第六单元第1课时  长方体和正方体的认识及展开图（3个知识点+5类热点题型精讲+自我检测）（分层作业）数学苏教版五年级下册

第六单元第1课时  长方体和正方体的认识及展开图 知识点一长方体的认识 1、认识长方体的面、棱、顶点。 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 2、长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 知识点二正方体的认识 1、正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 2、正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 3、长方体和正方体的特征的异同。 知识点三长方体和正方体的展开图 1、把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 2、沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 题型一长方体的认识 1．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般情况下长方体六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。决定长方体形状和大小的是长、宽、高，三根学具棒能确定长、宽、高即可，据此分析。 【解答】A．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； B．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； C．三根学具棒分别是长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小； D．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除。 能决定这个长方体的形状与大小的是。 故答案为：C 2．一个物体的形状近似于长方体，长60厘米，宽50厘米，高180厘米，这个物体最有可能是（    ）。 A．洗衣机 B．电冰箱 C．电视机 D．微波炉 【答案】B 【分析】指甲的宽度大约有1厘米，50、60厘米大约有成人胳膊那么长。1米＝100厘米，150厘米＝1.5米。我们展开双臂大约有1米长，据此解答。 【解答】A．洗衣机高度一般不会超过1米，长和宽都有可能，但是高的数据大了，不符合题意； B．电冰箱高度一般超过1米，长、宽、高的数据都符合实际，符合题意； C．电视机不可能宽度达到50厘米，高度达到1.8米的也不多见，宽高的数据可能不太符合，不符合题意； D．微波炉绝不可能高度为1.8米，高的数据过大了，不符合题意。 故答案为：B 3．长方体的6个面中，最少有（    ）个面是长方形。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，回忆长方体的特征，长方体一般有6个面都是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形，此时剩下的4个面是长方形。据此解答。 【解答】长方体特殊情况有2个面是正方形，剩下的4个面是长方形，所以长方体的6个面中，最少有4个面是长方形。 故答案为：B 题型二正方体的认识 4．有如图三种长度的小棒，你能搭成（    ）种不同的长方体或正方体。（小棒可重复使用） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析题目，长方体有12条棱，可分为3组，每组4条棱的长度相等，正方体有12条棱，且12条棱的长度都相等；根据长方体和正方体的棱的特征，结合所给的不同的长度的小棒的数量，列举出所有可能搭成的长方体或正方体的组合，并据此选择出正确的选项即可。 【解答】①可以选择12根12cm的小棒搭成一个棱长是12cm的正方体； ②可以选择4根12cm、4根8cm、4根6cm的小棒搭成一个长是12cm、宽是8cm、高是6cm的长方体； ③可以选择8根12cm、4根8cm的小棒搭成一个长是12cm、宽是12cm、高是8cm的长方体； ④可以选择8根12cm、4根6cm的小棒搭成一个长是12cm、宽是12cm、高是6cm的长方体； ⑤可以选择8根8cm、4根12cm的小棒搭成一个长是12cm、宽是8cm、高是8cm的长方体； ⑥可以选择8根8cm、4根6cm的小棒搭成一个长是8cm、宽是8cm、高是6cm的长方体。 如图三种长度的小棒，能搭成6种不同的长方体或正方体。 故答案为：C 5．如图，正方体的六个面上分别写着连续的整数，且相对的两个面上的数之和均相等，则这六个连续的整数之和为（    ）。 A．51 B．54 C．57 D．63 【答案】A 【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有9，再根据已知数有10，11可知另两个数可能是6、7，或者是7、12，或者是12、13，再根据相对的两个面上的数之和均相等，8、10、11各对应一个数字，所以另两个数只有6、7合适，然后求解即可。 【解答】根据分析可知，6与11相对，7与10相对，8与9相对， 所以，这六个整数的和为: 6＋7＋8＋9＋10＋11＝3×（8＋9）＝3×17＝51 故答案为：A 6．一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，下图是由这样的4个小正方体拼成。根据下图摆放的情况，数字3对面的数字是（    ）。 A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从最左边和最右边的小正方体可知，数字4对面的数字不是2、1、5，可能是3或6；从最右边的三个小正方体可知，数字5对面的数不是3、2、1、4，则数字5对面的数字是6。那么数字4对面的数字是3。 【解答】通过分析可得：数字3对面的数字是4。 故答案为：B 题型三长方体和正方体棱长的应用 7．用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出铁丝的总长，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，再求出高。 【解答】10×12＝120（厘米） 120÷4－12－8 ＝30－12－8 ＝10（厘米） 8．一根铁丝长60厘米，如果焊成一个正方体框架，棱长是（ ）厘米；如果焊成一个长7厘米，宽5厘米的长方体框架，高是（ ）厘米。（接头处不计） 【答案】5 3 【分析】已知铁丝长60厘米，铁丝总长度即为正方体的棱长总和，根据“正方体棱长总和＝棱长×12”，用铁丝总长度除以12即可求出正方体框架的棱长； 如果焊成一个长7厘米，宽5厘米的长方体框架，铁丝总长度即为长方体的棱长总和，根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，用铁丝总长度除以4求出长、宽、高的和，用长、宽、高的和依次减去长和宽即可求出长方体框架的高。 【解答】60÷12＝5（厘米） 60÷4－7－5 ＝15－7－5 ＝8－5 ＝3（厘米） 因此，如果焊成一个正方体框架，棱长是5厘米；如果焊成一个长7厘米，宽5厘米的长方体框架，高是3厘米。 9．小明把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架铁丝拉直重新做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】铁丝的总长度不变，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。长方体的棱长总和计算公式为：4 × （长 ＋ 宽 ＋ 高）。正方体的棱长总和计算公式为：12 × 棱长。通过计算长方体的棱长总和，再除以12，即可得到正方体的棱长。 【解答】长方体的棱长总和为： 4 × （8 ＋ 6 ＋ 4） ＝ 4 × 18 ＝ 72（厘米） 正方体的棱长总和等于铁丝总长度，即72厘米。 正方体有12条相等的棱，因此棱长为： 72 ÷ 12 ＝ 6（厘米） 所以这个正方体的棱长是6厘米。 题型四长方体的展开图 10．下图是一个长方体纸盒拆开后的图形，这个长方体纸盒是（    ）。（填序号） A． B． C． 【答案】B 【分析】观察展开图的形状，能发现它的长、宽、高的比例关系：有一组面的面积较大，另外两组面的面积相对较小，且整体的“长”明显大于“宽”和“高”。据此进行分析。 【解答】根据分析： A.选项中的长方体每个面的面积都相差不大，和展开图的比例不一致； B.选项中的长方体的长明显大于宽和高，和展开图的比例一致； C.选项中的长方体有两组面的面积较大，另外一组面的面积相对较小，和展开图的比例不一致。 故答案为：B 11．把长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，如下图。如果画“”的是“前面”，那么（    ）是“后面”。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】 根据折痕可知，折成长方体后，的对面为④，②的对面为③，①的对面为空白面，据此解答。 【解答】根据分析： 的对面为④； 故答案为：D 12．如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 【答案】见详解 【分析】①确定各面的相对关系 左面 ↔ 右面 下面 ↔ 上面 前面 ↔ 后面 ②补全右面： 右面与左面完全相同，应画在“下面”的右侧，与左面位置对称。 ③补全上面： 上面与下面完全相同，应画在“右面”的右侧，与下面位置上下对应。 ④补全后面： 后面与前面完全相同，可画在“下面”的上方，保证展开图的连贯性。 答案不唯一 【解答】画图如下： 题型五正方体的展开图 13．下面的图形中，折叠后能围成正方体的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】A 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此分析四个选项找出能折叠的即可。 【解答】 A． 属于展开图里的1—4—1型，折叠后能围成正方体。 B．这里第一行1个，第二行2个，第三行3个，不属于展开图里任何一种类型。折叠后不能围成正方体。     C．这里是第一行2个，第二行1个，第三行3个，不属于展开图里任何一种类型。折叠后不能围成正方体。 D．这里是第一行2个，第二行2个，第三行1个，第四行1个。不属于展开图里任何一种类型。折叠后不能围成正方体。 故答案为：A 14．一个写有字母的正方体盒子分别按图①、图②所示的方式摆放。仔细观察，把它拆开后，每个面上分别是哪个字母？填一填。 【答案】 【分析】正方体有 6 个面，每个面都与 4 个面相邻，与 1 个面相对。在正方体中，若两个面是相邻面，则它们不可能是相对面；反之，若排除所有相邻面，剩下的唯一面就是相对面。 【解答】从题目给出的立体图（图①、图②）中，提取每个可见面的相邻面信息，例如： 从图①得 A 与 B、C 相邻； 从图②得 B 与 D、E 相邻。 那么B就填在中心位置，那么右边空填A。 15．按要求操作。 （1）在上图中添上3个同样大小的正方形，使它成为一个正方体表面的展开图。 （2）分别用相同的图形标出与◇、△、○相对的面。 【答案】图见详解 【分析】要依据正方体展开图的多种常见模型（如“一四一”型、“二三一”型、“三三”型、“二二二”型），来判断添加正方形后形成的展开图是否合理，以及确定相对面，根据已知条件，已有3个正方形，还需添加3个正方形，这里以常见的“一四一”型作图，据此解答。 【解答】 （答案不唯一） 一、选择题 1．学习了长方体和正方体的知识后，涛涛打算用学具棒搭一个长方体框架，下面搭出的三根中，能决定这个长方体的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． D．以上都能决定 2．小明有5根8cm、10根10cm、3根12cm的小棒。选择合适的小棒搭一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是（    ）。 A．8cm、10cm、10cm B．8cm、10cm、12cm C．8cm、8cm、10cm D．10cm、10cm、12cm 3．下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 4．下列四种不同规格的纸板各有6块，小强从中选取六块围成长方体或正方体，最多可以围成（    ）种不同的几何体。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．如下图是一个长方体包装盒，它的平面展开图是（    ）。（填序号） A． B． C． D． 二、填空题 6．王老师想要做一个长方体玻璃鱼缸，目前已有4块长方形玻璃，其中两块长8dm，宽6dm，另外两块长9dm，宽6dm，还需要一块长（ ）dm、宽（ ）dm的长方形玻璃。 7．在右边的平面图形中找出6个面，使它们围成左边的长方体。（填序号） 这6个面的序号是（ ）。 8．张大伯要用木板制作一个封闭的长方体木箱，他已经准备了长6分米、宽4分米和长5分米、宽4分米的长方形木板各2块，他还需要准备（ ）块长（ ）分米、宽（ ）分米的长方形木板。 9．如图是一个长方体展开图，“学”的对面是（ ），“人”的对面是（ ）。 10．河北地区在历史上被称为“燕赵之地”。有一个正方体小木块，它的六个面分别写“燕”“赵”“风”“情”“万”“千”。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的“燕”与“（ ）”相对，“赵”与“（ ）”相对，“风”与“（ ）”相对。 三、作图题 11．如图每小格的边长表示1厘米，请在图中画出棱长是2厘米的无盖正方体展开图。 四、解答题 12．图图妈妈的生日马上到了，图图特意给妈妈挑选了礼物（如图），给下面礼品盒捆丝带，打结处需35厘米，一共要多长丝带？ 13．用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝多少厘米？如果要焊接一个棱长5厘米的正方体框架呢？ 14．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 15．如下图，这是一个长方体纸盒的展开图。 （1）在展开图中填空。（填“右”“前”或“上”） （2）经过观察，发现这个长方体的（ ）面和（ ）面是正方形，剩下的（ ）个面是（ ）（填“一样”或“不一样”）的长方形。长方体的6个面中最多有（ ）个面是一样的，如果6个面都一样，那么它就是（ ）方体。 参考答案 1．A 【分析】要确定长方体的形状与大小，只需要明确长方体的长、宽、高，即交于同一顶点的三条棱。据此逐一分析。 【解答】A．三根棱交于同一顶点，即为长方体的长、宽、高，能决定长方体的形状与大小； B．三根棱未交于同一顶点，无法决定长、宽、高； C．三根棱未交于同一顶点，无法决定长、宽、高； D．由于B、C不能决定长方体的形状和大小，所以“以上都能决定”说法不正确。 故答案为：A 2．A 【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，由于长12cm的小棒只有3根，没办法拼成长方体，所以不能用，据此即可选择。 【解答】这个长方体的长用的是4根8cm，宽和高用的是8根10cm，即选择合适的材料，做一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是8cm，10cm，10cm。 故答案为：A 3．C 【分析】正方体展开图有四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此解答。 【解答】 A．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； B．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； C．不能折成正方体，不属于正方体展开图的类型； D．属于“1－3－2”结构，可以折成正方体。 故答案为：C 4．C 【分析】长方体有六个面，前后面、左右面、上下面分别相同，4条长宽高分别相等；正方体有六个面，各个面都是正方形，12条棱长都相等。6块纸板可以是同类型的，也可以是不同类型的，据此根据正方体、长方体的特征选择纸板围成不同的几何体，并看最多可以围成几种不同的几何体。 【解答】 4块A，2块D可以围成长方体，如图所示； 4块B，2块D可以围成长方体，如图所示； 2块A，2块B，2块C可以围成长方体，如图所示； 6块D可以围成正方体，如图所示。 所以最多可以围成4种不同的几何体。 故答案为：C 5．A 【分析】根据长方体的特征，对每个选项进行分析判断，看其能否还原成长方体包装盒。据此解答。 【解答】根据分析： A.长方体有6个面，相对的面完全相同。选项A中通过观察可以发现，其各个面的形状和位置关系符合长方体的特征，能够还原成长方体包装盒； B.当尝试将其还原成长方体时，会发现其中有两个面的形状和位置关系不符合长方体相对面的特征，无法还原成长方体包装盒； C.在还原过程中，会出现面的形状和位置不匹配的情况，不能还原成长方体包装盒； D.在还原时，也会出现面的形状和位置关系不符合长方体特征的问题，无法还原成长方体包装盒。 故答案为：A 6．9 8 【分析】制作一个长方体玻璃鱼缸，需要底面1块、侧面4块，共计5块玻璃。根据题意可知，4块玻璃均有一边为6，说明鱼缸的高度为6。已有的玻璃作为侧面，其底边长度分别对应鱼缸的长和宽，据此解答。 【解答】由分析可知，鱼缸的底面应为长9、宽8的长方形玻璃。 7．①②④⑤⑥⑧ 【分析】如图所示，左边长方体的长为8厘米，宽为2厘米，高为4厘米，根据长方体的特征，相对的面相等，即前面和后面的面相等，长为8厘米，高为4厘米，对应右边的平面图形是②和⑤，上面和下面的面相等，长为8厘米，宽为2厘米，对应右边的平面图形是⑥和⑧，左面和右面的面相等，宽为2厘米，高为4厘米，对应右边的平面图形是①和④，据此解答。 【解答】由分析可知，这6个面的序号是①②④⑤⑥⑧。 8．2 6 5 【分析】一个长方体有6个面：前后、左右、上下，一般情况下每个面都是长方形，所以木箱的每个面都需要一块木板。对于一个长方体，面的大小有三种可能：长×宽、长×高、宽×高，每个都有两个。他已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，我们看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，我们看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，由此得出还需要准备的长方形木板的大小。 【解答】张大伯已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，则还需要准备2块长6分米、宽5分米的长方形木板。 9．义 知 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的两个面不相连，通过观察长方体的展开图可知：人的对面是知，学的对面是义，据此解答即可。 【解答】由分析可知： “学”的对面是义，“人”的对面是知。 10．情 万 千 【分析】这道题依据正方体相邻面一定不相对的结构特征，结合给出的三个摆放视角，通过逻辑推理，用排除法确定每个字的相对面。解题需先提取每个字的相邻面信息，再排除相邻面，剩余的面即为相对面，据此解答。 【解答】1．确定“燕”的相对面 第一个正方体：“燕”与“万”“风”相邻； 第三个正方体：“燕”与“赵”“千”相邻； 由此可知“燕”的相邻面有“万、风、赵、千”，六个面中剩余的面是“情”，因此“燕”与“情”相对。 2．确定“赵”的相对面 第三个正方体：“赵”与“燕”“千”相邻； 第二个正方体：“千”与“情”“万”相邻，且已推出“燕”对“情”； 结合第一个正方体，“万”的相邻面是“燕、风”，可排除“万”与“赵”相邻，因此“赵”与“万”相对。 3．确定“风”的相对面 六个面中已确定燕对情、赵对万，剩余的“风”与“千”必然相对，因此“风”与“千”相对。 所以“燕”与“情”相对，“赵”与“万”相对，“风”与“千”相对。 【点睛】用排除法判断正方体相对面，先找出某一面的所有相邻面，排除后剩下的那个面就是其相对面，这是此类题的通用解法。需要紧扣“相邻面不相对”的正方体特性，从多个视角整合相邻面信息，逐步缩小范围推导结果。 11．见详解 【分析】无盖正方体有5个面，每个面都是边长为2厘米（占据2×2的格子）的正方形。正方体展开图一共有11种情况，见下图，选择下图中的一种去掉一个面画出图形即可。 “1－4－1”型，共有6种类型： “1－3－2”型，共有3种类型：         “2－2－2”型，共有1种类型： “3－3”型，共有1种类型： 【解答】 （画法不唯一） 12．215厘米 【分析】这道题需结合图中礼品盒上捆丝带的方法，数出长、宽、高各自的条数：长有2条，宽有2条，高有4条，结合长20厘米、宽20厘米、高25厘米，分别计算2条长、2条宽、4条高的长度后再求和，最后再加上打结处的长度即可，据此解答。 【解答】根据分析： 2条长：（厘米） 2条宽：（厘米） 4条高：（厘米） 丝带长： （厘米） 答：一共要215厘米长的丝带。 13．60厘米；60厘米 【分析】求铁丝的长度，就是求长方体或正方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算即可；正方体有12条棱，每条棱的长度相等，那么用棱长乘12即可求出它的棱长之和。 【解答】（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（厘米） 12×5＝60（厘米） 答：焊接这个长方体需要铁丝60厘米，焊接一个棱长5厘米的正方体框架也需要60厘米。 14．3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方体的棱长为40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装带，然后把单位换算成米，据此解答。 【解答】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包含了几条棱长。 15．（1）见详解 （2） 前 后 4 一样 4 正 【分析】（1）根据长方体展开图的特点：相对的面完全一样，相对的面不相邻； （2）观察长方体纸盒的展开图发现长方体的前面和后面是正方形，剩下的4个面是一样的长方形。长方体的6个面中最多有4个面是一样的。正方体的6个面完全一样且都是正方形。据此解答。 【解答】（1）如下图： （2）根据分析得： 经过观察，发现这个长方体的前面和后面是正方形，剩下的4个面是一样（填“一样”或“不一样”）的长方形。长方体的6个面中最多有4个面是一样的，如果6个面都一样，那么它就是正方体。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $