专题15分式的意义、分式的基本性质 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题15 分式的意义、分式的基本性质 （8知识点+9题型+过关检测） 【题型1 分式的判断】 2 【题型2 分式有/无意义的条件】 4 【题型3 分式值为零的条件】 5 【题型4 分式的值】 6 【题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 9 【题型6利用分式的基本性质将分式变形】 10 【题型7 约分】 12 【题型8 最简分式】 13 【题型9 分式的规律性问题】 15 · 1. 理解分式的定义，能准确区分整式与分式，掌握分式的判定方法。 2. 掌握分式有意义、无意义、值为0的充要条件，能根据条件求解字母取值 · 3. 掌握分式的基本性质，理解性质的推导与内涵，明确变形的前提条件。 · 4. 能利用分式基本性质进行分式的恒等变形、符号变形、系数化简。03 知识•梳理 知识点1. 分式的定义 一般地，如果A、B都是整式，且B中含有字母，同时，那么式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 判定关键：分母含字母为分式，分母不含字母为整式；π为常数，含π的式子不属于分式。 知识点2. 分式有、无意义的条件 · 分式有意义：分母≠0，分子可为任意整式。 · 分式无意义：分母=0，与分子取值无关。 知识点3. 分式值为0的条件 必须同时满足两个条件：分子=0 且 分母≠0，缺一不可。分母为0时分式无意义，不可能为0。 知识点4. 分式值的正负性 · 分式值为正：分子、分母同号（同正或同负）。 · 分式值为负：分子、分母异号（一正一负）。 知识点5. 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：，（，C为整式）。 核心前提：C不能为0，否则变形无意义。 知识点6. 分式符号性质 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 常用变形：、、。 知识点7. 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后分式值不变，是恒等变形。 约分步骤：先对分子、分母因式分解，再找出公因式整体约去。 知识点8. 最简分式 分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式运算最终结果必须化为最简分式。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 解题技巧： 只看分母是否含有字母，分母含字母是分式，分母为常数（含π）为整式；与分子是否含字母、式子是否可化简无关，只看原式结构判定。 【典例1】．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：判断分式的核心是分母为含有字母的整式，是常数不是字母， A、，分母是常数，属于整式，不符合要求； B、，分母是含字母的整式，属于分式，符合要求； C、，分母是常数，属于整式，不符合要求； D、，分母是常数，属于整式，不符合要求． 【变式1】．在2026年米兰-科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播．据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这天该赛事的日均收看人数是（   ） A．万 B．万 C．万 D．万 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题思路为先求出天的总收看人数，再用总收看人数除以总天数，即可得到日均收看人数。 【详解】∵前天日均收看人数为万 ∴前天总收看人数为万 ∵后天日均收看人数为万 ∴后天总收看人数为万 可得天总收看人数为万，总天数为天 ∴这天的日均收看人数为 万． 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 【变式3】．下列各式：，，，其中分式有_______个． 【答案】3 【分析】本题考查的是分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：、、的分母中含有字母，属于分式．共有3个分式． 故答案为：3． 【题型2 分式有/无意义的条件】 解题技巧： 有意义只需保证分母不为0，解不等式即可；无意义只需令分母等于0解方程，全程无需考虑分子取值，避免多余计算。 【典例2】．若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键． 要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 【变式1】．若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴， 解得：． 【变式2】．当时，分式无意义，则m的值为______． 【答案】2 【分析】分式无意义即分母为0，由此解答即可． 【详解】解：若分式无意义，则，即， 又∵当时，分式无意义， ∴． 【变式3】．若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得． 【题型3 分式值为零的条件】 解题技巧： 严格遵循“分子为0、分母不为0”双条件，先解分子为0的字母值，再代入分母检验，舍去使分母为0的增根，缺一不可。 【典例3】．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 【变式1】．若分式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】分式值为0需要满足分子为0且分母不为0，据此计算即可得到结果. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得 . 【变式2】．当___________时，分式的值为0． 【答案】1 【分析】根据分式值为0时分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意，要使分式的值为0，需满足， 由，解得， 当时，， ． 【变式3】．若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 【题型4 分式的值】 解题技巧： 代入数值前先检验字母取值是否使分式有意义，无意义则无解；有意义时代入化简计算，可先约分再代入，简化运算步骤。 【典例4】．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 【变式1】．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 【变式2】．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【变式3】．下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识，对于每个结论，利用分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件以及整数解的分析进行判断． 【详解】解：结论①：∵， ∴，即，故正确． 结论②：∵有意义， ∴，， ， ∴，，，故错误． 结论③：∵分式值为零 ∴且， ∴，故正确． 结论④：∵的值为整数， ∴为整数， ∴或或， ∴或或或或或， 又为整数， ∴或，共2个整数解，故正确． 结论⑤：当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意， ∴和，故错误． 故答案为∶ ①③④． 【题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 解题技巧： 观察分子、分母的变化倍数，若分子分母扩大缩小倍数一致，分式值不变；倍数不同则按比例判断增减，结合符号性质分析最终变化。 【典例5】．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 【变式1】．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．缩小9倍 C．是原来的 D．不变 【答案】A 【详解】解：把原分式中的、都扩大到原来的9倍后的分式为， ∴现在的分式与原分式相比扩大到原来分式的9倍． 【变式2】．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质计算后即可判断． 【详解】解：∵ ，都扩大10倍后，新分式的分子为，分母为， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值不改变． 【变式3】．如果把分式中，的值都扩大为原来的2024倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的4048倍 B．扩大为原来的2024倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】当 和 都扩大2024倍时，分子和分母均扩大相同倍数，分式的值不变. 【详解】解： 原分式为 , 当 和 都扩大2024倍时，新分式为 , 分式的值不变. 故选：C. 【点睛】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，求解即可，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 【题型6利用分式的基本性质将分式变形】 解题技巧： 根据题目要求统一变形，可调整系数、消除小数、统一符号；变形必须分子分母同步操作，严格保证同乘同除，保持分式恒等。 【典例6】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【变式1】．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 【变式2】．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式3】．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 【题型7 约分】 解题技巧： 先因式分解分子、分母，找准整体公因式，整体约分；禁止局部单项约分，多项式必须整体看待，约分后检查无剩余公因式。 【典例7】．化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用到平方差公式对分子因式分解后约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 【变式2】．．括号内填___________． 【答案】 【详解】解：因为， 故答案为：． 【变式3】．化简：______． 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【题型8 最简分式】 解题技巧： 判断分子分母是否存在公因式，无公因式即为最简分式；若可因式分解，需分解彻底后再判断，杜绝表面最简、实则可约分的情况。 【典例8】．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 【变式1】．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 【变式2】．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【题型9 分式的规律性问题】 解题技巧： 分别观察分子、分母、符号的变化规律，拆分三部分单独找通项；列出前几项对比特征，总结通用公式，最后代入验证规律正确性。 【典例9】．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【变式1】．阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的混合运算，裂项相消是解答本题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可写出第n个式子； （2）利用（1）的规律将每个项拆分为差的形式，通过相互抵消简化求和． 【详解】解：（1）由已知等式 ，，，…， 可得第n个式子为， 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【变式2】．已知，，，，……，，根据规律，请计算______（用含x的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，由图可知，则_____，_____． 【答案】 10 【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知，每行第3个位置的数依次是从1开始的连续的整数的和，进而得到第个数为，得到，利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：10，． 05 过关•检测 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 2．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 3．要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0），求解的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分式的分母不能为，可得， 解得． 4．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 5．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 6．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 8．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 9．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 10．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 11．若分式有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得：． 12．使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为零，可得， 解得：． 13．已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 14．当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 15．若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 16．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)为任意实数 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键． （1）（2）分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可； （3）可证明，再根据分式有意义的条件是分母不为0可得答案． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴； ∵， ∴， ∴为任意实数． 18．当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，分式为零的条件是分子为且分母不为，根据条件解答即可． (1)因为，可得且，可知当时，； (2)因为，可得且，可知当时，； (3)因为，可得且，可知当时，． 【详解】（1）解：， ， 解得：且， 当时，； （2）解：， ， 解得：且， 当时，； （3）解：， ， 解得：且， 当时，． 19．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 20．约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 21．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 22．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由，得， ∴， ∴， ∴． 23．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 24．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】(1) (2)①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 分式的意义、分式的基本性质 （8知识点+9题型+过关检测） 【题型1 分式的判断】 2 【题型2 分式有/无意义的条件】 2 【题型3 分式值为零的条件】 3 【题型4 分式的值】 3 【题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 4 【题型6利用分式的基本性质将分式变形】 5 【题型7 约分】 5 【题型8 最简分式】 6 【题型9 分式的规律性问题】 6 · 1. 理解分式的定义，能准确区分整式与分式，掌握分式的判定方法。 2. 掌握分式有意义、无意义、值为0的充要条件，能根据条件求解字母取值 · 3. 掌握分式的基本性质，理解性质的推导与内涵，明确变形的前提条件。 · 4. 能利用分式基本性质进行分式的恒等变形、符号变形、系数化简。03 知识•梳理 知识点1. 分式的定义 一般地，如果A、B都是整式，且B中含有字母，同时，那么式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 判定关键：分母含字母为分式，分母不含字母为整式；π为常数，含π的式子不属于分式。 知识点2. 分式有、无意义的条件 · 分式有意义：分母≠0，分子可为任意整式。 · 分式无意义：分母=0，与分子取值无关。 知识点3. 分式值为0的条件 必须同时满足两个条件：分子=0 且 分母≠0，缺一不可。分母为0时分式无意义，不可能为0。 知识点4. 分式值的正负性 · 分式值为正：分子、分母同号（同正或同负）。 · 分式值为负：分子、分母异号（一正一负）。 知识点5. 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：，（，C为整式）。 核心前提：C不能为0，否则变形无意义。 知识点6. 分式符号性质 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 常用变形：、、。 知识点7. 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后分式值不变，是恒等变形。 约分步骤：先对分子、分母因式分解，再找出公因式整体约去。 知识点8. 最简分式 分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式运算最终结果必须化为最简分式。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 解题技巧： 只看分母是否含有字母，分母含字母是分式，分母为常数（含π）为整式；与分子是否含字母、式子是否可化简无关，只看原式结构判定。 【典例1】．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在2026年米兰-科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播．据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这天该赛事的日均收看人数是（   ） A．万 B．万 C．万 D．万 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【变式3】．下列各式：，，，其中分式有_______个． 【题型2 分式有/无意义的条件】 解题技巧： 有意义只需保证分母不为0，解不等式即可；无意义只需令分母等于0解方程，全程无需考虑分子取值，避免多余计算。 【典例2】．若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】．当时，分式无意义，则m的值为______． 【变式3】．若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【题型3 分式值为零的条件】 解题技巧： 严格遵循“分子为0、分母不为0”双条件，先解分子为0的字母值，再代入分母检验，舍去使分母为0的增根，缺一不可。 【典例3】．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若分式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式2】．当___________时，分式的值为0． 【变式3】．若分式的值为0，则x的值为_________． 【题型4 分式的值】 解题技巧： 代入数值前先检验字母取值是否使分式有意义，无意义则无解；有意义时代入化简计算，可先约分再代入，简化运算步骤。 【典例4】．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【变式3】．下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 【题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 解题技巧： 观察分子、分母的变化倍数，若分子分母扩大缩小倍数一致，分式值不变；倍数不同则按比例判断增减，结合符号性质分析最终变化。 【典例5】．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【变式1】．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．缩小9倍 C．是原来的 D．不变 【变式2】．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【变式3】．如果把分式中，的值都扩大为原来的2024倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的4048倍 B．扩大为原来的2024倍 C．不变 D．缩小到原来的 【题型6利用分式的基本性质将分式变形】 解题技巧： 根据题目要求统一变形，可调整系数、消除小数、统一符号；变形必须分子分母同步操作，严格保证同乘同除，保持分式恒等。 【典例6】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【变式3】．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【题型7 约分】 解题技巧： 先因式分解分子、分母，找准整体公因式，整体约分；禁止局部单项约分，多项式必须整体看待，约分后检查无剩余公因式。 【典例7】．化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．括号内填___________． 【变式3】．化简：______． 【题型8 最简分式】 解题技巧： 判断分子分母是否存在公因式，无公因式即为最简分式；若可因式分解，需分解彻底后再判断，杜绝表面最简、实则可约分的情况。 【典例8】．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【变式3】．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【题型9 分式的规律性问题】 解题技巧： 分别观察分子、分母、符号的变化规律，拆分三部分单独找通项；列出前几项对比特征，总结通用公式，最后代入验证规律正确性。 【典例9】．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【变式1】．阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 【变式2】．已知，，，，……，，根据规律，请计算______（用含x的式子表示） 【变式3】．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，由图可知，则_____，_____． 05 过关•检测 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 3．要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 6．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 9．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 10．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．若分式有意义，则的取值范围是_____________． 12．使代数式有意义的x的取值范围是______． 13．已知，，则的值为________． 14．当正整数________时，分式的值也为整数． 15．若，则分式的值为________． 16．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 17．当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 18．当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 19．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 20．约分：． 21．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 22．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 23．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 24．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $