广东深圳市红岭教育集团2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

红岭教育集团2025-2026学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1.数学中有许多精美的曲线.下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 星形线 B. 三叶玫瑰线 阿基米德螺线 笛卡尔叶形线 2.下而各式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x 3.若a<b,则下列不等式中一定成立的是() a、b A.-a<-b B.2>2 C.3a>3b D.+1<b+I 4.下列分式中是最简分式的是（) A器 B.x-y x+y C. x2+2x+1 x+1 D. 1-x 5。不等式组低二乙的解集在数销上表示正确的是（) A. 2 01 C. D 6.如图，△ABC中，∠B=35°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<<180)后 得到△ADE,点E恰好落在BC上，则a=() B D A.10° B.20 C.30° D.40 7.对于命题“如果a<1,那么2<1”能证明它是假命题的反例是() A.a=-2 B.a=2 c.a=克 D.a=0 8.如图，把R△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、 (4,0).将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-4上时，线段BC扫过的面积为() y个 B A.4 B.8 C.12 D.16 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分) 9.若分式之有意义，则x的取值范围是 x-2 10.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮哪是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角 是 11.己知实数a,b,满足a+b=6,ab=7,则a2b+ab2的值为 、 12.关于x的不等式组6x?2≥1的解集为≥1，请写出一个符合条件的。的值： 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4V3,点P是AC上的动点，连接BP,以BP 为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在：运动过程中，线段CQ长度的最小值 是 小 P 三.解答题（共7小题，其中第14题11分，第15题6分，第16题7分，第17题8分，第18题10分， 第19题10分，第20题9分，共61分) 14.分解因式 (1)-2x3+8x2-8x: (2)x2(3x-2)+(2-3x). X- (3)解不等式组 2+3≥x+1 并求出它的整数解 1-3(x-1)<8-x 15,先化简，再求值：a-1-)+4, 其中a=1. 16.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,再把△A1B1C向上平移4个单位长度得到△A2B2C2. (1)画出△A1B1C和△A2B2C2: (2)△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是 (3)P(a,b)为线段AB上一点，其线段A2B2上的对应点坐标为 B 01234 6 17.如图，△ABC中，∠C=90°. (I)基本尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交AC于D,过点D作DE⊥AB于E.(保留作图痕迹， 不写作法和结论) (2)若AC=7,BC=6,AB=10,求△ADE的周长 18.根据以下紫材，探究完成任务. 背景 红岭教育集闭为了奖励竞赛中表现突出的学生，董 老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品 作为奖品. 紫材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签 共需210元：若买12个笔袋和12个徽章共需324 元 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折： 方式二：非会员所有商品打9折. 解决问题 (1)任务 线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单 价各是多少元？ (2)任务二 董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个， 其中购买笔袋m个(0<m<35),若董老师按方式 一购买，共需 元：若革老师按 方式二购买，共需 元.（均用 含m的代数式表示) (3)任务三 请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔 袋的数并在什么范围内时，选择方式一更划算？ 19.【主题】二元一次不等式的研究 【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和 不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元次不等式与一次函数的内在联系.创新小队提出新的 问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究： 任务一：探究发现 （1)已知二元一次不等式x+2-y>0. 步骤1：特例感知 令x+2-y=0时，可将此二元一次方程变形为一次函数：y=x+2,请在图1的平面直角坐标系中画出此 一次函数的图象 步骤2：探究过程 探究①： 取点A(1,3)时， ,当x=1时，代入y=x+2,得y=3, 点A在一次函数y=+2的图象上， 即吧二号是二元次方程2y=0的解. 探究②： 取点B(1,1)时， 将化1代入2-y得12-1=2>0， .不等式x+2-y>0成立， 即化=1是=元-次不等式2-y心0的解. y不 6 5 3 3 2 2 1LL11上》 -6-5-4-3-2-P123456x-6-5-4-3-2-0123456x -2 2 -4 -4 一6 -6 图1 图2 探究③： 取点B（1,1)时， 在图1中的直角坐标系中描出点B, :点B在一次函数y=x+2图象下方， 1<1+2,即满足y<x+2; 即二1是二元-次不等式2-心0的解 步骤3：验证猜想 通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中， (填序号)是二元一次不等式x+2-y>0 的解： @-2, y=3: ®-. - y=-2: 再写出一组满足二元一次不等式x+2-y>0的解： ;(备注：若所写的答案是上述题月中 己出现过的解，不给分) 步骤4：发现结论 二元一次不等式+2-y>0的解集可以表示为直线y=+2 (填“上方”或“下方”)的所 有点组成的区域。 任务二：结论应用 (x+2-y≤0 (2)己知不等式组 乞x+3-y之0，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解 y≥0 集所在的区域，并求出该阴影部分的面积. 任务三：拓展升华 (3)在(2)的条件下，若点(m,n)是阴影部分的一动点，记b=3m+n,则b的坟大值为 20.定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰 直角三角形，则这个对角线叫做“有趣线”，这个四边形叫做“有趣四边形” (1)①如图1，在四边形ABCD中，若AB=AC=AD=2,CD=2V2,则四边形ABCD (填 “是”或“否”)“有趣四边形”，若是，则一 是“有趣线”（若不是，此空不填）： ②如图1，若四边形ABCD为“有趣四边形”，AC为“有趣线”，且AB=5,BC=6,∠CAD=90°时， 当△ABC为等腰三角形时，CD的长为 (2)如图2，四边形ABCD和四边形AMBC均为“有趣四边形”，∠CAD=90°，∠BAM=90°，对 角线AC,AB分别为这两个四边形的“有趣线”，求证：BD=CM: (3)如图3，四边形ABCD为“有趣四边形”，AC为“有趣线”，若AB=2,BC=3,∠CBA=45°， 当AC为“有趣线”时，且AC恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时BD的长. B 图1 图2 图3 红岭教育集团2025-2026学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共8小题） 1.解：A、此曲线既是中心对称图形又是轴对称图形，故A符合题意： B、D巾的曲线是轴对称图形，不是巾心对称图形，故B、D不符合题意： C、此曲线不是中心对称图形，也不是轴对称图形，枚C不符合题意 故选：A. 2.解：A选项不是因式分解，故不符合题意； B选项计算错误，故不符合题意； C选项是因式分解，故符合题意： D选项不是因式分解，故不符合题意； 故选：C. 3.解：已知a<b, 两边同时乘以-1得-a>-b,则A不符合题意， 两边同时除以2得号<专则6不符合恩意， 两边同时乘以3得3a<3b,则C不符合题意， 两边同时加上1得a+1<b+1,则D符合题意， 故选：D. 4.解：A、该分式的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意： B、原式为最简分式，符合题意： C、该分式的分子、分母中含有公因式(x+1),不是最简分式，不符合趣意： D、该分式的分子、分母中含有公因式(x-1),不是最简分式，不符合题意： 故选：B. 5.解：不等式组任三2。 x<1 “的解集在数轴上表示正确的是A选项. 故选：A 6.解：∠B=35°，∠BAC=70°， .∠C=180°-∠B-∠BAC=75°， 将△ABC绕点A旋转逆时针旋转a度(0<a<180)后得到△ADE,点E恰好洛在BC上， .∴.AC=AE,∠CAE=, .∠AEC=∠C=75°， ∴.∠CAE=a=180°-∠AEC-∠C=30°， 故选：C 7.解：A、当a=-2时，a<1,而2>1， 说明命题“如果a<1,那么a<1”是假命题，符合题意： B、当a=2时，a>1, 不能说明命题“如果a<1,那么a<1”是假命题，不符合题意： C、当a=2时，a<1,而a2<1, 不能说明命题“如果a<1,那么a2<1”是假命题，不符合题意： D、当a=0时，a<1,而a2<1, 不能说明命题“如果a<1,那么a2<1”是假命题，不符合题意： 故选：A. 8.解：如图所示，线段BC扫过的面积为平行四边形BB'CC的面积， y A A 由条件可知AB=3, .∠CAB=90°，BC=5, .AC=VBC2-AB2=V52-32=4, A'C=4, .点C的纵坐标为4， ,点C在直线y=2x-4上， .2x-4=4, 解得：x=4,即0A'=4, ∴.CC'=4-1=3, ∴.SOBB,C=3X4=12, 即线段BC扫过的而积为12， 故选：C. 二.填空题（共5小题） ).解：分式产2有意义， .x-2≠0， 解得，x≠2， 故答案为：x≠2. 10.解： (8-2)×180 =135°， 8 即这个正八边形的一个内角是135°， 故答案为：135， 11.解：.a+b=6,b=7, ..a-brab2 =ab (a+b) =7×6 =42. 故答案为：42， 12.解：关丁x的不等式组（三的解集为x≥1， .a≤1， ∴符合条件的a的值为：1， 故答案为：1（答案不唯一) 13.解：如图，取AB的中点E,连接CE,PE ∠ACB=90°，∠A=30°， ∴.∠CBE=60°， .BE=AE, ..CE=BE=AE, .△BCE是等边三角形， .BC=BE, :∠PBQ=∠CBE=60°， .∠QBC=∠PBE, .QB=PB,CB=EB, ∴.△QBC≌△PBE(SAS), ∴.QC=PE, 当EP⊥AC时，QC的值收小， 在Rt△AEP中，，AE=2V3,∠A=30°， ∴PE=2AE=V3 .CQ的最小值为3. 三.解答题（共7小题） 14.解：(1)原式=-2x(x2-4+4) =-2x(x-2)2; (2)原式=x2(3x-2)-(3x-2) =(3x-2)(x2-1) =（3x-2)(x+1)(x-1). (3)23+3≥x+10 1-3(x-1)<8-x② 解不等式①得x≤1， 解不等式②得x>-2, 不等式组的解集为-2<x≤1， .不等式组的整数解为：-1,0,1. 15.解：原式=a-+-a品+4 a+1 a+1 ==-a1+34 a+1 =Q24 a+1 a+1a2-4a+4 =(a+2a-2.a+1 a+1 (a-2)2 -842 a-2 当a=1时，原式-号-普当=-3. 16.解：(1)如图，△A1B1C和△A2B2C2即为所求： (2)如图，连接BB2,CC2,两线交于点(0,2)， .△A2B2C2与△ABC关于点(0,2)成中心对称： 故答案为：(0,2) (3)设点P(a,b)的对应点为P2（x,y), 则空=0，安=2 2 .x=-a,y=4-b: .P3（-a,4-b): 故答案为：（-a,4-b). y 5 3 17.解：(1)如图，BD,DE即为所求， A B (2).∠C=90°， ∴.DC⊥BC, DE⊥AB,∠CBD=∠DBE, .CD=DE, 在Rt△CDB与Rt△EDB中， (CD =ED BDBD .∴.Rt△CDB≌Rt△EDB(HL), ∴BC=BE=6, ∴.AE=AB-BE=10-6=4, ∴.△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=7+4=11. 18.解：任务一~：设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据题 意得：81gy2394 6投 答：线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元： 任务二：根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8(35-:）=（384+2.4m) (元)： 若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9(35-m)=(378+2.7m)(元)： 故答案为：(384+2.4m),(378+2.7m): 任务三：根据题意得：384+2.4m<378+2.7m, 解得：m>20, 又.0<m<35, ∴.20<m<35. 答：在任务二的条件下，购买笔袋的数量20<m<35时，选择方式一更划算. 19.解：(1)步骤1：如图， 5 3 2 -5-4-3Y2-0 12345x -2 -3 -4 -5 人 图1 步骤3：①将=号代入2-y得22-3=1>0， 一化=号是二元-次不等式2->0伯解 @将=7代入2-y得2*5-7=0. 化不是=元-次不等式2-心0的解， ®将二-3代 =-1代入x+2-y得-3+2-(-2)=-2<0， 。1不是二元一次不等式x+2-y>0的解： 再写出一组满足二元一次不等式x+2-y>0的解：(3,1)（答案不唯一)： 故答案为：①，（3,1)（答案不唯一)： 步骤4：二元一次不等式x+2-y>0的解集可以表示为直线y=+2下方的所有点组成的区域. 故答案为：下方： (x+2-y≤0 2)不等式纽2x+3-y≥0， y≥0 1 在图2的平面直角坐标系中，画出y=+2,=+3的阁象，如图， y 4 3 M 上L上上上 -6-5-4-22-P12345x -2 -3 -4 -5 图2 由图得，△MNQ即为不等式纽的解集所在的区域， 该阴影部分的面积SaQ=NOM: y=x+2 1 得，x=2 y=x+3=4' .M(2,4), “该阴影部分的面积SanQ=20:bM=2×4×4=8: (3)出图(2)得，M(2,4)是阴影部分的一点， ∴.m的最大值为2，n的最大值为4， ∴.b=3m+n=3X2+4=10, 则b的最大值为10. 故答案为：10. 20.(1)解：①在四边形ABCD中，AB=AC=AD=2,CD=2V2, ∴AC2+AD2=22+22=8,CD2=(2V2)2=8, ∴.AC2+AD2=CD2, ∴△ADC是等腰直角二角形， .四边形ABCD是“有趣四边形”，且AC是“有趣线”， 故答案为：是：AC: ②当AC=AB=5时， .AC2+AB2=52+52=50≠BC2=62, ∴此时△ABC不是等腰直角三角形， 同理可得当AC=BC=6时，△ABC不是等腰直角三角形， 四边形ABCD为“有趣四边形”，AC为“有趣线”， ∴.△ADC是等腰直角三角形， .∠CAD=90°， ∴.AC=AD, 当AC=AB=5时，则CD=√AC2+AD2=5V2: 当AC=BC=6时，CD=VAC2+AD=6V2: 综上所述，CD的长为5V2或6V2, 故答案为：5V2或6V2: (2)证明：由题意知：△CAD和△BAM都是等腰直角三角形， ,∠CAD=∠BAM=90°， ∴.CA=DA,BA=AM, .∠CAD+∠BAC=∠BAM+∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAM, 在△BAD和△M4C中， (AD=AC ∠BAD=∠MAC, BA=MA '.△BAD≌△MAC(SAS), ∴.BD=CM (3)解：BD=√17或√22.理h如下： 同理可证明△ABC不是等腰直角三角形， ,四边形ABCD为“有趣四边形”，AC为“有趣线”， ∴△CAD是等腰直角三角形， 当∠CAD=90°时，如图3，作AM⊥BA,取AM=AB,连接BM,CM, 名 B D C 图3 同理可证明△BAD≌△MAC, ∴.BD=CM, ,AB=2,△BAM是等腰直角三角形， 由勾股定理得：BM=VAB2+AMz=2√2，_MBA=45°， ∠ABC=45°， .∠MBC=90°， 由勾股定理得：CM=VBM2+BC2= (2W2)2+32=V17 ∴.BD=V17: 当∠ACD=90°时，如图4，同理可得AM=BD=V22, D M 图4 综上所述，BD=V17或V2z