方程，计算更简便。 2.几何法辅助： · 若AB=AP，则点P在以A为圆心、AB为半径的圆上，与二次函数图像的交点即为所求； · 若AP=BP，则点P在AB的垂直平分线上，先求垂直平分线的解析式，再联立二次函数求交点。 3.排除无效解：解出的点若与A、B重合，或三点共线无法构成三角形，要直接舍去。 【例1】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1-1】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式1-2】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 【变式1-3】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【变式1-4】（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)点的坐标为 (4)点的坐标为或或或 【分析】（1）令，解方程，求出的值即可； （2）求出点的坐标，运用三角形面积公式可求解； （3）如图2，运用待定系数法求出直线的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题． （4）由于为等腰三角形，分别以，和三种情况进行讨论，通过边相等建立等量关系，就可以求出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线方程为，令，得， 解得：，， 由图知，点在点的左侧， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为t，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （4）解：设， ∵，， ∴，，； ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或, ∴或； ③当时，， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 综上，点的坐标为或或或． 【变式1-5】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型2 二次函数综合之直角三角形的存在性问题 一、核心解题思路 直角三角形的核心是“有一个角为90°”，解题关键同样是分类讨论直角顶点，再结合勾股定理或两直线垂直的斜率关系求解。 1.确定定点与动点：同等腰三角形，设固定顶点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，动点 P(x,ax2+bx+c)。 2.分三类讨论直角顶点： · 情况1：∠A=90∘（直角在A点，AB⊥AP） · 情况2：∠B=90∘（直角在B点，BA⊥BP） · 情况3：∠P=90∘（直角在P点，PA⊥PB） 3.列方程求解： · 勾股定理法：若直角在A，则AB2+AP2=BP2；同理可得另外两种情况的勾股方程，用距离公式展开计算。 · 斜率法（初中阶段可理解为 “垂直直线的k值关系”）：若两条直线垂直，且斜率都存在，则k1⋅k2=−1，可通过计算斜率列方程；若其中一条直线是水平/竖直的，直接用“水平⊥竖直”判断即可。 二、关键解题技巧 1.优先勾股定理：初中阶段勾股定理法更通用，不受直线是否水平/竖直的限制，也不用考虑斜率不存在的特殊情况，更稳妥。 2.几何模型辅助： · 直角顶点在动点P时，点 P在以AB为直径的圆上（直径所对的圆周角是直角），圆与二次函数的交点即为所求。 · 直角顶点在A或B时，可过A 作AB的垂线，或过B作BA的垂线，求垂线与二次函数的交点。 3.坐标法简化：若有顶点在坐标轴上，可直接利用坐标轴的垂直性简化计算，比如直角顶点在x轴上，一条边水平、一条边竖直，坐标差直接为边长。 【例2】（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【变式2-3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 【变式2-4】（25-26九年级下·山东淄博·月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)若，为该抛物线上的两点，且，直接写出t的取值范围； (3)①如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接，，．当时，求点E的坐标； ②在①的条件下，若点G也在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点G的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点P关于抛物线对称轴对称的点坐标，然后数形结合求解即可； （3）①根据待定系数法求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式，求出点E的坐标为，设直线与对称轴相交于G，则，根据得出关于，求出k的值，即可求解； ②分点G在直线的左侧和右侧讨论，构造相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线经过，，， ∴， 解得， ∴ ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， 由（1）知：抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， 如图， ∵，为该抛物线上的两点，且， ∴点Q在直线的下方， ∴； （3）解：①∵直线经过， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 设直线与对称轴相交于G， 则， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ②设， 当G在直线左侧时，如图，过G作轴，过A作于M，过E作于N， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去），（舍去），，（舍去）； 当G在直线右侧时，如图，过G作于N，过E作于N， 同理可证， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去），（舍去），（舍去），， 综上，点G的横坐标为或． 题型3 二次函数综合之等腰直角三角形的存在性问题 一、核心解题思路 等腰直角三角形同时满足“等腰”和“直角”两个条件，解题时可以结合前两种题型的方法，先定直角顶点，再定腰相等，或先定腰相等再定直角。 1.确定定点与动点：设固定顶点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，动点 P(x,ax2+bx+c)。 2.三类讨论直角顶点（最清晰的分类方式）： · 情况 1：直角在A点（∠A=90∘），则 AB=AP且AB⊥AP； · 情况 2：直角在B点（∠B=90∘），则 BA=BP且BA⊥BP； · 情况 3：直角在P点（∠P=90∘），则 PA=PB且PA⊥PB。 2.列方程求解： · 坐标平移法（最常用的初中方法）：已知直角顶点A，若AB到AP是顺时针旋转90°，则点B绕A旋转90°得到点P，坐标变化规律为：(x,y) 绕 (a,b) 顺时针转90°变为 (a+(y−b),b−(x−a))，逆时针转90°变为(a−(y−b),b+(x−a))，直接写出 P 的坐标再代入二次函数解析式求解。 · 勾股 + 距离法：先利用勾股定理表示直角边，再根据 “两直角边相等” 列方程，联立求解。 二、关键解题技巧 1.旋转法秒杀：对于直角顶点在定点的情况，用“坐标旋转平移”直接写出动点坐标，比列复杂的距离方程更高效，也不容易算错。 2.等腰+垂直双重条件：直角在动点P时，P既在AB的垂直平分线上（等腰条件），又在以AB为直径的圆上（直角条件），可联立垂直平分线和圆的方程（或二次函数）求交点。 3.避免漏解：每个直角顶点都有顺时针和逆时针两种旋转方向，比如直角在A时，AP可以是AB顺时针转90°，也可以是逆时针转90°，要分别讨论。 【例3】（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）综合与探究 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为或或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时，如图： ，， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去）， ∴点P不存在； 当时，如图： ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图： ，点P不存在； 当时，如图： ，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，； （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， 当时，， 当时，， ∴P坐标为或； 当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， 此时， ∴P坐标为； 故P坐标为或或． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点D坐标为或或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ①点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 【变式3-2】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 【变式3-3】（22-23九年级下·广西玉林·月考）如图，抛物线与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴． (1)求抛物线L的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可得，再将三个点的坐标代入关系式，求出答案即可； （2）先求出直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标是，再求出当时，抛物线顶点落在上，当时，抛物线顶点落在上，然后结合题意可得答案； 先设点，再分两种情况：当点P在x轴上方时，点 P作，交于点M，过点B作垂直于的延长线于点N，然后根据等腰直角三角形的性质证明，可得，即可得出，接下来结合得出方程，求出解可得出答案； 当点P在x轴下方时，过点P作，于点M，过点B作，交延长线于点N，同理可得，再根据得出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是， ∴点． ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，经过点， ， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 当时，， 将抛物线L向下平移h个单位长度， ∴当时，抛物线顶点落在上， 当时，抛物线顶点落在上， ∴抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），则； （3）解：设点， 当点P在x轴上方时，过点P作，交于点M，过点B作垂直于的延长线于点N，如图所示， ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据点B的坐标可得，且， ∴， 解得或， ∴或3， ∴点或； 当点P在x轴下方时，过点P作，于点M，过点B作，交延长线于点N， 同理可得， ∴， ∴， 则， 解得或， ∴或， ∴点或． 综上所述，符合条件的点P的坐标是或或或． 【变式3-4】（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解： 设抛物线的解析式为， 将点代入得 ， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）解：∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴； 如图，当是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； 综上，点G的坐标为或或或． 【变式3-5】（25-26九年级下·贵州遵义·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点．是上的动点，设点P的横坐标为，过点P作直线轴． (1)求抛物线的函数表达式及点A、D的坐标； (2)如图2，连接，直线l交直线于点M，连接交于点N，求的长（用含m的代数式表示）及的最大值； (3)在点P运动过程中，将抛物线沿直线l对称得到抛物线，与y轴交于点E，F为上一点，试探究是否存在点P，使是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点A的坐标为；点的坐标为 (2)； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式可得点A的坐标，求出时，y的值即可得到点D的坐标； （2）求出直线的函数表达式为，根据题意可得，则，，证明，得到，据此可得答案； （3）根据题意可得抛物线的解析式为，则；根据等腰直角三角形的定义可得，则；当点E在点D下方时，则，则或，且要满足；把点F的坐标代入中解方程即可得到答案；同理求出当点E在点D上方时m的值即可得到答案 【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为， ∴点A的坐标为； 在中，当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ，解得 ∴直线的函数表达式为， 把代入，得， ， ∵直线轴， ∴， 把代入，得 ， ． ， ． ∵直线轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知，， ∴直线l的解析式为； 设点为抛物线上的一点， ∵点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； ∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴轴， ∴， 如图所示，当点E在点D下方时，则， ∴或， ∵， ∴或， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程得或（不满足，舍去）， ∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 当时，， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程，（舍去）或（舍去）； ∴此种情况下，点P的坐标为； 如图当点E在点D上方时，同理可得只有和满足题意，即满足， ∴， ∴， ∴， ∴此种情况下，点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式3-6】（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，二次函数的最大值为m，求m的值； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)m的值为或 (3)点P的横坐标为0或或或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组得到a，b的值即可求得解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意分情况进行讨论m的值，从而得到结果； （3）设，分情况讨论：①当点D为直角顶点，分为和；②当点A为直角顶点，利用一线三垂直证明三角形全等，设不同情况下含t的点P坐标，代入到二次函数解析式求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将点，代入抛物线解析式， 得：，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点式为， ∴抛物线的顶点为，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，即时， 当时，函数有最大值m， ∴， 解得：（舍去），； 若，即时， 当时，函数有最大值为（舍去）， 若， 当时，函数有最大值为m， ∴， 解得：（舍去），， 综上所述，m的值为或． （3）解：设，则， ①当点D为直角顶点， （i）当时， 如图，作交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x轴交点为N， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得：， 解得（舍去），， ∴点P的横坐标为； （ii）当时， 如图，作交对称轴于点M， 同理可证， ∴，， ∴设点， 代入抛物线解析式得：， 解得：（舍去），， ∴点P的横坐标为； ②当点A为直角顶点， 如图，过点A作y轴平行线，作交于点M，交于点N， 同理易证得， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得：， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； 当点P在x轴下方时， 如图，过点P作轴交x轴于点M，记对称轴与x轴交点为N， 同理易证得， ∴，， ∴点P为， 代入抛物线解析式得：， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为0或或或． 题型4 二次函数综合之等边三角形的存在性问题 一、核心解题思路 等边三角形的核心是“三边相等，每个内角都是60°”，初中阶段这类题通常结合坐标变换或距离公式求解，难度稍高。 1.确定定点与动点：设固定顶点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，动点 P(x,ax2+bx+c)。 2.分两类讨论（以AB为边或AB为对角线）： · 情况 1：以AB为边作等边三角形，则点P到A、B的距离都等于AB的长度（PA=PB=AB），且点 P 在AB的垂直平分线上，同时在以A、B为圆心、AB为半径的两个圆的交点上； · 情况 2：以AB为对角线作等边三角形（较少考），此时AB的中点为等边三角形的中心，结合中心与顶点的距离关系求解。 3.列方程求解： · 距离公式法：由PA=AB且PB=AB，列两个距离平方相等的方程，联立求解动点坐标，再代入二次函数解析式验证。 · 坐标旋转法：点B绕A旋转60° 或 - 60°可得到点P，利用旋转后的坐标规律写出P的坐标，再代入函数解析式求解。 二、关键解题技巧 1.垂直平分线简化：因为等边三角形顶点P在AB的垂直平分线上，可先求出垂直平分线的解析式，设出P的坐标（用垂直平分线的解析式表示），再利用PA=AB列一元方程求解，减少未知数个数。 2.特殊角度坐标计算：利用30°-60°-90°直角三角形的边长比例，计算垂直平分线上点的坐标，比如AB的中点为M，等边三角形的高为AB，可直接写出P的坐标。 3.检验解的有效性：注意两个圆有两个交点，分别在AB的两侧，要全部讨论，避免漏解。 【例4】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线 (2) (3) 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线； （2）解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； （3）解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式4-1】（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； （3）同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【点睛】本题考查二次函数与线段综合问题，并结合考查等边三角形的性质，通过点坐标表示出线段长是解决本题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $