数学（江苏徐州卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 第Ⅰ卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A A C B A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9．3 10．2.5×109 11． 8π 12．2 13．y＝x2﹣2x﹣3 14． 15．或 16．3 17． 2 18．①②④⑤ 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 【解析】（1）原式＝222（2分） ；（5分） （2）原式（7分） ．（10分） 20．（10分） 【解析】（1）x2﹣2x﹣2＝0， （x﹣1）2＝3，（3分） x﹣1， ∴；x2＝1．（5分） （2）由2x＜6， 得x＜3；（6分） 由3x﹣1≥x+1， 得x≥1．（8分） ∴不等式组的解集为：1≤x＜3．（10分） 21．（7分） 【解析】（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：；（3分） （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率为．（7分） 22．（7分） 【解析】（1）将乙班成绩重新排列为56，75，79，83，85，90、90，100， 所以乙班成绩的中位数m84，甲班成绩的众数n＝80， 由折线图知，甲班成绩更为集中， 所以s甲2＜s乙2， 故答案为：84、80、＜；（3分） （2）乙班成绩比较好，理由如下： 两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，代表乙班成绩高分人数比甲班多，所以乙班成绩比较好；（5分） （3）524839+30＝69（人）， 答：估计这两个班获奖的总人数是69人．（7分） 23．（8分） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD， ∴∠C＝∠EDF， ∵E为CD边的中点， ∴CE＝DE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）．（4分） （2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：（5分） ∵△BCE≌△FDE， ∴CE＝DE，CB＝DF， ∵CB＝DA， ∴DF＝DA， ∵DG＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵CD∥AB， ∴∠CEB＝∠ABE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝CB＝DA， ∵CE＝DE， ∴DA＝DE， ∵AF＝2DA，GE＝2DE， ∴AF＝GE， ∴四边形AEFG是矩形．（8分） 24．（8分） 【解析】（1）根据题意得：答对一题得100÷20＝5（分）， 答错一题扣5×19﹣93＝2（分）． 故答案为：5，2；（3分） （2）设参赛者F答对了x道题，则答错（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣2（20﹣x）＝72， 解得：x＝16． 答：参赛者F答对了16道题；（5分） （3）参赛者G不可能得80分，理由如下： 假设参赛者G能得80分，设参赛者G答对y道题，则答错（20﹣y）道题， 根据题意得：5y﹣2（20﹣y）＝80， 解得：y， 又∵答对题目数需为整数，不是整数， ∴假设不成立， ∴参赛者G不可能得80分．（8分） 25．（8分） 【解析】（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E， 由题意得：∠PAC＝45°，BG∥PE∥AC， ∴∠GBP＝∠BPE＝18°，∠PAC＝∠APE＝45°， ∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝45°+18°＝63°， 故答案为：63；（3分） （2）延长PD交AC于点F， 由题意得：PF⊥AF， 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴DFCD＝8（米）， ∴点D到地面AC的距离为8米；（5分） （3）由题意得：AB＝53米，AE＝PF， 设PE＝x米， 在Rt△AEP中，∠APE＝45°， ∴AE＝PE•tan45°＝x（米）， 在Rt△BEP中，∠BPE＝18°， ∴BE＝PE•tan18°≈0.325x（米）， ∵AE+BE＝AB， ∴x+0.325x＝53， 解得：x＝40， ∴AE＝PF＝40米， ∵DF＝8米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米）， ∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．（8分） 26．（8分） 【解析】（1）由旋转的性质得：∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴△CAE为等腰直角三角形， ∴∠ACE＝45°， 故答案为：45°．（2分） （2）如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG， 由旋转的性质可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝2，∠ABE＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC+∠ADG＝180°， ∴G，D，C三点共线． ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝∠FAG＝45°＝∠EAF． ∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△GAF≌△EAF（SAS）． ∴GF＝EF． ∵GF＝GD+DF＝2+3＝5， ∴EF＝5． 设正方形的边长为x，则CE＝x﹣2，CF＝x﹣3， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52， 解得x1＝6，x2＝﹣1（负值舍去）． ∴正方形ABCD的边长为6．（4分） （3）①如图，将△ADC绕点C逆时针旋转至△CBE，连接AE， （6分） ②由旋转的性质可得AD＝BE＝3，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC， ∴∠BCD＝∠ACE． 又∵CD＝CB，， ∴△DCB∽△ACE． ∴． ∴BDAE． ∵∠BAD+∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝270°． ∵∠ADC＝∠EBC， ∴∠ABC+∠EBC＝270°． ∴∠ABE＝90°． ∴AE5． ∴BDAE．（8分） 27．（10分） 【解析】（1）∵OA＝OC＝4， ∴A（﹣4，0），C（0，4）， 将A、C坐标代入抛物线解析式可得， ，解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；（3分） （2）∵△APQ和△ABQ的高相等， ∴S△APQ：S△ABQ＝PQ：BQ， 过P作PG∥y轴交直线AC于点G，过B作BH∥y轴交直线AC于点H， 则PG∥BH， ∴， 设直线AC解析式为y＝mx+n， 将点A、C坐标代入得，， 解得， ∴直线AC解析式为y＝x+4， 令﹣x2﹣3x+4＝0， 解得x＝﹣4或x＝1， 当x＝1时，y＝x+4＝5， ∴H（1，5），则BH＝5， 设P（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+4）， ∴PG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣t2﹣4t， 当S△APQ：S△ABQ＝3：5时， 则，即， 解得t＝﹣1或t＝﹣3， 当t＝﹣1时，﹣t2﹣3t+4＝6，此时P（﹣1，6）； 当t＝﹣3时，﹣t2﹣3t+4＝4，此时P（﹣3，4）； 当S△APQ：S△ABQ＝5：3时， 则，即， 整理得3t2+12t+25＝0， Δ＝144﹣300＝﹣156＜0 此时方程无解； 综上，P（﹣1，6）或（﹣3，4）；（6分） （3）∵OA＝OC， ∴∠OAC＝45°， ∴∠BCO+∠BNO＝45°， 当点N在y轴负半轴时，如图，作直线BN，过C作CM⊥BC交BN于点M， 则∠CBM＝∠BCO+∠BNO＝45°， ∴△CBM为等腰直角三角形， ∴CM＝CB， 过M作MK⊥y轴于点K， ∴∠MKC＝∠BCM＝∠BOC＝90°， ∴∠MCK＝∠OBC＝90°﹣∠BCO， ∴△CMK≌△BCO（AAS）， ∴MK＝OC＝4，CK＝OB＝1， ∴M（4，5）， 由点B（1，0）、M（4，5）可得直线BN解析式为yx， 令x＝0，得y， ∴N（0，）； 当点N在y轴正半轴时，根据对称性可知和负半轴的N点关于x轴对称，即此时N（0，）； 综上，N（0，）或（0，）．（10分） 28．（10分） 【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•BA；（3分） （2）如图1， ①作AB的垂直平分线，交AB于点O， ②以O为圆心，OA为半径作⊙O， ③在AB上截取CD＝CB，作BD的垂直平分线EF，交⊙O于E， ④以点B为圆心，BE为半径作⊙B， 则点P在是除直线AB与⊙B的两个交点外的⊙B上；（6分） （3）如图2， 以AB为直径作⊙O，作DE⊥AB交⊙O于E，以B为圆形，BE为半径作⊙B， 则点C在上（不包括点A）， 当点C在E点处时， 设BD＝a，AD＝2a， 由射影定理得， BE2＝BD•AB＝a•3a，AE2＝AD•AB＝2a•3a， ∴BE，AEa， ∴， ∴， 故答案为：（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（　　） A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m6 5．某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 6．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时y1＜y2，一定满足此规律的函数是（　　） A．y＝x+1 B．y＝1 C． D．y＝﹣x2+1 8．把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，△A1B1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2B2C2是△A1B1C1的中点三角形，…依此类推，当AB＝2时，△AnBn∁n的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9．|﹣3|＝　 　 ． 10．已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除　 　 次（用科学记数法表示）． 11．如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　 　 ． 12．设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　 　 ． 13．将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象沿着y轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是　 　 ． 14．如图，BC是⊙O的弦，D是BC的中点，半径OA经过点D，AE与⊙O相切于点A，交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，点E在AB上．若△ADE与△ABC相似，则DE＝　 　 cm． 16．已知直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n），那么代数式2m2n﹣mn2的值为　 　 ． 17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　 　 ． 18．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，其中c＞0）与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，下列五个结论： ①ab＜0； ②c＝﹣3a； ③若且x1≠x2，则x1+x2＝2； ④对任意实数x，不等式ax2+bx+c≤﹣4a恒成立； ⑤若一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0两根为m，n（m＜n），则m＜﹣1＜n＜3． 其中正确的是　 　 （填写序号）． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0；（2）解不等式组：． 21．（7分）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 　 　 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 22．（7分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90、79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表． 特征数 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 n s甲2 乙班 82.25 m 90 s乙2 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，s甲2　 　 s乙2（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）请选择以上数据进行分析，你认为哪个班成绩比较好，并说明理由．（写出一条即可） （3）甲班共有学生52人，乙班共有学生48人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 23．（8分）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 24．（8分）某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5名同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 D 14 6 58 E 10 10 30 （1）答对一题得 　 　 分，答错一题扣 　 　 分． （2）参赛者F得分72分，他答对了几道题？ （3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 25．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°． （1）填空：∠APB＝　 　 °； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 26．（8分）【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接CE，DB，则∠ACE的度数为 　 　 ； 【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD边上，且满足角∠EAF＝45°，BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD与∠BCD互余，AC，BD为对角线，且满足． （1）将△CDA绕点C逆时针旋转到△CBE，连接AE，在图3补全图形； （2）若AD＝3，AB＝4，求BD的长． 27．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分△ABP的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得∠BCO+∠BNO＝∠OAC，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（10分）（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证BC2＝BD•BA． （2）已知点C在线段AB上．在图②中，用直尺和圆规作出一个△PBC，使得∠CPB＝∠PAB且∠APB是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） （3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝2BD，连接CD．若线段CD上存在点P（包含端点），使得∠BPD＝∠BAP，则的取值范围是　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[AJIBJ[CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 5[A]IB][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[AJIBIIC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 10. 11. 12 13 14. 5 16. 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(7分) 22.(7分) 抽取学生的竞赛成绩折线统计图 甲班… 。 乙班 012345678学生编号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) Q30 图1 图2 26.(8分) Ψ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 备用图 28.(10分) B ① 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ---------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 7.AI[BIICIIDI 2.IAIIBIICIIDI 5.IAIIBIICIIDI 8AIIBIICIIDI 3.IAJIBIICIIDI 6.[AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 10. 11 12 13. 14 15 17 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(7分) 22.(7分) 抽取学生的竞赛成绩折线统计图 +成绩分 100 甲班 乙班 0000 012345678学生编号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) 30° 图1 图2 26.(8分) 7下 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 备用图 28.(10分) 个 D ② ⊙ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（　　） A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m6 5．某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 6．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时y1＜y2，一定满足此规律的函数是（　　） A．y＝x+1 B．y＝1 C． D．y＝﹣x2+1 8．把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，△A1B1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2B2C2是△A1B1C1的中点三角形，…依此类推，当AB＝2时，△AnBn∁n的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9．|﹣3|＝　 　 ． 10．已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除　 　 次（用科学记数法表示）． 11．如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　 　 ． 12．设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　 　 ． 13．将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象沿着y轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是　 　 ． 14．如图，BC是⊙O的弦，D是BC的中点，半径OA经过点D，AE与⊙O相切于点A，交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，点E在AB上．若△ADE与△ABC相似，则DE＝　 　 cm． 16．已知直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n），那么代数式2m2n﹣mn2的值为　 　 ． 17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　 　 ． 18．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，其中c＞0）与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，下列五个结论： ①ab＜0； ②c＝﹣3a； ③若且x1≠x2，则x1+x2＝2； ④对任意实数x，不等式ax2+bx+c≤﹣4a恒成立； ⑤若一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0两根为m，n（m＜n），则m＜﹣1＜n＜3． 其中正确的是　 　 （填写序号）． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0；（2）解不等式组：． 21．（7分）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 　 　 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 22．（7分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90、79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表． 特征数 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 n s甲2 乙班 82.25 m 90 s乙2 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，s甲2　 　 s乙2（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）请选择以上数据进行分析，你认为哪个班成绩比较好，并说明理由．（写出一条即可） （3）甲班共有学生52人，乙班共有学生48人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 23．（8分）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 24．（8分）某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5名同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 D 14 6 58 E 10 10 30 （1）答对一题得 　 　 分，答错一题扣 　 　 分． （2）参赛者F得分72分，他答对了几道题？ （3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 25．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°． （1）填空：∠APB＝　 　 °； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 26．（8分）【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接CE，DB，则∠ACE的度数为 　 　 ； 【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD边上，且满足角∠EAF＝45°，BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD与∠BCD互余，AC，BD为对角线，且满足． （1）将△CDA绕点C逆时针旋转到△CBE，连接AE，在图3补全图形； （2）若AD＝3，AB＝4，求BD的长． 27．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分△ABP的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得∠BCO+∠BNO＝∠OAC，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（10分）（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证BC2＝BD•BA． （2）已知点C在线段AB上．在图②中，用直尺和圆规作出一个△PBC，使得∠CPB＝∠PAB且∠APB是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） （3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝2BD，连接CD．若线段CD上存在点P（包含端点），使得∠BPD＝∠BAP，则的取值范围是　 　 ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】D 【解析】由题意，得x﹣1≥0， ∴x≥1， ∴实数x的值可以是2． 故选：D． 2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 3．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 4．下列运算中，正确的是（　　） A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m6 【答案】A 【解析】A．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵m3•m3＝m6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（m3）3＝m9，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是折线统计图． 故选：C． 6．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故选：B． 7．已知函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时y1＜y2，一定满足此规律的函数是（　　） A．y＝x+1 B．y＝1 C． D．y＝﹣x2+1 【答案】A 【解析】∵函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时y1＜y2， ∴此函数y随x的增大而增大， A、函数y＝x+1中，k＞0 ∴y随x的增大而增大，满足 x1＜x2时y1＜y2， 故A符合题意； B、函数y＝1的图象是平行于x轴的直线，无论x怎么变化，y的值始终是 1， ∴当x1＜x2时y1＝y2＝1，不满足y1＜y2， 故B不合题意； C、函数y的图象在一、三象限的双曲线，在每个象限内，y随x的增大而减小． 故C不合题意； D、函数y＝﹣x2+1的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大， 故D不符合题意； 故选：A． 8．把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，△A1B1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2B2C2是△A1B1C1的中点三角形，…依此类推，当AB＝2时，△AnBn∁n的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】△A1B1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2B2C2是△A1B1C的中点三角形，…依此类推， 如图，过C点作CD⊥AB， ∵△ABC是等边三角形，且AB＝2， ∴AC＝2，， ∴， ∴， ∵点A1、B1、C1分别为等边△ABC的边AC、BC、AB的中点， ∴，，， ∴△A1B1C1∽△ABC，相似比为， ∵△ABC的面积为， ∴△A1B1C1的面积为， 同理，△A2B2C2的面积为， 则△AnBn∁n的面积为． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9．|﹣3|＝　3　 ． 【答案】3． 【解析】|﹣3|＝3． 故答案为：3． 10．已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除　2.5×109 次（用科学记数法表示）． 【答案】2.5×109． 【解析】这个工具1秒可以擦除1÷（400×1×10﹣12）＝2.5×109（次）． 故答案为：2.5×109． 11．如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　8π　 ． 【答案】8π． 【解析】∵母线l与高AO的夹角为30°，母线l长为4， ∴圆锥的底面圆的半径r4＝2， ∴圆锥侧面展开图的面积＝πrl＝π×2×4＝8π． 故答案为：8π． 12．设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　2　 ． 【答案】2． 【解析】x2+2x﹣9＝0， 移项得：x2+2x＝9， 配方得：x2+2x+1＝9+1， 即（x+1）2＝10， 直接开平方得：x+1＝±， 解得：x11，x21， ∵9＜10＜16， ∴34， ∴21＜3， 则m＝2， 故答案为：2． 13．将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象沿着y轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是y＝x2﹣2x﹣3　 ． 【答案】y＝x2﹣2x﹣3． 【解析】由题知， 二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， 则将该二次函数图象沿y轴翻折后，所得抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）且开口大小和方向与原抛物线相同， 所以得到的新的图象对应的函数表达式是y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． 故答案为：y＝x2﹣2x﹣3． 14．如图，BC是⊙O的弦，D是BC的中点，半径OA经过点D，AE与⊙O相切于点A，交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为　　 ． 【答案】． 【解析】∵D是⊙O的弦BC的中点，且BC＝2， ∴CD＝BDBC＝1， ∵半径OA经过弦BC的中点D， ∴OA⊥BC于点D， ∴∠ODC＝90°， ∵∠AOC＝45°， ∴∠DCO＝∠AOC＝45°， ∴OD＝CD＝1， ∴OA＝OC， ∵AE与⊙O相切于点A，交OC的延长线于点E， ∴AE⊥OA， ∴∠OAE＝90°， ∴∠E＝∠AOC＝45°， ∴AE＝OA， 故答案为：． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，点E在AB上．若△ADE与△ABC相似，则DE＝　或　 cm． 【答案】或． 【解析】∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴AB5（cm）， ∵D是AC的中点， ∴ADAC＝2（cm）， 当△ADE∽△ACB时，，即， 解得DE； 当△ADE∽△ABC时，，即， 解得DE， 综上所述，DE的长为或． 故答案为：或． 16．已知直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n），那么代数式2m2n﹣mn2的值为　3　 ． 【答案】3． 【解析】由题知， 因为直线y＝2x﹣1与双曲线的交点为（m，n）， 所以n＝2m﹣1，， 即2m﹣n＝1，mn＝3， 所以2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）＝3×1＝3． 故答案为：3． 17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　2　 ． 【答案】2． 【解析】如图，连接OC，OD，OE，OD交CE于点M，过点O作ON⊥CD于点N，设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝OE＝r， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠COD60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是正三角形， ∴CD＝OC＝OD＝r， ∵ON⊥CD， ∴CN＝DNCDr， ∴ONr， ∴正六边形ABCDEF的面积为S1＝6S△COD＝6rrr2； 由题意可知，△ACE是⊙O的内接正三角形， ∴∠COM＝60°， ∴OMOCr，CMOCr， ∴CE＝2CMr， ∴△ACE的面积为S2＝3S△OCE＝3rrr2； ∴2． 18．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，其中c＞0）与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，下列五个结论： ①ab＜0； ②c＝﹣3a； ③若且x1≠x2，则x1+x2＝2； ④对任意实数x，不等式ax2+bx+c≤﹣4a恒成立； ⑤若一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0两根为m，n（m＜n），则m＜﹣1＜n＜3． 其中正确的是　①②④⑤　 （填写序号）． 【答案】①②④⑤． 【解析】已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点， 根据二次函数交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2为与x轴交点的横坐标），可得y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 由此可知b＝﹣2a，c＝﹣3a， 因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，且抛物线开口向下（由a＜0决定，因为抛物线与x轴有两个交点且c＞0，所以a＜0）， 由b＝﹣2a，a＜0， 可得b＞0， 所以ab＜0，结论①正确； 由前面分析可知c＝﹣3a，结论②正确； 已知bx1bx2， 移项可得bx1+bx2＝0， 因式分解得a（）﹣b（x1﹣x2）＝0， 进一步变形为a（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）＝0， 因为x1≠x2， 所以x1﹣x2≠0， 等式两边同时除以x1﹣x2得a（x1+x2）﹣b＝0， 将b＝﹣2a代入可得a（x1+x2）+2a＝0， 因为a≠0， 等式两边同时除以a得x1+x2+2＝0， 即x1+x2＝﹣2，结论③错误； 由y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， 因为a＜0， 所以当x＝1时，y有最大值﹣4a， 即对任意实数x，不等式ax2+bx+c≤﹣4a恒成立，结论④正确； 一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根为m，n（m＜n），可看作二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴交点的横坐标， 令y1＝ax2+bx+c，y2＝x， 则方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根就是y1＝y2时x的值， 当x＝﹣1时，y1＝0，y2＝﹣1，y1＞y2； 当x＝3时，y1＝0，y2＝3，y1＜y2， 因为a＜0， 所以二次函数y1＝ax2+bx+c开口向下， 结合图象可知m＜﹣1＜n＜3，结论⑤正确； 综上，正确的是①②④⑤． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）原式＝222 ； （2）原式 ． 20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；x2＝1．（2）1≤x＜3． 【解析】（1）x2﹣2x﹣2＝0， （x﹣1）2＝3， x﹣1， ∴；x2＝1． （2）由2x＜6， 得x＜3； 由3x﹣1≥x+1， 得x≥1． ∴不等式组的解集为：1≤x＜3． 21．（7分）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 　　 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率为． 22．（7分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90、79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表． 特征数 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 n s甲2 乙班 82.25 m 90 s乙2 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：m＝ 　84　 ，n＝ 　80　 ，s甲2　＜　 s乙2（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）请选择以上数据进行分析，你认为哪个班成绩比较好，并说明理由．（写出一条即可） （3）甲班共有学生52人，乙班共有学生48人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）84、80、＜；（2）乙班成绩比较好，理由见解答（答案不唯一，合理均可）；（3）69人． 【解析】（1）将乙班成绩重新排列为56，75，79，83，85，90、90，100， 所以乙班成绩的中位数m84，甲班成绩的众数n＝80， 由折线图知，甲班成绩更为集中， 所以s甲2＜s乙2， 故答案为：84、80、＜； （2）乙班成绩比较好，理由如下： 两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，代表乙班成绩高分人数比甲班多，所以乙班成绩比较好； （3）524839+30＝69（人）， 答：估计这两个班获奖的总人数是69人． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解答； （2）四边形AEFG是矩形，理由见解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD， ∴∠C＝∠EDF， ∵E为CD边的中点， ∴CE＝DE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）． （2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下： ∵△BCE≌△FDE， ∴CE＝DE，CB＝DF， ∵CB＝DA， ∴DF＝DA， ∵DG＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵CD∥AB， ∴∠CEB＝∠ABE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝CB＝DA， ∵CE＝DE， ∴DA＝DE， ∵AF＝2DA，GE＝2DE， ∴AF＝GE， ∴四边形AEFG是矩形． 24．（8分）某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5名同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 D 14 6 58 E 10 10 30 （1）答对一题得 　5　 分，答错一题扣 　2　 分． （2）参赛者F得分72分，他答对了几道题？ （3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】（1）5，2； （2）16道； （3）参赛者G不可能得80分，理由见解答． 【解析】（1）根据题意得：答对一题得100÷20＝5（分）， 答错一题扣5×19﹣93＝2（分）． 故答案为：5，2； （2）设参赛者F答对了x道题，则答错（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣2（20﹣x）＝72， 解得：x＝16． 答：参赛者F答对了16道题； （3）参赛者G不可能得80分，理由如下： 假设参赛者G能得80分，设参赛者G答对y道题，则答错（20﹣y）道题， 根据题意得：5y﹣2（20﹣y）＝80， 解得：y， 又∵答对题目数需为整数，不是整数， ∴假设不成立， ∴参赛者G不可能得80分． 25．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°． （1）填空：∠APB＝　63　 °； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 【答案】（1）63； （2）点D到地面AC的距离为8米； （3）该风力发电机塔杆PD的高度约为32米． 【解析】（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E， 由题意得：∠PAC＝45°，BG∥PE∥AC， ∴∠GBP＝∠BPE＝18°，∠PAC＝∠APE＝45°， ∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝45°+18°＝63°， 故答案为：63； （2）延长PD交AC于点F， 由题意得：PF⊥AF， 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴DFCD＝8（米）， ∴点D到地面AC的距离为8米； （3）由题意得：AB＝53米，AE＝PF， 设PE＝x米， 在Rt△AEP中，∠APE＝45°， ∴AE＝PE•tan45°＝x（米）， 在Rt△BEP中，∠BPE＝18°， ∴BE＝PE•tan18°≈0.325x（米）， ∵AE+BE＝AB， ∴x+0.325x＝53， 解得：x＝40， ∴AE＝PF＝40米， ∵DF＝8米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米）， ∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米． 26．（8分）【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接CE，DB，则∠ACE的度数为 　45°　 ； 【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD边上，且满足角∠EAF＝45°，BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD与∠BCD互余，AC，BD为对角线，且满足． （1）将△CDA绕点C逆时针旋转到△CBE，连接AE，在图3补全图形； （2）若AD＝3，AB＝4，求BD的长． 【答案】（1）45°； （2）6； （3）①②． 【解析】（1）由旋转的性质得：∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴△CAE为等腰直角三角形， ∴∠ACE＝45°， 故答案为：45°． （2）如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG， 由旋转的性质可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝2，∠ABE＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC+∠ADG＝180°， ∴G，D，C三点共线． ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝∠FAG＝45°＝∠EAF． ∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△GAF≌△EAF（SAS）． ∴GF＝EF． ∵GF＝GD+DF＝2+3＝5， ∴EF＝5． 设正方形的边长为x，则CE＝x﹣2，CF＝x﹣3， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52， 解得x1＝6，x2＝﹣1（负值舍去）． ∴正方形ABCD的边长为6． （3）①如图，将△ADC绕点C逆时针旋转至△CBE，连接AE， ②由旋转的性质可得AD＝BE＝3，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC， ∴∠BCD＝∠ACE． 又∵CD＝CB，， ∴△DCB∽△ACE． ∴． ∴BDAE． ∵∠BAD+∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝270°． ∵∠ADC＝∠EBC， ∴∠ABC+∠EBC＝270°． ∴∠ABE＝90°． ∴AE5． ∴BDAE． 27．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分△ABP的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得∠BCO+∠BNO＝∠OAC，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）P（﹣1，6）或（﹣3，4）； （3）N（0，）或（0，）． 【解析】（1）∵OA＝OC＝4， ∴A（﹣4，0），C（0，4）， 将A、C坐标代入抛物线解析式可得， ，解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）∵△APQ和△ABQ的高相等， ∴S△APQ：S△ABQ＝PQ：BQ， 过P作PG∥y轴交直线AC于点G，过B作BH∥y轴交直线AC于点H， 则PG∥BH， ∴， 设直线AC解析式为y＝mx+n， 将点A、C坐标代入得，， 解得， ∴直线AC解析式为y＝x+4， 令﹣x2﹣3x+4＝0， 解得x＝﹣4或x＝1， 当x＝1时，y＝x+4＝5， ∴H（1，5），则BH＝5， 设P（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+4）， ∴PG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣t2﹣4t， 当S△APQ：S△ABQ＝3：5时， 则，即， 解得t＝﹣1或t＝﹣3， 当t＝﹣1时，﹣t2﹣3t+4＝6，此时P（﹣1，6）； 当t＝﹣3时，﹣t2﹣3t+4＝4，此时P（﹣3，4）； 当S△APQ：S△ABQ＝5：3时， 则，即， 整理得3t2+12t+25＝0， Δ＝144﹣300＝﹣156＜0 此时方程无解； 综上，P（﹣1，6）或（﹣3，4）； （3）∵OA＝OC， ∴∠OAC＝45°， ∴∠BCO+∠BNO＝45°， 当点N在y轴负半轴时，如图，作直线BN，过C作CM⊥BC交BN于点M， 则∠CBM＝∠BCO+∠BNO＝45°， ∴△CBM为等腰直角三角形， ∴CM＝CB， 过M作MK⊥y轴于点K， ∴∠MKC＝∠BCM＝∠BOC＝90°， ∴∠MCK＝∠OBC＝90°﹣∠BCO， ∴△CMK≌△BCO（AAS）， ∴MK＝OC＝4，CK＝OB＝1， ∴M（4，5）， 由点B（1，0）、M（4，5）可得直线BN解析式为yx， 令x＝0，得y， ∴N（0，）； 当点N在y轴正半轴时，根据对称性可知和负半轴的N点关于x轴对称，即此时N（0，）； 综上，N（0，）或（0，）． 28．（10分）（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证BC2＝BD•BA． （2）已知点C在线段AB上．在图②中，用直尺和圆规作出一个△PBC，使得∠CPB＝∠PAB且∠APB是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） （3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝2BD，连接CD．若线段CD上存在点P（包含端点），使得∠BPD＝∠BAP，则的取值范围是　　 ． 【答案】（1）∵CD⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•BA； （2）如图1， （3） 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•BA； （2）如图1， ①作AB的垂直平分线，交AB于点O， ②以O为圆心，OA为半径作⊙O， ③在AB上截取CD＝CB，作BD的垂直平分线EF，交⊙O于E， ④以点B为圆心，BE为半径作⊙B， 则点P在是除直线AB与⊙B的两个交点外的⊙B上； （3）如图2， 以AB为直径作⊙O，作DE⊥AB交⊙O于E，以B为圆形，BE为半径作⊙B， 则点C在上（不包括点A）， 当点C在E点处时， 设BD＝a，AD＝2a， 由射影定理得， BE2＝BD•AB＝a•3a，AE2＝AD•AB＝2a•3a， ∴BE，AEa， ∴， ∴， 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $