二次函数提升直角三角形存在性问题2026年中考数学二轮复习专项训练

二次函数提升 直角三角形存在性问题 2026年中考数学二轮复习专项训练 1．如图：抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 3．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 4．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值； (3)设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点P的坐标； ③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 9．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线：为常数，且)，直线：为常数，且)，若，则 解决问题：抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是抛物线上一动点，且在直线的上方不与，重合，求点到直线的距离的最大值． 10．已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求抛物线顶点的坐标，对称轴，并求出的面积； (3)如图，点是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为． ①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积； ②当为何值时，是直角三角形？（直接写出答案） 11．如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A． (1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式； (2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 13．如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)当点P的坐标为时的面积有最大值 (3)或或或 【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （2）过点向轴作垂线交直线于点，设，，得到与t的关系式，进而得到，再根据二次函数的性质计算即可； （3）设，利用勾股定理表示出，再分B、C、M分别为直角顶点，利用勾股定理建立方程求解即可； 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴， 将代入中可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点向轴作垂线交直线于点Q， 设，则， ， ∵， ∴ ， ∵ ∴当时，最大，最大值为， ∴， ∴当点P的坐标为时的面积有最大值；    （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线 设， ∵，， ∴，，， 当时， 则， ∴， 解得 ∴点M的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 当时，则 ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，存在M的坐标为或或或，使得为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 3．(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 4．(1)抛物线的解析式为； (2)见解析； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 5．(1)抛物线的解析式为 (2)点G的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三角形的判定． （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可； （2）先表示出点再设的高为，然后根据，求出，再计算可得答案； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，可得点，再表示出、、，然后分两种情况，当为斜边时，则；当为斜边时，则，求出答案即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 6．(1) (2) (3)存在点，的坐标为或或或． 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）分三种情况进行讨论：以为直角顶点；以为直角顶点；以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点， ， 抛物线与轴相交于点， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点． 直线的解析式为：． 设点坐标为，则点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值； （3）解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下： ， 顶点的坐标为， ， ． 设点的坐标为，分三种情况进行讨论： 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点的坐标为； 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点的坐标为； 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； 综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 7．(1) (2)①是直角三角形；②；③ 【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得 ∴点P的坐标为， 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形 ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点（），过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．(1)抛物线的解析式为； (2)①是直角三角形；②；③ 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 令，则， ∴ 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．(1) (2)存在，点P的坐标或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得的解析式，根据解方程组，可得P点坐标； （3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在，点P的坐标或， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 当时， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即； 当时， 同理得，直线的解析式为 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即 综上所述：是以为直角边的直角三角形，点P的坐标或； （3）解：如图：过点M作x轴的垂线交于点Q， ， 设，则 ∴， ∴， 当时，S取最大值，即， 由勾股定理，得， 设M到的距离为h， ∴， ∴， ∴点M到直线的距离的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键． 10．(1) (2)抛物线顶点的坐标为，对称轴为，的面积等于3 (3)①当时，的面积最大，最大面积是；②或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识， 并作出适当的辅助线是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，过点E作y轴的平行线交于点D， 利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求点D的坐标，再利用“铅锤法”求的面积； （3）①设故，过点P作y轴的平行线交于点Q，则，利用“铅锤法”表示出的面积，再求的最大面积； ②先确定，分两种情况，当时，过点P作轴于点F，构造“一线三垂直”，证明， 可得，代入解方程可求出t的值；当时，一样的构造“一线三垂直证三角形相似”，同理可求出t的值． 【详解】（1）将点和点代入抛物线解析式可得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）抛物线，顶点，对称轴为 如图1，连接，，过点E作y轴的平行线交于点D，则， 当时，，故， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为． 当时，，故， ， ， 的面积为3． 综上可知，抛物线顶点的坐标为，对称轴为，的面积等于3． （3）①当时，，故， 如图2，过点P作y轴的平行线交于点Q，则， ， ． ， 当时，取得最大值． ， 当时，取得最大值，的面积取得最大值． 当时，的面积最大，最大面积是． ②由①知，， 点P是第一象限内抛物线上一动点， ， 当时，如图3所示，过点P作轴于点F，则， ， ，， 又， ， 又， ， ，即， ， 解得，（舍去）， ． 当时，如图4所示，过点P作轴于点G，过点B作，交反向延长线于点H，则， ，， ， 又， ， ，即， ， 又， 整理得， 解得，（舍去）， ． 综上可知，当或时，是直角三角形． 11．(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将原点坐标代入求得的值，即可得出了抛物线的解析式； （2）过点B作轴于点D，根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标； （3）根据B点坐标由勾股定理可求，分两种情况讨论：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴ ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：假设存在点B，过点B作轴于点D， ∵的面积等于6， ∴， 当， ， 解得：或3， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点B的坐标为：； （3）解：∵点B的坐标为：， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， 设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，则，， 即， 解得或（舍去）， ∴在抛物线上存在一点； 当时，则， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， 将代入，得， ∴在抛物线上存在一点； 综上所述：抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键． 12．(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 13．(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $