辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

《2025-2026学年度下学期期中高一数学试题》参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 9 10 11 答案 B D C C D 0 ABD BC BC 12.-号 13.2+v6 4 14.(3-1,V3 15.(13分)(1)e·e2=1×1×cos 2π1 3 2 …………………2分 16.若a1b,则 a.6=(2g-6)2g+3g)=2g+(32-2)gg-3g=0,…4分 即2+6-2(》-3=0,解得元=4 ………………………6分 (2)由题意· =2-2<0<4 ·····…·…·…”8分 又：a6时， 九.-1 2=3’ …10分 ···。··11分 <4且 …13分 16.(15分) (1)因为=6， =6V3 所以+ =3 ………1分 由正弦定理得 + =3 …2分 因为sinA≠0， 所以1=V3sinC-cosC=2sin(C-君). 即sin(c-8)=号 e0。e。。。。。。。。。。。。。。2,。。e。。e。e。00●e0。eee0●0●4 因为cE0,),所以C-e(-君，2)，aC-8=君 所以C= …6分 (2)因为角C的平分线交AB于点D,所以∠BCD=∠ACD=若 1 所以ABCD 'AD.sin 9 ……8分 SAACD 2b-AD-sin =2, ……………9分 高一数学答案共4页第1页 由(1)可知，C=结合余弦定理可得a2+b2-ab=36, 从而b=25,=43 ……12分 SADG-月 3=6V3,则SAACD=号SAABC=2V3 又sAcD=b·AD·sing=2V3 0……14分 解得AD=4. ……………………15分 17.(15分) 因为a-b=ccos B-ccosA,结合正弦定理可得sinA-sinB=sin Ccos B-sin CcosA, 因此sin(B+C)-sin(A+C)=sinCcos B-sinCcosA, …2分 sin Bcos C+cos Bsin C-sin AcosC-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A, 故sin BcosC-sin AcosC=0,从而(sinB-sinA)cosC=0, ”。·。。。·。3分 所以cosC=0或sinB=sinA, ……………………5分 即C=受或B=A, 故△ABC为直角三角形或等腰三角形. …7分 (2):C=号，·sinB=cosA,所以 M-(bc)(ab+ac+be)(sin 4+cos4+1)(sin 4cos 4+sin+cos4) …9分 abc sin Acos A 令t=sinA+cosA=V2sinA+2） ………10分 4 由于Ae(0,2》 所以t=snA+cos4=5sim4+, 所以sin Acos A= 2-1 ………12分 2 所以M-+21-1-1-1+2 +4,0<t-1≤V2-1,函数单调递减，…14分 t-1 t-1 所以当t-1=V2-1时，Mm=5+32.… …15分 18()迪题意()=·=专2+V3(+)(-)=2+2+ = (2+)+ ……2分 对称中心为(2石，9（∈） …4分 (2)(I)h()= (2+) 高一数学答案共4页第2页 )=是- (2+)(2) (2-) ·…·………………………”6分 :e0,m“2-ae石2m-司 …8分 由题意可知，2-e[,) ∈服，) 0…9分 (Ⅱ)对任意xeR,g(x)+aW4+f(x)≤0恒成立， 即sm2x-a4+2s2x- ≤0， 0………………10分 6月 令2x-Z=1eR,则sint+aN4+2cosi≤0， 6 sint ,设F(t)=- sint 所以a≤- 4+2cost 4+2cost ,t∈R, …11分 则F(-)= sin(-t) 4+2cos(-1) =-F(U),又F(t+2π)=F() 所以F(t)为奇函数，且F(t)为周期函数等价于任意的t∈[-π，π，a≤F(t), 若t∈[0，π]，则F(0)≤0：若t∈[-元，0，则F()≥0： 即a≤F(),所以只要取[O,内的最小值即可. sin2t 1-cos2t F0=4+2co,2p令os+2=wL,则 y=2 ………15分 3 令p(u)=u+2，则p(u)在[1，v夙上单调递减，在[V3,3上单调递增， 所以2V5≤u+3≤4，即0≤F()s2-5, 11 所以5,6sr<0,所以a55-6 …17分 2 2 19.(1)根据题意，CB2=CB(CA+AB)+AB·AC=CB2+AB·AC AB·AC=0:=2 ……3分 (2)因为=2，可得 =+号 ，所以2=(+， …4分 所以2=号2+号2， 又=2，所以4=62+号2≥号 。…。…………………………………………………。5分 高一数学答案共4页第3页 所以≤9，当且仅当=2时， 1 =2 最大 ………………6分 由=2三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120°，结合题设易知P点一定 在△ABC的内部所以 Se号A号+P9HCsm经PA0s受-是 3=2…7分 所以PA:PB+PBPC+PA:PC=6v3, …………·…………………………………·……·8分 又因为PA.PB+PB.PC+PAPC PAPBlcos5+PaHPCIeosξ+PA-PCIes D -(mpi+r丽p+rp列es2=-3v3.…10分 (3)“点P为△ABC的费马点，·∠APB=∠BPC=∠CPA=2 , PB=m PA,PC=n PA,PA=x,(m>0,n>0,x>0), 则由PB+PC=tPA得m+n=t;…11分 由余弦定理得|ABP=x2+m2x2-2mx2co 2π=(m2+m+1）x, 3 IAC-2m cos-n+1), B BC=mx2+m-2mmc0s2玩m2++mn2,…13分 故由|ACP+|ABP=BC得 (n2+n+1）x2+(m2+m+1x2=（m2+n2+mn）x2,…14分 即m+n+2=mn,而m>0,n>0,故m+n+2=mn≤ m+n）2 、2 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+√3时，等号成立，…16分 又m+n=t,即有t2-4t-8≥0，解得t≥2+2√3或t≤2-25（舍去）， 故实数t的最小值为2+2√3. 高一数学答案共4页第4页2025-2026学年度下学期期中高一数学试题 第1卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若m(+引 ,则cosa=() A.-② B. 72 c.2 D.- √2 10 10 5 5 2.函数y=cos I-2x 3 的单调递减区间是() A. 3 2kπ+ 6 k∈Z) B. 6 (EZ C. [2+2 2π 3 (kEZ) D. [++ 2π 3 (k∈Z) 2 3.已知d,6为单位向量，与五一的夹角为二元，则与b的夹角为() 3 A君 B骨 D. 5 4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=V5,b=l,A=则B为() A胃 B或后 c 5.已知向量0丽=(3,4)，绕原点0逆时针旋转45°到0P的位置，则点P的坐标为() A(将，) B.(9,) c(,9) D.(恶，) [3π 6.若axe,πbBeπ，2'且im2a5 sin(B-a)= 10 则sin(a+)=() A号 B.或 2 c.9 D. 10 7.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计 算机科学、量子力学等各个领域而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号 的波形可以利用函数)=之-四的图象近似的模拟，则() 2i-1 A.f(x)的最大值为3 B.f(x)为周期函数，且最小正周期为π C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于点（π，0）对称 高一数学共4页第1页 8.直角△MC中，斜边hB=2,P为△18C所在平面内-点，亚=方in20.丽+os204C (其中BeR),则下列说法错误的是() A.点P经过△ABC的外心 B.点P所在轨迹的长度为1 。元网+网的取值花田足[0】 D.AB.4C的取值范围是(0,4] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 愿目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(5,,6=(-25,2),c=(x,y),c11a,且(e-a)1(-),则() A.a与6的夹角为号知 B.ā在万上的投影向量为（停，-） c.c=(5, D.l=2 10.要得到y=cosr函数的图象，只需将函数y=sin -3的图象（) A.先向右平移文个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 12 ，9 B。先向左平移沿个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 ： C.先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D.先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 11.已知对任意角a,A,sina+9inB=2sim+Pcos“二卫恒成立.设△4BC的内角4，B,C满 2 足sn2A+in2B+sin2C-子AABC的面积S满足4sSg,记ab,c分别为角AB,C所对的 边，则下列说法正确的是() A.sinAsinBsinC B.△ABC外接圆面积的最大值为36π C.abc∈[64,216 D.bc(b+c)的最小值为64 第川卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，(sinA+sinB):(sinA+sinC:(sinC+sinB)=7:9:10,则△ABC中最大角的 余弦值为一· 13.已知直线y=m(m>0)与函数x)=si(ox+)(o>0)的图象相交，若自左至右的三个 相邻交点A,B,C满足11AB=lBC1,则实数m= 高一数学共4页第2页 14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈（一oo,0)时，x 2x, -1,-0 若a,6,c是平面内三个不同的单位向量，且满足f(a-)=0,fac>1,f(c)<-1, 则(a+5)⑥+)的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共7刀分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知单位向量，鸡的夹角为子，向量石=后-名，向量6=2运+3名 (I)若⊥五，求2的值： (2)若à与6夹角为钝角，求1的范围. 16.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=6,a+a cosC--6V3sinA. (1)求角C: (2)若角C的平分线交AB于点D,△BCD的面积为△ACD面积的两倍，求CD的长. 17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccos B-ccosA, (I)判断△ABC的形状： ②若c=,M=a+b+日片》 试求M的最小值。 高一数学共4页第3页 18.设a=(nx,V5cos(别》方=(cosx,eos(+)》 函数)=a·6 (1)求函数f(x)的解析式，并写出对称中心： (2)将x)的图像向下平移5个单位得到函数： ①函数g(x)= -孕在，上格好有三个对称中心，求m的范偶： h(x) ②若对任意xeR,hc)+a√4+2h西s0恒成立，求实数a的取值范围. 19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：在一个三 角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小意大利数学家托里拆利 给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的 点0即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边， 已知C2=C元CA+BCBA+ABAC. (1)求角A: (2)若点D在BC上，BD=2DC,AD=2,P为△ABC的费马点，当△ABC面积最大时， 求PAP丽+P丽PC+PCPA; (3)设点P为△ABC的费马点，PB叫+PC=1PA,求实数t的最小值. 高一数学共4页“第4页