第七章 题型三 拐点问题-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学试题精选（人教版·新教材）

答案与解析 重难题型练 第七章相交线与平行线 题型一平行线的判定与性质 1.C 2.D【解析】①若点P在直线BC上，则不能画出与BC平行的直 线；②若点P不在直线BC上，则过点P有且只有一条直线与 BC平行.所以这样的直线有一条或不存在.故选D. 3.C【解析】A.∠C=∠ABE不能判定任何直线平行：B.∠A= ∠EBD不能判定任何直线平行；C.,∠A=∠ABE,.EB∥AC (内错角相等，两直线平行)，故本选项正确；D.∠C=∠ABC不 能判定任何直线平行.故选C. 4.A【解析】A.由∠1=∠2能得到AB∥CD,符合题意； B.因为∠1+∠A不一定等于180°，∠1= ∠2，所以∠2+∠A不一定等于180°，所以 3 不能得到AB∥CD; 20 B C.由∠1=∠2能得到AD∥BC; D.如图，因为∠2不一定等于∠3，∠1= 第4题答图 ∠2，所以∠1不一定等于∠3，所以不能得到AB∥CD.故选A 5.【证明】CD平分∠ECF,.∠ECD=∠DCF ∠ACB=∠DCF,.∴.∠ECD=∠ACB. :∠B=∠ACB,∴∠B=∠ECD,∴.AB∥CE 6.C【解析】如图，：∠1+∠2=240°，∠1=∠2，.∠1=∠2= 120°.：1∥12，.∠2=∠4=120°，∠3=180°-120°= 60°，故选C H 3 空气 E2/F 水 4 2 C D 第6题答图 第7题答图 7.C【解析】如图，·EG∥FH,∠1=45°，.∠3=∠1=45° :AB∥CD,∠2=122°，.∠ECD=180°-122°=58 :CE∥DF,.∠4=∠ECD=58°.故选C. 8.【解】：CD∥AB,.∠AOD=180°-∠D=180°-50°=130° :0E平分∠A0D,·∠A0E=3∠A0D=3×130=6, .OF⊥OE,∴.∠EOF=90°， .∴.∠BOF=180°-∠EOF-∠AOE=180°-90°-65°=25° 9.C【解析】：∠1=∠2，∴.a∥b,∴.∠4=∠3=70°.故选C 10.C【解析】.∠2=30°，.∠1=60°.又∠E=60°，.∠1= ∠E,∴.AC∥DE,故A正确，不符合题意； :∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，即∠BAE+∠CAD= ∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°，故B正确，不符合题意： .BC∥AD,.∠B=∠3=45°，∴.∠2=90°-45°=45°，故 C不正确，符合题意； .∠D=30°，∠CAD=150°，∴.∠D+∠CAD=180° ∴.AC∥DE,∠4=∠C,故D正确，不符合题意.故选C. 11.12°【解析】如图，过点C作CF∥DE,则∠FCD+∠CDE= 180°..'∠CDE=72°，.∠FCD=108° C-F DE∥AB,∴.CF∥AB, .∴.∠FCB=∠ABC=120° .∴.∠BCD=∠FCB-∠FCD=120°- 4 B 108°=12°. 第11题答图 故答案为12° 12.(1)【证明】：AC∥DE,∴.∠1=∠C.又：∠CFD+∠1= 180°，.∠CFD+∠C=180°，.DF∥BC (2)【解】：DF平分∠ADE,∴.∠ADF=∠FDE.:DF∥BC, ∠1=72°，.∠FDE=∠1=72°，∴.∠ADF=∠FDE=72° 由(1)知DF∥BC,.∠B=∠ADF=72°. 13.(1)【证明】：AG平分∠BAD,.∠DAG=∠BAG 又∠DAG=∠G,.∠BAG=∠G,.AB∥CD. (2)①L证明】.·∠BCE=∠CED,.AD∥BC,.∠D=∠BCG. 由(1)可知AB∥CD,.∠B=∠BCG,.∠B=∠D. ②【解】CE平分∠BCD.理由如下：.'AG∥CE,.∠ECD= ∠G,∠CED=∠DAG..'∠DAG=∠G,∴.∠CED=∠ECD 由①可知AD∥BC,∴.∠CED=∠BCE, ∴.∠ECD=∠BCE,∴.CE平分∠BCD. 题型二折叠问题 1.C【解析】，AM∥BN,AD∥BC, '.∠EBN=∠AEB,∠AEB=∠MAD.由折叠的性质可知∠EBN+ 2∠ABE=180°，∠ABE=900-号∠EBN=900-3∠AB =90°-)∠MMD又：∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍， 2∠MD=90°-3∠MMD ∴.∠MAD=36°，.∠MEC=∠MAD=36°.故选C 2.72°【解析】由折叠的性质得∠EFB'=∠EFB,,·FH平分 ∠GFE,∴.∠EFB'=∠BFG. :'∠GFC=18°，∠EFB'+∠B'FG+∠EFB+∠GFC=180°， ∴.∠EFB'+∠B'FG+∠EFB=162°， :∠EFB=∠BFG=∠EFB=162°×=54， 3 ∴.∠HFC=∠B'FG+∠GFC=54°+18°=72° ,四边形ABCD是长方形，.AD∥BC,∴.∠AHF=∠HFC= 72°.故答案为72°. 3.21°【解析】：∠A=∠B=90°，∴.∠A+∠B=180°，.AD∥ BC,,.∠AEF=180°-∠BFE=114°，∠GEF=∠BFE=66° 由折叠的性质得∠A'=∠A=90°，∠A'EF=∠AEF=114°， ∠DGH=∠D'GH,∴.∠A'EG=∠A'EF-∠GEF=114°-66°= 48°，∴∠AGE=90°-∠A'EG=42°，∴.∠DGD'=∠A'GE= 42,∠DGH=<DGD=21,故答案为21 4.45【解析】在题图①中，由折叠的性质可知∠FPD=2∠FPQ =2a..'AD∥BC,.∠FGC=∠GPD M =2a,∠PGC=180°-2a.在题图②中， 由折叠的性质可知∠MGF=a.如图， 由折叠的性质可知∠FGW=∠MGF= a.:GN恰好是∠PGF的平分线， D ∴.∠PGC=2∠FGN,∴.2a=180°- 第4题答图 2a,∴.a=45°.故答案为45. 5.【解】(1)在题图①中，，AD∥BC, ∴.∠BFE=∠DEF=20°. .∠CFE=180°-∠BFE=180°-20°=160°. 在题图②中，由翻折的性质，得∠CFE=∠EFC, ∴.∠BFC=160°-20°=140°. 在题图③中，由翻折的性质，得∠C,FB=∠BFC, ∴.∠C,FE=140°-20°=120° (2)在题图①中，：AD∥BC, ∴.∠CFE=180°-∠DEF=180°-a,∠BFE=∠DEF=a. 在题图②中，由翻折的性质，得∠CFE=∠EFC, ∴.∠BFC,=180°-a-a=180°-2a. 在题图③中，由翻折的性质，得∠C,FB=∠BFC, ∴.∠C,FE=180°-2a-a=180°-3a. 题型三拐点问题 1.B【解析】如图，延长AB到点C. :AB∥MN,∴.∠2+∠CBD=180°， ∴.∠CBD=180°-∠2=80° .∠3=130°， A B3 ∴.∠CBE=∠3-∠CBD=50°. 人2 .AB∥PQ,.∠1=∠CBE=50 M D 故选B. 第1题答图 2.D【解析】如图，过点A作AB∥a,.∠1=∠2 :a∥b,.AB∥b,∴∠3=∠4=30°. 又∠2+∠3=45°，.∠2=15°，.∠1=15°.故选D. D G B H 第2题答图 第3题答图 3.A【解析】过点E作EH∥AB,如图.AB∥FG,.AB∥ EH∥FG,∴.∠BEH=a=15°，∠FEH+∠EFG=180°..'B =45°，.∠FEH=180°-45°-15°=120°，.∴.∠EFG=180°- ∠FEH=180°-120°=60°，.EF与FG所成锐角的度数为 60°.故选A. 4.A【解析】如图，延长AB交直线ED于点H, 则AH∥CD,.∠CDE=∠DHA=60°. 'AF∥EH,∴.∠BAF=∠DHA=60°.故选A A B A B E H-2》G E D 第4题答图 第5题答图 5.D【解析】如图，过点E作EF∥AB,过点G作HG∥CD, ,AB∥CD,∴.AB∥CD∥GH∥EF, .∠1+∠BEF=180°，∠FEG=∠EGH,∠HGC=∠3， .∠BEF=180°-∠1，∠FEG=∠EGH=∠2-∠3， .∠a=∠BEF+∠FEG=180°+∠2-∠1-∠3.故选D 6.30°【解析】如图，过点B作BF∥AG, E ,AG∥CD,.AG∥CD∥BF, ∴.∠ABF+∠BAG=180°，∠CBF+∠BCD= B 180°. ∠BCD=74°，∠ABC=44°， G ∴.∠CBF=1O6°，∴.∠ABF=∠CBF+∠ABC =150°，∴.∠BAG=180°-150°=30 D 故答案为30° 第6题答图 7.120【解析】如图，过点E作直线FG∥AB,:AB∥CD, .FG∥CD.:AB∥FG,∠ABE=100, ∴.∠BEF=180°-∠ABE=80°， ∴.∠CEF=∠BEF+∠BEC=80°+40°=120° 又，CD∥FG,∴.∠C=∠CEF=120°.故答案为120 B A -l 100° C D A------P 40 ---G 3 2 第7题答图 第8题答图 8.100【解析]如图，过点A作AP∥1，∴.∠PAD=∠1=50°. 1∥1，.AP∥1，.∠PAQ=∠2=25°，∴.∠DAQ= ∠DAP+∠PAQ=50°+25°=75°.：AQ平分∠DAC,.∠CAQ =∠DAQ=75°.：AP∥I,∴.∠3=∠CAP=∠PAQ+∠CAQ =25°+75°=100°.故答案为100. 9.【解】(1)过点P作PQ∥AB(或过点P作PQ∥CD) (2)选择题图③：由题意得EQ∥PF,,EP⊥FP,.EP⊥QE 即∠PEQ=90°..AB∥CD,EQ∥PF,∴.∠4=∠3，∠2= ∠3，∴.∠2=∠4.∠1+∠4=90°，.∠1+∠2=90°. .∠1=60°，.∠2=90°-60°=30°. 选择题图④：由题意得FQ∥PE,则∠PFQ=90°. AB∥CD,FQ∥PE,.∠4=∠3，∠1=∠3，∴.∠1=∠4 :∠2+∠4=90°，.∠1+∠2=90°. .∠1=60°，∴.∠2=90°-60°=30°. 真题圈数学七年级下RJ12N (3)∠CFE-2∠PEF=180°-a 分析：设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y, 如图，过点P作PQ∥AB .∠BEP+∠EPQ=I80°，∠CFE=∠FEB=x .AB∥CD,∴.AB∥PQ∥CD E B ∴.∠PDF=∠DPQ, a ∴.∠DPQ=∠PEF=∠PDF=X 由∠CFE=∠FEB=X=∠FEP+ ∠BEP, 第9题答图 ∴.x=y+(180°-+y), ∴.x-2y=180°-a,即∠CFE-2∠PEF=180°-a. 题型四动点问题 1.B【解析】如图，：AE平分∠CAB, ∠CME=∠BAE=∠CAB=20.M D :MN∥AB, 易知∠CEB=∠MCE+∠ABE =a+∠ABE, 第1题答图 ∠MDE=∠DAB=20°，∠BED= 180°-∠AEB=∠EAB+∠ABE=20°+∠ABE :EF平分∠CED,·∠FED=号<CED :∠BEF=∠FED+∠BED =号∠CED+∠BED=∠CEB-∠BED)+∠BED =CE8+BED=a+∠ABE)+320+∠ABE) =a+20°+∠ABE=70°， ·∠ABE=60-号 ∠ACB=90°，∠CAB=40°，.∠ABC=50°， ∠E8C=50-∠ABE=50-(60-034-10.放选B 2.【解J(1)PM∥AN,.∠A+∠APM=180°. :∠A=40°，∴.∠APM=140° :PB,PD分别平分LAPC和∠MPC, ∴∠BPC=iAPC,∠DPC=∠MPC, ∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=(∠APC+∠MPC)=3XI40= 70°. (2):'PM∥AW,∴∠PBA=∠BPM '∠PBA=∠APD,∴.∠BPM=∠APD,.∠APB=∠MPD. 由(1)得∠APM=140°，∠BPD=70°， ∴LAPB=∠MPD=号×70°=35°. (3)存在，∠PCA=2∠PDA,理由如下： :PM∥AN,∴.∠PCA=∠CPM,∠PDA=∠DPM PD平分∠MPC,∠CPM=2∠DPM,∴∠PCA=2∠PDA 3.【解(1)AB∥CD.理由： :EM平分∠AEF,∴.∠AEM=∠FEM 又：∠FEM=∠FME, .∠AEM=∠FME,.AB∥CD (2)①：AB∥CD,B=50°，∴.∠AEG=130 又·'EH平分∠FEG,EM平分∠AEF, ·∠HEF=FEG,∠MEF=∠AEr, ·.LMEH-3∠AEG=-65. 又：HN⊥ME,∴.∠ENH=90°， ∴.∠EHN=180°-90°-65°=25°，即a=25° ②猜想：a=)B或a=90°-3B 证明：点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论： I.如图①，当点G在点F的右侧时， :AB∥CD,∴∠AEG=180°-B.真题圈数学七年级下RJ12N 题型三 1.（期末·沈阳于洪区)如图①的晾衣架存在 多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图 ②的数学问题.已知AB∥MN∥PQ,若∠2 =100°，∠3=130°，则∠1的度数为() P M ① ② 第1题图 A.40° B.50° C.60 D.70° 2.（月考·厦门一中)将一副三角板和一张对 边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板 的一条直角边重合，含30°角的直角三角板 的斜边与纸条的一边重合，含45°角的三角 板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的 度数为( A.30° B.25 C.20° D.15° 第2题图 3.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB 与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB 所成锐角a=15°.顶部支架EF与灯杆CD 所成锐角B=45°，则EF与FG所成锐角的 度数为( 第3题图 A.60° B.55° C.50° D.45° 拐点问题 4.(模考·深圳中学改编)第一次走进滑雪场 的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会 正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪 姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚 的根部处于微微受力的状态，如图②所示， AB∥CD,当小腿与地面的夹角∠CDE= 60°时，上身AB与水平线的夹角∠BAF的度 数为( ② 第4题图 A.60° B.45° C.50° D.55° 5.如图，若AB∥CD,用含有∠1，∠2，∠3的式 子表示∠a,则∠a应为( A.∠1+∠2+∠3 B.∠2+∠3-∠1 20 C.180°+∠1+∠2-∠3 D.180°+∠2-∠1-∠3 第5题图 6.(期末·广州荔湾区)立定跳远动作中，从 起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角 度，对跳远成绩起着举足轻重的作用.如 图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若 AG∥CD,∠BCD=74°，∠B=44°，则 ∠BAG的度数为 第6题图 7.(期中·天津南开区)如图，已知AB∥CD, ∠B=100°，∠E=40°，则∠C= B A D 2 第7题图 第8题图 8.（期中·长沙一中教育集团)如图，直线1，∥ 1,AQ平分∠DAC,∠1=50°，∠2=25°，则 ∠3= 9.综合与实践 【问题情境】数学课上，老师出示了这样一 道题： 如图①，已知AB∥CD,点E,F分别在AB, CD上，EP⊥FP,∠1=60°.求∠2的度数. 同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小 组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交 流了自己的想法： 勤奋小组：“如图②，通过作平行线，发现∠1 =∠3，∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出 ∠2的度数.” 创新小组：“如图③，作平行线，经过推理，得 ∠2=∠3=∠4，也能求出∠2的度数.” 拼搏小组：“如图④，也能求出∠2的度数.” B P ② A E 37 3 ⑤ 第9题图 重难题型练 【解决问题】 (1)请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图 ②)，描述辅助线的做法，辅助线为 (2)请你根据创新小组所画的图③或者拼搏 小组所画的图④选择其中一图所示的方法 求出∠2的度数 【拓展应用】 请大家参考这三种方法，使用与他们类似的 方法，解决下面的问题： (3)如图⑤，AB∥CD,点E,F分别在AB, CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若 ∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF的数量 关系： (用含a 的式子表示) 精品图书 5