第06课时解析几何 讲义-2026届高考数学二轮复习

高考数学二轮复习讲义第06课时——解析几何 【核心知识点】 （一）直线与圆 1. 直线方程与基础公式 直线斜率： 直线方程（三种常用形式）：点斜式、斜截式、一般式 距离公式（必记）： 两点间距离： 点到直线距离： 高频二级结论：① 两直线、，平行充要条件：且；垂直充要条件：（快速判定，节省时间）；② 过与交点的直线系方程：（为参数，不含，适配过交点问题）； 2. 圆的方程 标准方程：，圆心，半径 一般方程：，圆心，半径 高频二级结论：① 圆过原点（快速构造方程）；② 两圆、，圆心距，外切，内切，相交（核心判定方法）； 3. 直线与圆的位置关系 核心判定：比较圆心到直线距离与半径⇔相离；⇔相切；⇔相交 弦长公式：（相交时必用） 切线方程：过圆上一点，切线为 高频二级结论：① 过圆外一点的切线长：（无需求切线方程）；② 直线与圆相切（快速求参数）；③ 弦过定点，则（为圆心）时，最小 4. 圆的常考题型 高频题型：弦长、切线、对称、最值问题 高频二级结论：① 圆上一点到直线距离最值：，（为圆心到直线距离）；② 圆上两点间距离最值：最大值为直径，最小值为 （二）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 1. 椭圆 核心定义：平面内到两焦点距离之和为的点的轨迹，即 标准方程：（焦点在x轴）；（焦点在y轴） 核心关系：，离心率 重点突破：焦点三角形、离心率计算、直线与椭圆位置关系、面积最值 高频二级结论：① 焦点三角形面积：（，快速求解）；② 椭圆上一点到焦点距离最值：，；③ 椭圆“第三定义”：为长轴端点，异于，则（斜率关系快速应用）； 2. 双曲线 核心定义：平面内到两焦点距离之差的绝对值为的点的轨迹，即 标准方程：（焦点在x轴）；（焦点在y轴） 核心关系：，离心率（反映双曲线开阔程度） 重点突破：渐近线（x轴焦点）、离心率计算、焦点到渐近线距离（易错点） 高频二级结论：① 焦点三角形面积：（，区分椭圆公式）；② 双曲线“第三定义”：为实轴端点，异于，则；③ 离心率与渐近线关系：（核心转化公式）；④ 通径（过焦点垂直实轴弦长）：； 3. 抛物线 核心定义（简化计算关键）：平面内到焦点距离等于到准线距离的点的轨迹 标准方程（开口向右，高频）：，焦点，准线 重点突破：定义应用、焦点弦性质、焦半径公式（解答题核心，灵活用定义） 高频二级结论：① 焦半径公式：上点，（直接套用）；② 焦点弦（）：，（核心结论）；③ 焦点弦长：（斜率存在），倾斜角时，；④ 以焦点弦为直径的圆与准线相切； 4. 圆锥曲线解答题核心方法（必掌握） 设线技巧：（斜率存在）或（避开斜率不存在讨论，适配过y轴定点） 联立方程：直线与曲线联立，整理为（解答题必走步骤） 判别式：（保证两交点，必写，避免扣分） 韦达定理：，（整体代换，简化计算） 高频题型：面积、斜率关系、证明、最值、定点定值（掌握每种题型核心思路） 高频二级结论：① 通用弦长公式：（适配所有圆锥曲线）；② 通用三角形面积：（适配过原点直线与曲线交点）；③ 定点问题技巧：先取特殊值求定点，再证明恒在直线上（简化证明）； 【典例分析】 题型 1：直线的方程 例1(多选题)以下结论中正确的是 (　 ) A.若直线的倾斜角α∈,则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞) B.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,-3) C.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a=-3 D.若直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2间的距离为 备用 已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均经过点(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为(　 ) A.2 B. C. D.1 题型 2：圆的方程 例2过A(2,0),B(0,4),C(2,4)三点的圆的方程是 (　 ) A.(x-1)2+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.(x+1)2+(y-2)2=10 D.(x-1)2+(y-2)2=10 备用已知直线l1:mx+y+m=0和l2:x-my-3=0相交于点P,则点P的轨迹方程为 (　 ) A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.(x-1)2+y2=4(x≠-1) D.(x+1)2+y2=4(x≠1) 题型 3：直线与圆的位置关系 例3 [2024·全国甲卷] 已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.2 备用[2025·全国一卷] 已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围为 (　 ) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 题型 4： 椭圆与双曲线定义、方程的应用 例4 已知椭圆C:+=1(0<m<4)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为M,点N在椭圆C上,且∠NF1F2=60°,若|NF2|=2|MF2|,则m= (　 ) A.1 B.2 C. D.3 备用 设双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为6,若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,则曲线C2的方程为 (　 ) A.-=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 题型 5：椭圆与双曲线的性质及其应用 例5（1）[2025·全国一卷] 双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　 ) A. B.2 C. D.2 (2)若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:-=1有两个不同交点,则k的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 备用【多选】（2025·全国二卷·高考）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 题型 6：抛物线方程与性质的应用 例6 [2025·全国二卷] 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 备用(多选题)[2025·全国一卷] 设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,过F且垂直于AB的直线交准线l:x=-于E,过点A作准线l的垂线,垂足为D,则 (　 ) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 题型 7：　弦长和面积问题 例7 已知F是双曲线-=1的左焦点,过F且倾斜角为30°的直线与双曲线的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　 ) A.8 B.6 C.4 D.2 备用[2025·全国二卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. ①求C的方程. ②过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 题型 8：中点弦和点差法 例8 已知原点为O,椭圆C:+=1(a>b>0)与直线l:x-y+1=0交于A,B两点,线段AB的中点为M,若直线OM的斜率为-,则椭圆C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 备用 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,若线段MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 题型 9：定点问题 例9 已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 备用 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)若直线l交椭圆C于M,N两点(均异于点A),且·=0,则直线l是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 题型 10：　定值问题 例10已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 备用 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧）， ，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 题型 11：最值和范围问题 例11 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=. (1)求C的标准方程. (2)已知动点P(m,n)不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3. (i)求R的坐标(用m,n表示); (ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值. 备用1已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 备用2已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的曲线方程； (2)求证：直线经过定点，并求出点的坐标； (3)设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 备用3 已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学二轮复习解析几何 参考答案 题型 1：直线的方程 例 1（多选题）AD A：倾斜角，斜率，正确 B：直线，整理得，联立，得定点，错误 C：两直线垂直，，解得或，错误 D：，，距离，正确 备用题：B 直线过，得；过，即，原点到距离，最大值为 。 题型 2：圆的方程 例 2：B 、、构成直角三角形，圆心为斜边中点，半径，方程。 备用题：C ，，两直线垂直，交点轨迹为以为圆心，为半径的圆，除去点，方程。 题型 3：直线与圆的位置关系 例 3：B 是等差中项，即，直线过定点；圆，圆心，定点在圆内，弦长最小值为。 备用题：B 圆心到直线距离，圆上到直线距离为 1 的点有且仅有 2 个，得。 题型 4：椭圆与双曲线定义、方程的应用 例 4：C 椭圆，，，，结合，解得。 备用题：D 双曲线：，，，；曲线为椭圆，，，，，方程。 题型 5：椭圆与双曲线的性质及其应用 例 5： (1) A 双曲线虚轴长倍实轴长，，，（选项 A 为）。 (2) 直线与联立，，得。 备用题（多选）：ACD · A：，正确 · B：，错误 · C：离心率，正确 · D：时，四边形面积，正确 题型 6：抛物线方程与性质的应用 例 6：B 抛物线，直线：，得，，。 备用题（多选）：ACD · A：抛物线定义，正确 · B：，错误 · C：焦点弦最小值为通径，，正确 · D：，正确 题型 7：弦长和面积问题 例 7：C 双曲线，左焦点，直线倾斜角，与渐近线交于，面积。 备用题： (1) 椭圆方程： (2) 题型 8：中点弦和点差法 例 8：D 点差法得，。 备用题：D 设双曲线，，点差法得，，方程。 题型 9：定点问题 例 9： (1) 椭圆方程： (2) 点轨迹方程：（在椭圆内部分） (3) 直线过定点 备用题： (1) 椭圆方程： (2) 直线过定点 题型 10：定值问题 例 10： (1) 双曲线方程： (2) （定值） 备用题： (1) 椭圆方程： (2) ①直线过定点；②（定值） 题型 11：最值和范围问题 例 11： (1) 椭圆方程： (2) (i)；(ii) 备用 1： (1) 椭圆方程： (2) 最小值为 备用 2： (1) 双曲线方程： (2) 直线过定点 (3) 存在点满足条件 备用 3： (1) 抛物线准线方程： (2) (i)；(ii) 要不要我把这些答案按题号整理成一页速查版，方便你直接核对？ |（注：文档部分内容可能由 AI 生成） 学科网（北京）股份有限公司 $