第十章 题型三 巧解方程组 & 题型四 实际应用-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学试题精选（人教版·新教材）

真题圈数学七年级下RJ12N 题型三 巧解方程组 1.方法探索阅读材料：小强同学在解方程组2.解答题： 2x+5y=3,① 32x+35y=38,① 时，采用了一种“整体代换” 解方程组 时，由于x,y的 4x+11y=5② 30x+33y=36② 解法。 系数及常数项的数值较大，如果用常规的代 解：将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+ 入消元法、加减消元法求解，不仅计算量大， 5y)+y=5③，把方程①代入③，得2×3+y 而且易出现运算错误，而采用下面的解法则 =5,即y=-1.把y=-1代入方程①，得 比较简单： x=4, x=4,所以方程组的解为 ①-②，得2x+2y=2,所以x+y=1,③ y=-1. ③×35-①，得3x=-3, 请你解决以下问题 解得x=-1,从而y=2, (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 x=-1, 所以原方程组的解是 3x+5y=16, y=2. 6x+11y=35 请你运用上述方法解方程组： 2x2-xy+3y2=24, (2)已知x,y满足方程组 2016x+2018y=2020: 6x2+4xy+9y2=51 2023x+2025y=2027 ①求y的值； ②求出这个方程组的所有整数解， 20 重难题型练 题型四 实际应用 类型1几何问题 (2)小明列出的方程组，根据目前知识不易 1.(期末·北京西城区)有8张形状、大小完全 求解，便请教老师，老师提示这个问题可以 相同的小长方形卡 29 列二元一次方程组来解答，并适当点拨，小 B 片，将它们按如图 明终于明白了.请你写出小明列出的二元一 所示的方式（不重 次方程组，并写出解题过程 xcm 叠)放置在大长方 (-5)cm y cm 形ABCD中，根据 (+2)cm 图中标出的数据，1 第1题图 cm 张小长方形卡片的面积是( 第3题图 A.72 B.68 C.64 D.60 2.（期中·成都七中)一副三角 尺按如图所示的方式摆放， 且∠1比∠2大50°，若设 类型2经济问题 ∠1=x°，∠2=y°，则x的 4.(期末·天津河北区)几个人一起买物品，若 值为( 第2题图 每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则 A.20 B.40 还差4元，则此物品的价格是 C.60 D.70 金星教 5.(期中·湖南师大附中)某中学七年级(1)班 3.情境题小明是一个乐思好问的学生，在解答 去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上 一道拓广探索题时遇到了困难.这道题是这 同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球 样的： 和6个排球，花570元，并且每个排球比篮 一个长方形的长减少5cm,宽增加2cm,就 球便宜25元 成为一个正方形，并且这两个图形的面积相 (1)求篮球和排球的单价各是多少 等.这个长方形的长、宽各是多少？ (2)商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折： (1)如图，设长方形的长、宽分别是xcm, 五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折： ycm,小明绞尽脑汁列出了三个不同的方 ②满减活动：满999减100，满1999减200. 程组： 两种活动不重复参与，学校打算购买14个 ①r-5=y+2, x-5=y+2, 篮球，12个排球，请问如何购买更划算？ xy=(x-5)2;xy=0y+2)2: ③/x-5=y+2 xy=(x-5)y+2) 以上三个方程组中，能正确反映题意的有 (请直接填写序号) 21 真题圈数学七年级下RJ12N 类型3行程、工程问题 类型4配套问题 6.情境题（期末·南京玄武区）从A地到B 9.（(期末·重庆育才中学)用白铁皮做罐头盒， 地需要经过一段上坡路和一段平路，小明的 每张铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一 上坡速度为4kmh,平路速度为5kmh,下 个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有 坡速度为6kmh.已知他从A地到B地需用 36张白铁皮，用多少张制盒底可以使盒身与 35min,从B地返回A地需用24min.问从 盒底正好配套，设用x张铁皮制盒身，y张铁 A地到B地全程是多少千米？我们可将这 皮制盒底，则列出关于x,y的二元一次方程 个实际问题转化为二元一次方程组问题，如 组为( ) 果设未知数x,小且列出一个方程为+岁 x+y=36, x+y=36, 5 A B. 25x=40y 2×25x=40y =高则另个方程是( ) x+y=36, x+y=36, C. D. A学+5=浩 B蓉+名= 25x=2×40y 25y=40x 10.（期中·福州仓山区)根据市场调查，某种 c芳+名=治 D若+片-0 6 消毒液的大瓶装(600g)和小瓶装(200g) 7.(期末·武汉硚口区)甲、乙二人都以不变的 两种产品的销售数量（按瓶计算）比为3：5. 速度在环形路上跑步，如果同时同地出发， 某厂每天生产这种消毒液28t(全部售出)， 反向而行，每隔2min相遇一次；如果同时同 这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各 地出发，同向而行，每隔6min相遇一次.已 多少瓶？ 知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑( A2圈B.圈 C.4圈 D.圈 8.(期中·重庆巴川中学)巴川河是铜梁的母 亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为 360m的河道整治任务由A,B两个工程队 先后接力完成.A工程队每天整治24m,B 工程队每天整治16m,共用时20天 (1)求A,B工程队分别整治河道多少天（用 二元一次方程组解答) (2)若A工程队整改1m的费用为200元， B工程队整改1m的费用为150元，求完成 整治河道时，这两工程队的费用共是多少」 22 重难题型练 11.(期末·重庆江北区)某包装厂承接了一批类型5方案问题 纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和 12.(期末·武汉青山区改编)有50名男生参 正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长 加军训.军训基地有6人间和4人间两种 相等)作侧面和底面，做成如图②所示的竖 客房，若每个房间都住满，则安排这些男生 式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时 入住的方案共有( )种 接缝材料不计). A.2 B.3 C.4 D.5 13.（期中·长沙一中教育集团)某物流公司在 运货时有A,B两种车型，如果用3辆A型 车和2辆B型车载满货物一次可运17t货 物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物 竖式 横式 ② 一次可运18t货物.现需要运输货物32t, 第11题图 计划同时租用A型车和B型车若干辆，一 (1)若该厂购进正方形纸板1460张，长方形 次运完，且每辆车都载满货物 纸板3440张，问竖式纸盒、横式纸盒各加 (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物， 工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 一次可分别运输货物多少吨？ (2)该厂某一天使用的材料清单上显示， (2)若A型车每辆需租金200元，B型车每 这天一共使用正方形纸板80张，长方形 辆需租金240元，请帮该物流公司设计租 纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且 车方案，并选出最省钱的方案及最少租金 150<a<170,试求在这一天加工两种纸盒 时，a的所有可能值. 金星教育 精品图书 23答案与解析 2.【解]①+②，得3x-3y=6m,.x-y=2m. :x-y=4m-2,.4m-2=2m,解得m=1. 3.解11)联立+y解得x=2 x-y=3, y=-1. (2)把二之代人另外两个方程，得m-2”=4,解得m=6, y=-1 2n-(m-1）=3, n=4. (3)对.理由如下：将=2，代人(3+0)x4(2a+1)y=5,得到5 y=-1 =5,.小明的话是对的 4.C【解析】把x=2代入 ar+2y=8,可得 2a+2h=8,解 y=1 2x=by+2, 4=b+2, 得a=2把a=2代人-2加8可得2r-4y=8解得 b=2. b=2 2x=by+2, 2x=2y+2, x=-2,故选C y=-3. 5.-5【解析把x=2和x=-子分别代入a心=2， y=3"y=-2 得2a+362,0①+2，得b=4把b=4代人①，得 -2a-2b=2,② 2a+12=2,解得a=-5.故答案为-5. 6【解11)由题意，得b+3a=3,① 3a+2b=12,② ②-①，得2b-(-b)=12-3,即b=3, 把b=3代入①，得-3+3a=3,解得a=2,∴.a,b的值分别为2,3. (2)把=2代人原方程组为 2x+3y=12,① b=3 3x+2y=3,② ①×3-②×2，得9y-4y=36-6,解得y=6; 把y=6代入①，得2x+3×6=12,解得x=-3, 一原方程组的解为=3， y=6. 7.【解】这个方程组的解是x=3,3c+14=8,c=-2 Γy=-2, :他的错误是由于看错了第二个方程中的系数所致， 22解母原方程组445y-2 -2a+2b=2, -2x-7y=8 8.C【解析】方程组中两方程相减得x+4y=16, ,关于x,y的二元一次方程组的解都是自然数， r=12,r=8jx=4x=0, y=1,y=2,y=3,y=4. ”x,y满足x=(k为整数)，x=12x=8x=0, y=1,y=2,y=4, .k=12,4或0，即k的不同的值有3个.故选C. 9.【解11)x=2分析：3x+2y=8,3x=8-2,解得x=8-,2 y=1 3 :x,y为正整数，.8-2y是3的倍数，8-2y>0(即y<4, 六y=1.x=2.即方程3x+2y=8的正整数解是x=2 y=1. (2)2为自然数x为正整数。 .x-2=6或3或2或1，解得x=8或5或4或3. .正整数x为8或5或4或3. (3)解方程组x+2y=9,得 x=20-9% 4-k 12x+y=10 8 y=4-K :方程组x+2y=9 的解是正整数，k为整数， 2x+y=10 :29->0,43>0六4-6=8或4或2或1 8 4-k .k的值为-4或0或2或3 当k=3时，20-9k<0,舍去，k为-4或0或2. 4-k 题型三巧解方程组 1.【解】11)3x+5y=16.D将方程2变形为6+10+y=35. 6x+11y=35,② 即2(3x+5y)+y=35,③ 把方程①代入③，得2×16+y=35,解得y=3. 把y=3代入方程①，得x=}·方程组的解为 y=3. (2)①原方程组化为2r-+32=24,0 3(2x2-xy+3y2)+7xy=51,② 将方程①代人②，得72+7y=51,.y=-3. ②：y=3,x与y是整数，r=-山或 ①可求得2+3y=21,下=3和x=3符合题 y=-3, y=1y=-1 意，故原方程组的所有整数解是3或x=3。 by=11y=-1. 2.【解2016x+2018y=2020,0 2023x+2025y=2027,② ②-①，得7x+7y=7,整理得x+y=1,③ ①-③×2016，得2y=4,解得y=2, 把y=2代入③，得x+2=1,解得x=-1, 则方程组的解为 x=-1, y=2. 题型四实际应用 1.B【解析】设小长方形卡片的长为x,宽为y,由题意，可得 -2少=9解得=17，：1张小长方形卡片的面积是17×4 x+3y=29, y=4, =68.故选B. 2.D【解析】J:∠1比∠2大50°，∠1=x°，∠2=y°，∴.x-y=50. 可列方程组不-y=50, 解得r=70,故选D x+y+90=180 y=20. 3.【解1(1)①②③ x= 25 (2)由题意列方程组，得下-5V+2解这个方程组，得 31 2(x-5)=5y, 答：长方形的长宽分别是空cm,号cm 4.53元【解析】设有x人，物品的价格是y元， 由题意可得8x-3=少解得K=7, 7x+4=八， y=53, 则这个物品的价格是53元.故答案是53元 5.【解】(1)设篮球的单价为x元，排球的单价为y元， 由题意可得y=x-25, 2x+6y=570 解得/x90 y=65 答：篮球的单价为90元，排球的单价为65元 (2)若按照①套餐打折： 2×(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730(元)： 若参加②满减活动：14×90+12×65=2040（元）. 又2040>1999，.2040-200=1840（元）. 而1840>1730，∴，选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低 答：选用套餐①购买更划算 6.D 7.B【解析】设甲的速度为x圈min,乙的速度为y圈min,环形 路的长度为单位1，由题意得 2(x+)=1解得 6(x-y)=1, 方故选B y-6 8.【解】(1)设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天 根据题意得x+少=20， x=5, 解得 24x+16y=360, y=15. 答：A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天 (2)根据题意得200×24×5+150×16×15=24000+36000= 60000(元). 答：完成整治河道时，这两工程队的费用共是60000元， 9.B 10.【解】设这些消毒液应该分装x个大瓶，y个小瓶 由题意得{ 5x=3y, x=30000, 解得 600x+200y=28000000. y=50000 答：这些消毒液应该分装30000个大瓶，50000个小瓶 11.【解】(1)设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得r+2y=1460,解得x=50 4x+3y=3440, y=480 答：加工竖式纸盒500个，加工横式纸盒480个. (2)设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得m+2=80,解得n=320-0=64-号 4m+3n=a, :n,a为正整数，∴.a为5的整数倍 又.150<a<170,∴.满足条件的a的值为155,160,165. 12.C【解析】设6人间有x间，4人间有y间，且x,y为整数，由 题意知，6x+4y=50,即3x+2y=25, .当x=1时，y=11,符合要求； 当x=2时，y=9,不符合要求，舍去： 当x=3时，y=8,符合要求； 当x=4时，y=号，不符合要求，舍去： 当x=5时，y=5,符合要求； 当x=6时，y=子，不符合要求，含去： 当x=7时，y=2,符合要求； 当x=8时，y=),不符合要求，舍去； 当x=9时，y=-1,不符合要求，舍去 ∴共有4种方案.故选C. 13.【解】(1)设1辆A型车载满货物一次可运输货物xt,1辆B 型车载满货物一次可运输货物yt, 依题意得3x+2y=17解得r=3, 2x+3y=18, y=4 答：1辆A型车载满货物一次可运输货物3t,1辆B型车载满 货物一次可运输货物4t (2)设需租用A型车m辆，B型车n辆 依题意得3m+4n=32,n=8-子m 又：m,n均为正整数，心1=5 m=4或m=8 n=2, ∴.该物流公司共有2种租车方案. 方案1：租用4辆A型车，5辆B型车，所需租车费用为 200×4+240×5=2000(元)： 方案2：租用8辆A型车，2辆B型车，所需租车费用为 200×8+240×2=2080(元). ,2000<2080,∴.当租用4辆A型车，5辆B型车时，租金最 少，最少租金为2000元， 第十一章不等式与不等式组 题型一解不等式（组） 1.【解】去分母，得2(x-3)-(4x-1)≥4， 真题圈数学七年级下RJ12N 去括号，得2x-6-4x+1≥4，移项，得2x-4x≥4+6-1， 合并同类项，得-2x≥9，系数化为1，得x≤-号 2.【解2x1-5x3≤1，去分母，得2(2x-1)-(5x-3)≤6， 3 6 去括号，得4x-2-5x+3≤6， 移项，合并同类项，得-x≤5，解得x≥-5. 不等式的解集在数轴上表示如图. 5-4-3-2-1012345 第2题答图 3.【解】(1)去括号，得4x-2>5x+5,移项，得4x-5x>5+2, 合并同类项，得-x>7,系数化为1，得x<-7 (2)去分母，得2(5x+1)-3(3x-1)≥6， 去括号，得10x+2-9x+3≥6，移项，得10x-9x≥6-2-3， 合并同类项，得x≥1. 4.【解1(1)①一不等式的性质2（不等式两边同乘一个正数，不 等号的方向不变) ②二括号前是“_”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2)x≥7 (3)去分母时不等号两边的每一项都乘所有分母的最小公倍数 不要漏乘.（答案不唯一，合理即可） 1-x)<x+5,① 5.【解】 3x-1≤x,② 解不等式①，得x>-1.解不等式②，得x≤3， ∴.不等式组的解集为-1<x≤3. x-3(x-2)≥3，① 6.【解11+2x>-1,② 3 解不等式①，得x≤号解不等式②，得x>-2 ·不等式组的解集为-2<x≤多 x+2>3x-3,① 7.l解1=2≤+3r,② 3 3 解不等式①，得长名解不等式2，得x≥1 “不等式组的解集为-1≤K月 8.【解】(1)x≥-1(2)x≤1 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示. -3-2-0123 第8题答图 (4)-1≤x≤1 题型二含参问题 1.A【解析】解不等式9-5x>4,得x<1.又x<a,.当a≥1时， 不等式组<a,的解集是x<1,故选A 9-5x>4 2.D【解析】由生6>聋+1，得x<4.又x<m且不等式组的解集 5 为x<4,则m≥4.故选D. 3.A【解析】解关于x的不等式3(x-a)≤2x-4a,得x≤-a,由 题中数轴得不等式的解集为x≤1，∴.-a=1,∴.a=-1.故选A 4.B【解析】由6x+3>3(x+a),得x>a-1,由号-1≤7-多x,得 x≤4.：所有整数解的和为9，.整数解为4,3,2或4,3,2,1， 0,-1,.1≤a-1<2或-2≤a-1<-1,解得2≤a<3或-1≤a<0, 因此，符合条件的整数a的值为2和-1，有2个.故选B. 5.-1≤k<0【解析】解不等式得x<2-k,由不等式的正整数解为 1,2,得到2<2-k≤3，解得-1≤k<0.故答案为-1≤k<0. 6.①④【解析】：关于x的不等式组r≤3 x>a, .当a=-3时，-3<x3,