数学（贵州卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．估计的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 2．下列各个几何体中，它的主视图和左视图不同的是（　　） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＞0 4．在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　） A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5 5．某地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的中位数、众数描述正确的是（　　） 用水量x（吨） 3 4 5 6 7 频数（个） 2 4 3 m n A．中位数为5，众数为4 B．中位数为5，众数为5 C．中位数为4.5，众数为4 D．中位数、众数均无法确定 6．已知（x1，﹣5），（x2，﹣1），（x3，2）都在双曲线上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 7．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝8，AB＝4．则四边形MBND的周长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．20 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'是由△ABC绕点P旋转得到的，则点P的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（1，0） D．（0，0） 9．施工队要铺设800米的管道，因在中考期间无法施工，为确保能在中考前铺设完管道，实际铺设时工作效率比原计划提高了25%，最终提前3天完成了这一任务，设原计划每天铺设管道的长度为x米，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．24﹣16 D．48﹣32 11．如图，在平面直角坐标系中，直线CE，DF交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为（0，3），（2，0），（4，0），（0，4），则cos∠DGE的值为（　　） A． B． C． D． 12．定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论： ①OC2＝OA•OB， ②ac＝﹣1， ③若OB＝4OA，则， ④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解：x2y﹣xy2＝　 ． 14．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为　 ． 15．如图，一块菱形ABCD飞镖游戏板，AB＝4，∠ABC＝60°，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F；小明向飞镖板中投掷飞镖，若飞镖都落在菱形ABCD内，求飞镖落在阴影部分的概率是　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　 ． 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝1+12+2；第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4；第4个等式：52＝4+42+5； （1）请用此方法拆分20262． （2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 18．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 S甲2 乙 8 8 7 S乙2 （1）表格中的m＝　　 ，S甲2　　 S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择　　 公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 19．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 20．综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 21．直线y＝x+b与双曲线交于点A（6，2）和点B． （1）求k，b的值； （2）如图，点C是双曲线第一象限上的一个动点，若S△ABC＝28，求点C的坐标； 22．2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．已知AB＝80cm，AP＝100cm，∠DCE＝53°． （1）求∠CAB的度数； （2）求点P距地面的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） 23．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥BD于点H交CD于点E． （1）求证：∠BDC＝∠BOE； （2）若，AD＝4，求半径的长． 24．【材料观察】图1中的景观设计以湖为韵，将东方古典的意境与现代设计的灵动美感相结合，在流动的曲线上相融共生，勾勒出独特的流动美．长行数学小组将图中的曲线抽象成数学问题并进行了自主探究． 【数学建模】定义：如图2，若抛物线y1＝bx（x﹣2n）（b＜0，n＜0）与抛物线y2＝ax（x﹣2m）（a＞0，m＞0）的图象有且仅有一个公共点O，则称这两条抛物线单联于点O． （1）在图2中，点M，点N分别是这两段抛物线的顶点，请直接写出它们的坐标：点M的坐标，点N的坐标为； （2）小组成员发现O，M，N三点共线，请帮他补全证明过程： 证明：抛物线y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）与抛物线y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0）的图象只有一个公共点O，即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相等的实数根，则称这两条抛物线单联于点O．据此得：（a﹣b）x2+（2bn﹣2am）x＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2bn﹣2am）2﹣4（a﹣b）×0＝0， ∴2bn﹣2am＝0， 即am＝bn … 利用以上结论，解决问题： 【模型应用】如图3，长方形ABCD是一处景观．AB＝4米，BC＝12米，E，F分别是边AB，CD的中点，G是EF上的点，设计了两段抛物线EMG和抛物线FNG单联于点G，两条抛物线的顶点分别是M，N，且点N落在BC边上．O1，O2分别是EG，FG的中点，以O1为圆心，O1M为半径，和以O2为心，O2F的一半长度为半径设计两个圆形花坛． （3）为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时⊙O2上的点到AD边最长的距离． 25．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上一点，点D是半径OB上的点，联结CD，∠OCD的平分线和∠COD的平分线相交于点P，联结BP． （1）如图1，求证：∠OPB＝90°∠ODC； （2）联结BC（如图2）．如果CD⊥OB，CP＝10，△OPB的外接圆⊙M与扇形AOB所在的圆⊙O相交． ①当cos∠CBD时，求⊙M与⊙O的公共弦的长； ②联结AM和AP，AP交OC于点E，当AM⊥OP时，求tan∠PAM的值和OE的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．估计的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜11＜16， ∴，即， ∴的值在3和4之间， 故选：D． 2．下列各个几何体中，它的主视图和左视图不同的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、主视图与左视图都是两个等腰三角形，不符合题意； B、主视图是长方形，左视图是圆，符合题意； C、主视图与左视图都是等腰梯形，不符合题意； D、主视图和左视图都是圆，不符合题意． 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＞0 【解答】解：由所给数轴可知， ﹣3＜a＜﹣2＜1＜b＜2， 则a+b＜0，|a|＞|b|，ab＜0， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 4．在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　） A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5 【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4． 故选：C． 5．某地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的中位数、众数描述正确的是（　　） 用水量x（吨） 3 4 5 6 7 频数（个） 2 4 3 m n A．中位数为5，众数为4 B．中位数为5，众数为5 C．中位数为4.5，众数为4 D．中位数、众数均无法确定 【解答】解：∵共12个月， ∴m+n＝12﹣2﹣4﹣3＝3， 把这些数从小到大排列，最中间的数是第6和第7个数的平均数， ∴用水量的中位数是4.5吨； ∵4吨出现的次数最多，出现了4次， ∴众数为4吨； 故选：C． 6．已知（x1，﹣5），（x2，﹣1），（x3，2）都在双曲线上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵（x1，﹣5），（x2，﹣1），（x3，2）都在双曲线上， ∴x2＜x1＜0，x3＞0， ∴x2＜x1＜x3． 故选：D． 7．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝8，AB＝4．则四边形MBND的周长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．20 【解答】解：由作法得PQ垂直平分BD， ∴MB＝MD，NB＝ND， 设MD＝x，则BM＝x，AM＝8﹣x， 在Rt△ABM中，42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即BM＝DM＝5， 同理可得NB＝ND＝5， ∴四边形MBND的周长为5+5+5+5＝20． 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'是由△ABC绕点P旋转得到的，则点P的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（1，0） D．（0，0） 【解答】解：由题知， 因为△A'B'C'是由△ABC绕点P旋转得到的， 所以点P在AA′和CC′的垂直平分线的交点处． 如图所示， 点P坐标为（1，﹣1）． 故选：B． 9．施工队要铺设800米的管道，因在中考期间无法施工，为确保能在中考前铺设完管道，实际铺设时工作效率比原计划提高了25%，最终提前3天完成了这一任务，设原计划每天铺设管道的长度为x米，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得： ． 故选：B． 10．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．24﹣16 D．48﹣32 【解答】解：如图，连接OA，OB．设AF＝EF＝EG＝BG＝x，则FGx． 由对称性可知四个阴影部分是全等的等腰直角三角形， ∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB＝2， ∴AB＝2， ∴2xx＝2， ∴x＝22， ∴阴影部分的面积＝4（2）×（22）＝24﹣16． 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线CE，DF交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为（0，3），（2，0），（4，0），（0，4），则cos∠DGE的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点C，D，E，F的坐标分别为（0，3），（2，0），（4，0），（0，4）， ∴OD＝2，OE＝OF＝4，OC＝3， ∴， 过点E作EK∥DF交y轴于点K， ∴∠DGE＝∠CEK，，∠K＝∠OFD ∴ ∴OK＝8 ∴CK＝OK﹣OC＝8﹣3＝5＝CE， ∴∠CEK＝∠K， ∴∠DGE＝∠OFD， ∴． 故选：B． 12．定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论： ①OC2＝OA•OB， ②ac＝﹣1， ③若OB＝4OA，则， ④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：连接AC、BC，如图， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，∴∠ACB＝90°， ∵∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO， ∴Rt△ACO∽Rt△CBO，∴OC：OB＝OA：OC，∴OC2＝OA•OB，所以①正确； 设A（m，0），B（n，0），则OA＝﹣m，OB＝n， ∵m、n为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，∴mn， 当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴C（0，c），∴OC＝c， ∵OC2＝OA•OB，∴c2＝﹣mn，∴c2，∴ac＝﹣1，所以②正确； 当OB＝4OA，则n＝﹣4m， ∵m+n，mn，∴m﹣4m，﹣4m2，解得m， ∴﹣4，∴b2，而ac＝﹣1，∴b2，所以③正确； 若该函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴1，∴b＝﹣2a，∴bc＝﹣2ac， ∵ac＝﹣1，∴bc＝2，所以④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解：x2y﹣xy2＝　 ． 【解答】解：原式＝xy（x﹣y）， 故答案为：xy（x﹣y）． 14．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为　 ． 【解答】解：∵一个矩形的宽与长之比等于黄金数，矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为， ∴设矩形长为x，则宽为， ∵矩形ABCD的周长为 ∴， 解得：x＝8， 故答案为：8． 15．如图，一块菱形ABCD飞镖游戏板，AB＝4，∠ABC＝60°，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F；小明向飞镖板中投掷飞镖，若飞镖都落在菱形ABCD内，求飞镖落在阴影部分的概率是　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝4，AD∥BC，OA＝OC，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形，∠BAD＝120°， ∴AC＝AB＝AD，∠DAC＝∠ACB＝60°， ∴结合作图可得：点E是AD的中点，点F是BC的中点， ∴AE＝AO＝CO＝CF＝2， ∴BO＝DO2， ∴， S扇形AOE＝S扇形COF， ∴S阴影＝2（）， ∴飞镖落在阴影部分的概率是：． 故答案为：． 16．如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　 ． 【解答】解：连接BD，记BD的中点为O． 由题意，可知直线l过点O． ∵BH⊥l， ∴∠BHO＝90°． 点H在以OB为直径的圆上运动．设圆心为点E，当CH与⊙E相切，且在BC上方时，∠BCH最大． 连接EH，此时EH⊥CH．过点E作EF⊥BC于点F， 由勾股定理，得BD＝8， ∴BO＝4， ∴BE＝OE＝EH＝2． ∵， ∴∠CBD＝30°， ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝1+12+2；第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4；第4个等式：52＝4+42+5； （1）请用此方法拆分20262． （2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【解答】解：（1）由题意可知： 22＝1+12+2， 32＝2+22+3， 42＝3+32+4， 52＝4+42+5； ∴20262＝2025+20252+2026． 答：20262＝2025+20252+2026． （2）根据题意，含有字母n的等式表示为：（n+1）2＝n+n2+（n+1）． 左边＝（n+1）2， 右边＝n+n2+（n+1）＝n2+2n+1＝（n+1）2， 左边＝右边． 答：（n+1）2＝n+n2+（n+1）． 18．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 S甲2 乙 8 8 7 S乙2 （1）表格中的m＝　　 ，S甲2　　 S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择　　 公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【解答】解：（1）甲快递公司配送速度10次得分从小到大分别为6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，甲快递公司配送速度10次得分的中位数m8.5（分），由甲、乙两个快递公司服务质量的折线统计图可直观得到甲快递公司10次得分的比较稳定，即方差较小，， 故答案为：8.5，＜； （2）甲快递公司配送速度10次得分是9分的频数为10﹣2﹣2﹣1﹣1＝4， 补全频数分布直方图如图所示： 乙快递公司配送速度10次得分是7分的所占的百分比为1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，所以乙快递公司配送速度10次得分是7分的所对应的圆心角的度数α＝360°×20%＝72°， 故答案为：72°； （3）综合考虑选择甲快递公司，理由： 甲快递公司的中位数较大，方差较小． 故答案为：甲； （4）用树状图表示A、B两家公司分别从甲、乙两个快递公司随机选择一个， 所有等可能出现的结果如下： 共有4种等可能出现的结果，其中选择同一个快递公司的有2种， 所以选择同一个快递公司的概率为． 19．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC， ∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形， 又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°， ∴平行四边形DFCG是矩形； （2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°， ∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3， ∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF+FC＝3+5＝8， 由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°， ∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1， ∴CE， ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2． 20．综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，依题意得： （60﹣2x）（50﹣2x）＝2000， x2﹣55x+250＝0，解得：x1＝5，x2＝50（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为5cm． （2）设小长方形的宽为xcm（x＜20），长为ycm， ，解得：， ∴小长方形的宽为12cm． 当EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为12＜18． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 21．直线y＝x+b与双曲线交于点A（6，2）和点B． （1）求k，b的值； （2）如图，点C是双曲线第一象限上的一个动点，若S△ABC＝28，求点C的坐标； 【解答】直线y＝x+b与双曲线交于点A（6，2）和点B． 解：（1）将A点代入双曲线，∴k＝12， 将A点代入y＝x+b，∴6+b＝2，解得b＝﹣4； （2）过点C作CG∥y轴交AB于点G， 设C（m，），则G（m，m﹣4），∴CGm+4， 当x﹣4时，解得x＝﹣2或x＝6，∴B（﹣2，﹣6）， ∵S△ABC＝28，∴8（m+4）＝28，解得m或m（舍）， ∴C（，）； 22．2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．已知AB＝80cm，AP＝100cm，∠DCE＝53°． （1）求∠CAB的度数； （2）求点P距地面的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） 【解答】解：（1）如图，过点A作AH∥CD， ∵AB⊥MN， ∴∠ABN＝90°， ∵CD∥MN，AH∥CD， ∴CD∥MN∥AH， ∴∠EAH＝∠DCE＝53°，∠BAH＝∠ABN＝90°， ∴∠CAB＝∠EAH+∠BAH＝53°+90°＝143°． 答：∠CAB的度数为143°． （2）如图，过点P作PT⊥HA交HA延长线于T， ∵AP⊥AC，∴∠PAC＝90°， ∴∠PAT＝180°﹣∠PAC﹣∠EAH＝180°﹣90°﹣53°＝37°， 在Rt△APT中，AB＝80cm，AP＝100cm，∠PAT＝37°， ∴PT＝AP•sin∠PAT＝100•sin37°≈60（cm）， ∴AB+PT＝80+60＝140（cm）， 答：点P距离地面的高度约为140cm． 23．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥BD于点H交CD于点E． （1）求证：∠BDC＝∠BOE； （2）若，AD＝4，求半径的长． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∵CD为⊙O切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ADO＝∠BDC， ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠BDC＝∠A， ∵OE⊥BD，∴OC∥AD，∴∠A＝∠BOE，∴∠BDC＝∠BOE； （2）解：∵∠CDO＝90°， ∴sinC，设OD＝x，OC＝3x， ∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，∴OE＝3， ∵OE⊥BD，∴BH＝DE， ∵BO＝AO，∴OH是△ABD的中位线，∴OHAD＝2，∴EH＝3﹣2＝1； ∵∠ODE＝∠OHD＝90°，∠DOH＝∠EOD， ∴△EDO∽△DHO，∴， ∴OD． 24．【材料观察】图1中的景观设计以湖为韵，将东方古典的意境与现代设计的灵动美感相结合，在流动的曲线上相融共生，勾勒出独特的流动美．长行数学小组将图中的曲线抽象成数学问题并进行了自主探究． 【数学建模】定义：如图2，若抛物线y1＝bx（x﹣2n）（b＜0，n＜0）与抛物线y2＝ax（x﹣2m）（a＞0，m＞0）的图象有且仅有一个公共点O，则称这两条抛物线单联于点O． （1）在图2中，点M，点N分别是这两段抛物线的顶点，请直接写出它们的坐标：点M的坐标，点N的坐标为； （2）小组成员发现O，M，N三点共线，请帮他补全证明过程： 证明：抛物线y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）与抛物线y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0）的图象只有一个公共点O，即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相等的实数根，则称这两条抛物线单联于点O．据此得：（a﹣b）x2+（2bn﹣2am）x＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2bn﹣2am）2﹣4（a﹣b）×0＝0， ∴2bn﹣2am＝0， 即am＝bn … 利用以上结论，解决问题： 【模型应用】如图3，长方形ABCD是一处景观．AB＝4米，BC＝12米，E，F分别是边AB，CD的中点，G是EF上的点，设计了两段抛物线EMG和抛物线FNG单联于点G，两条抛物线的顶点分别是M，N，且点N落在BC边上．O1，O2分别是EG，FG的中点，以O1为圆心，O1M为半径，和以O2为心，O2F的一半长度为半径设计两个圆形花坛． （3）为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时⊙O2上的点到AD边最长的距离． 【解答】（1）解：∵， ∴点M的坐标为（n，﹣bn2）， ∵y2＝ax（x﹣2m）＝a（x2﹣2am）＝a（x﹣m）2﹣am2， ∴点N的坐标为（m，﹣am2）； 故答案为：n，﹣bn2；m，﹣am2； （2）证明：抛物线y1＝bx（x﹣2n）（b＜0，n＜0）与二次函数y2＝ax（x﹣2m）（a＞0，m＞0）的图象只有一个公共点O， 即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相同的解，则称这两条抛物线单联于点O， 据此得：（a﹣b）x2+（2bn﹣2am）x＝0有两个相同的解， ∴（2bn﹣2am）2﹣4（a﹣b）×0＝0， ∴2bn﹣2am＝0，即am＝bn， 如图，过点M、N分别作x轴的垂线，交x轴于点P、Q，连接OM、ON， ∵点M，点N分别是这两段抛物线的顶点， ∴由（1）同理可得，∵M，N分别是这两段抛物线的顶点， ∴M（n，﹣bn2），N（m，﹣am2）， ∴MP＝﹣bm2，OP＝﹣n，OQ＝m，NQ＝am2， ∴在Rt△POM中，， 在Rt△QON中，tan∠QONam， ∵am＝bn，∴tan∠QON＝tan∠POM， ∴∠QON＝∠POM， ∴M，O，N三点共线； （3）解：设MO1＝t米， ∵A、M、F三点共线，且MO1⊥x轴，NO2⊥x轴， ∴MO1//NO2，∴△MFO1∽△AFE， ∴，∴， ∴EO1＝EF﹣FO1＝（12﹣6t）米， ∴EG＝2EO1＝（24﹣12t）米， GO1＝（12﹣6t）米， ∴FG＝EF﹣EG＝12﹣（24﹣12t）＝（12t﹣12）米， ∴GO2FG＝（6t﹣6）米， ∵MO1//NO2，∴△MO1G∽ΔNO2G， ∴，∴，整理得：t2+t﹣4＝0， 解得：或（舍）， ∴米， ∴⊙O2的半径米， ∴⊙O2上的点到AD边最长距离为米． 25．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上一点，点D是半径OB上的点，联结CD，∠OCD的平分线和∠COD的平分线相交于点P，联结BP． （1）如图1，求证：∠OPB＝90°∠ODC； （2）联结BC（如图2）．如果CD⊥OB，CP＝10，△OPB的外接圆⊙M与扇形AOB所在的圆⊙O相交． ①当cos∠CBD时，求⊙M与⊙O的公共弦的长； ②联结AM和AP，AP交OC于点E，当AM⊥OP时，求tan∠PAM的值和OE的长． 【解答】（1）证明：∵CP平分∠OCD，OP平分∠COD，∴∠POC＝∠POD，∠PCO＝∠PCD， ∵OC＝OB，∠POC＝∠POB，OP＝OP， ∴△OCP≌△OBP（SAS），∴∠OPC＝∠OPB， 在△OCD中，∠COD+∠OCD+∠ODC＝180°，即2∠POD+2∠PCO+∠ODC＝180°， ∴， 在△OPC中，， ∴； （2）解：①∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，即∠ODC＝90°， 由（1）问结论，， ∵△OCP≌△OBP（SAS），∴CP＝BP＝10， ∴∠CPB＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴△CPB是等腰直角三角形， ∴， 在Rt△CDB中，， 设BD＝k，则，∴，即， ∴， 设圆O半径为R，则OB＝OC＝R，， 在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，， ，解得，， 设圆O与圆M的另一个交点为Q，连接BQ、OM， ∴BQ是两圆的公共弦， ∵∠OPB＝135°，优弧OB所对的圆心角为2×135°＝270°， ∴劣弧OB所对的圆心角∠OMB＝360°﹣270°＝90°，∴OM⊥BM， 又∵OM垂直平分公共弦BQ，∴OM⊥BQ， ∵BM⊥OM，BQ⊥OM，且B为公共点，∴B、M、Q三点共线， ∴BQ过圆心M，即BQ是圆M的直径， ∵O、B都在圆上，∴OM＝BM＝RM， ∴△OMB是等腰直角三角形， ∴，∴BQ＝2BM＝40， ∴⊙M与⊙O的公共弦长为40； ②延长CD交圆O于点N， ∵CD⊥OB，∴OB垂直平分弦CN， ∴，BC＝BN，∴∠BCD＝∠BNC， ∵，∴， ∵AM⊥OP，M是圆心，OP是圆M的弦， ∴OG＝PG，即AM是OP的垂直平分线， ∴AO＝AP，∴AM平分∠OAP，即， ∵OA⊥OB，CD⊥OB，AM⊥OP，CB⊥OP， ∴∠AFO＝∠CBO，∴∠OAF＝∠BCD，即∠PAM＝∠BCD， ∴∠OAP＝∠BOC，∴∠AOB＝∠CDB＝90°， 在△AOP和△OBC中， ∵AO＝OB，∠OAP＝∠BOC，AP＝AO＝OC， ∴△AOP≌△OBC（SAS），∴， 由△AOP≌△OBC，∠OAP＝∠BOC，∴， 延长OP交BC于R， ∵OP平分∠BOC，OC＝OB，∴OR⊥BC，R为BC中点， ∴，∴， 在Rt△BOR中，，∴； ∵AM⊥OP，∴∠PAM+∠APG＝90°，∴∠COP+∠APG＝90°，∴∠OEP＝90°， ∵∠BOR＝∠COP，∴tan∠COP＝tan∠BOR，∴， 设PE＝x，则OE＝3x， ∵PE2+OE2＝OP2，∴，解得， ∴OE＝3x． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 日 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂【×11【/ 日 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.1AIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 11.JAJIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 12.1AIIB]ICIIDI 二、填空题（每小题4分，共16分） 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(12分) 甲快递公司配送速度乙快递公司配送速度 得分频数直方图 得分扇形统计图 甲、乙快递公司配送服务质量 得分折线统计图 频数↑ 10分6分 得分 甲。一 10%10% 10 3 9分 20% a 7分 8分 40% 4 678910得分1份 0 12345678910 种植户编号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) D 20.(10分) I..... 0 --.I PEHQ 18cm N 21cm 图1 图2 图3 图4 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(12分) E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) y M y:=ax(x-2m) y=bx(x-2n) N 图1 图2 M N 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) C y C D B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．估计的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 2．下列各个几何体中，它的主视图和左视图不同的是（　　） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＞0 4．在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　） A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5 5．某地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的中位数、众数描述正确的是（　　） 用水量x（吨） 3 4 5 6 7 频数（个） 2 4 3 m n A．中位数为5，众数为4 B．中位数为5，众数为5 C．中位数为4.5，众数为4 D．中位数、众数均无法确定 6．已知（x1，﹣5），（x2，﹣1），（x3，2）都在双曲线上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 7．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝8，AB＝4．则四边形MBND的周长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．20 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'是由△ABC绕点P旋转得到的，则点P的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（1，0） D．（0，0） 9．施工队要铺设800米的管道，因在中考期间无法施工，为确保能在中考前铺设完管道，实际铺设时工作效率比原计划提高了25%，最终提前3天完成了这一任务，设原计划每天铺设管道的长度为x米，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．24﹣16 D．48﹣32 11．如图，在平面直角坐标系中，直线CE，DF交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为（0，3），（2，0），（4，0），（0，4），则cos∠DGE的值为（　　） A． B． C． D． 12．定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论： ①OC2＝OA•OB， ②ac＝﹣1， ③若OB＝4OA，则， ④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解：x2y﹣xy2＝　 ． 14．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为　 ． 15．如图，一块菱形ABCD飞镖游戏板，AB＝4，∠ABC＝60°，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F；小明向飞镖板中投掷飞镖，若飞镖都落在菱形ABCD内，求飞镖落在阴影部分的概率是　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　 ． 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝1+12+2；第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4；第4个等式：52＝4+42+5； （1）请用此方法拆分20262． （2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 18．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 S甲2 乙 8 8 7 S乙2 （1）表格中的m＝　　 ，S甲2　　 S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择　　 公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 19．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 20．综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 21．直线y＝x+b与双曲线交于点A（6，2）和点B． （1）求k，b的值； （2）如图，点C是双曲线第一象限上的一个动点，若S△ABC＝28，求点C的坐标； 22．2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．已知AB＝80cm，AP＝100cm，∠DCE＝53°． （1）求∠CAB的度数； （2）求点P距地面的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） 23．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥BD于点H交CD于点E． （1）求证：∠BDC＝∠BOE； （2）若，AD＝4，求半径的长． 24．【材料观察】图1中的景观设计以湖为韵，将东方古典的意境与现代设计的灵动美感相结合，在流动的曲线上相融共生，勾勒出独特的流动美．长行数学小组将图中的曲线抽象成数学问题并进行了自主探究． 【数学建模】定义：如图2，若抛物线y1＝bx（x﹣2n）（b＜0，n＜0）与抛物线y2＝ax（x﹣2m）（a＞0，m＞0）的图象有且仅有一个公共点O，则称这两条抛物线单联于点O． （1）在图2中，点M，点N分别是这两段抛物线的顶点，请直接写出它们的坐标：点M的坐标，点N的坐标为； （2）小组成员发现O，M，N三点共线，请帮他补全证明过程： 证明：抛物线y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）与抛物线y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0）的图象只有一个公共点O，即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相等的实数根，则称这两条抛物线单联于点O．据此得：（a﹣b）x2+（2bn﹣2am）x＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2bn﹣2am）2﹣4（a﹣b）×0＝0， ∴2bn﹣2am＝0， 即am＝bn … 利用以上结论，解决问题： 【模型应用】如图3，长方形ABCD是一处景观．AB＝4米，BC＝12米，E，F分别是边AB，CD的中点，G是EF上的点，设计了两段抛物线EMG和抛物线FNG单联于点G，两条抛物线的顶点分别是M，N，且点N落在BC边上．O1，O2分别是EG，FG的中点，以O1为圆心，O1M为半径，和以O2为心，O2F的一半长度为半径设计两个圆形花坛． （3）为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时⊙O2上的点到AD边最长的距离． 25．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上一点，点D是半径OB上的点，联结CD，∠OCD的平分线和∠COD的平分线相交于点P，联结BP． （1）如图1，求证：∠OPB＝90°∠ODC； （2）联结BC（如图2）．如果CD⊥OB，CP＝10，△OPB的外接圆⊙M与扇形AOB所在的圆⊙O相交． ①当cos∠CBD时，求⊙M与⊙O的公共弦的长； ②联结AM和AP，AP交OC于点E，当AM⊥OP时，求tan∠PAM的值和OE的长． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AJ[B][C]ID] 5[AJ[B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBI[C]ID] 11[AJ[B]ICIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 12[AJ[B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(12分) 甲快递公司配送速度乙快递公司配送速度 得分频数直方图 得分扇形统计图 甲、乙快递公司配送服务质量 得分折线统计图 频数 10分6分 得分 甲。一 N0%10% 10 3 9分 7分 2 20% 6 8分 40% 4 678910得分1分 012345678910 种植户编号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) D E 20.(10分) P E(H)O M合衣D 18cm “M 21cm 图1 图2 图3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) B 22.(12分) M B 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 0 B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) V y=ax(x-2m) y=bx(x-2n) N 图1 图2 D M G N 图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(12分) C BO B 为 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C C C D D B B C B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15． 16．2 三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分） 【解答】解：（1）由题意可知： 22＝1+12+2， 32＝2+22+3， 42＝3+32+4， 52＝4+42+5； ∴20262＝2025+20252+2026． 答：20262＝2025+20252+2026． （2）根据题意，含有字母n的等式表示为：（n+1）2＝n+n2+（n+1）． 左边＝（n+1）2， 右边＝n+n2+（n+1）＝n2+2n+1＝（n+1）2， 左边＝右边． 答：（n+1）2＝n+n2+（n+1）． 18.（12分） 【解答】解：（1）甲快递公司配送速度10次得分从小到大分别为6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，甲快递公司配送速度10次得分的中位数m8.5（分），由甲、乙两个快递公司服务质量的折线统计图可直观得到甲快递公司10次得分的比较稳定，即方差较小，， 故答案为：8.5，＜； （2）甲快递公司配送速度10次得分是9分的频数为10﹣2﹣2﹣1﹣1＝4， 补全频数分布直方图如图所示： 乙快递公司配送速度10次得分是7分的所占的百分比为1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，所以乙快递公司配送速度10次得分是7分的所对应的圆心角的度数α＝360°×20%＝72°， 故答案为：72°； （3）综合考虑选择甲快递公司，理由： 甲快递公司的中位数较大，方差较小． 故答案为：甲； （4）用树状图表示A、B两家公司分别从甲、乙两个快递公司随机选择一个， 所有等可能出现的结果如下： 共有4种等可能出现的结果，其中选择同一个快递公司的有2种， 所以选择同一个快递公司的概率为． 19.（10分） 【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC， ∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形， 又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°， ∴平行四边形DFCG是矩形； （2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°， ∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3， ∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF+FC＝3+5＝8， 由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°， ∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1， ∴CE， ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2． 20.（10分） 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，依题意得： （60﹣2x）（50﹣2x）＝2000， x2﹣55x+250＝0，解得：x1＝5，x2＝50（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为5cm． （2）设小长方形的宽为xcm（x＜20），长为ycm， ，解得：， ∴小长方形的宽为12cm． 当EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为12＜18． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 21.（10分） 【解答】直线y＝x+b与双曲线交于点A（6，2）和点B． 解：（1）将A点代入双曲线，∴k＝12， 将A点代入y＝x+b，∴6+b＝2，解得b＝﹣4； （2）过点C作CG∥y轴交AB于点G， 设C（m，），则G（m，m﹣4），∴CGm+4， 当x﹣4时，解得x＝﹣2或x＝6，∴B（﹣2，﹣6）， ∵S△ABC＝28，∴8（m+4）＝28，解得m或m（舍）， ∴C（，）； 22. （12分） 【解答】解：（1）如图，过点A作AH∥CD， ∵AB⊥MN， ∴∠ABN＝90°， ∵CD∥MN，AH∥CD， ∴CD∥MN∥AH， ∴∠EAH＝∠DCE＝53°，∠BAH＝∠ABN＝90°， ∴∠CAB＝∠EAH+∠BAH＝53°+90°＝143°． 答：∠CAB的度数为143°． （2）如图，过点P作PT⊥HA交HA延长线于T， ∵AP⊥AC，∴∠PAC＝90°， ∴∠PAT＝180°﹣∠PAC﹣∠EAH＝180°﹣90°﹣53°＝37°， 在Rt△APT中，AB＝80cm，AP＝100cm，∠PAT＝37°， ∴PT＝AP•sin∠PAT＝100•sin37°≈60（cm）， ∴AB+PT＝80+60＝140（cm）， 答：点P距离地面的高度约为140cm． 23.（10分） 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∵CD为⊙O切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ADO＝∠BDC， ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠BDC＝∠A， ∵OE⊥BD，∴OC∥AD，∴∠A＝∠BOE，∴∠BDC＝∠BOE； （2）解：∵∠CDO＝90°， ∴sinC，设OD＝x，OC＝3x， ∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，∴OE＝3， ∵OE⊥BD，∴BH＝DE， ∵BO＝AO，∴OH是△ABD的中位线，∴OHAD＝2，∴EH＝3﹣2＝1； ∵∠ODE＝∠OHD＝90°，∠DOH＝∠EOD， ∴△EDO∽△DHO，∴， ∴OD． 24.（12分） 【解答】（1）解：∵， ∴点M的坐标为（n，﹣bn2）， ∵y2＝ax（x﹣2m）＝a（x2﹣2am）＝a（x﹣m）2﹣am2， ∴点N的坐标为（m，﹣am2）； 故答案为：n，﹣bn2；m，﹣am2； （2）证明：抛物线y1＝bx（x﹣2n）（b＜0，n＜0）与二次函数y2＝ax（x﹣2m）（a＞0，m＞0）的图象只有一个公共点O， 即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相同的解，则称这两条抛物线单联于点O， 据此得：（a﹣b）x2+（2bn﹣2am）x＝0有两个相同的解， ∴（2bn﹣2am）2﹣4（a﹣b）×0＝0， ∴2bn﹣2am＝0，即am＝bn， 如图，过点M、N分别作x轴的垂线，交x轴于点P、Q，连接OM、ON， ∵点M，点N分别是这两段抛物线的顶点， ∴由（1）同理可得，∵M，N分别是这两段抛物线的顶点， ∴M（n，﹣bn2），N（m，﹣am2）， ∴MP＝﹣bm2，OP＝﹣n，OQ＝m，NQ＝am2， ∴在Rt△POM中，， 在Rt△QON中，tan∠QONam， ∵am＝bn，∴tan∠QON＝tan∠POM， ∴∠QON＝∠POM， ∴M，O，N三点共线； （3）解：设MO1＝t米， ∵A、M、F三点共线，且MO1⊥x轴，NO2⊥x轴， ∴MO1//NO2，∴△MFO1∽△AFE， ∴，∴， ∴EO1＝EF﹣FO1＝（12﹣6t）米， ∴EG＝2EO1＝（24﹣12t）米， GO1＝（12﹣6t）米， ∴FG＝EF﹣EG＝12﹣（24﹣12t）＝（12t﹣12）米， ∴GO2FG＝（6t﹣6）米， ∵MO1//NO2，∴△MO1G∽ΔNO2G， ∴，∴，整理得：t2+t﹣4＝0， 解得：或（舍）， ∴米， ∴⊙O2的半径米， ∴⊙O2上的点到AD边最长距离为米． 25.（12分） 【解答】（1）证明：∵CP平分∠OCD，OP平分∠COD，∴∠POC＝∠POD，∠PCO＝∠PCD， ∵OC＝OB，∠POC＝∠POB，OP＝OP， ∴△OCP≌△OBP（SAS），∴∠OPC＝∠OPB， 在△OCD中，∠COD+∠OCD+∠ODC＝180°，即2∠POD+2∠PCO+∠ODC＝180°， ∴， 在△OPC中，， ∴； （2）解：①∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，即∠ODC＝90°， 由（1）问结论，， ∵△OCP≌△OBP（SAS），∴CP＝BP＝10， ∴∠CPB＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴△CPB是等腰直角三角形， ∴， 在Rt△CDB中，， 设BD＝k，则，∴，即， ∴， 设圆O半径为R，则OB＝OC＝R，， 在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，， ，解得，， 设圆O与圆M的另一个交点为Q，连接BQ、OM， ∴BQ是两圆的公共弦， ∵∠OPB＝135°，优弧OB所对的圆心角为2×135°＝270°， ∴劣弧OB所对的圆心角∠OMB＝360°﹣270°＝90°，∴OM⊥BM， 又∵OM垂直平分公共弦BQ，∴OM⊥BQ， ∵BM⊥OM，BQ⊥OM，且B为公共点，∴B、M、Q三点共线， ∴BQ过圆心M，即BQ是圆M的直径， ∵O、B都在圆上，∴OM＝BM＝RM， ∴△OMB是等腰直角三角形， ∴，∴BQ＝2BM＝40， ∴⊙M与⊙O的公共弦长为40； ②延长CD交圆O于点N， ∵CD⊥OB，∴OB垂直平分弦CN， ∴，BC＝BN，∴∠BCD＝∠BNC， ∵，∴， ∵AM⊥OP，M是圆心，OP是圆M的弦， ∴OG＝PG，即AM是OP的垂直平分线， ∴AO＝AP，∴AM平分∠OAP，即， ∵OA⊥OB，CD⊥OB，AM⊥OP，CB⊥OP， ∴∠AFO＝∠CBO，∴∠OAF＝∠BCD，即∠PAM＝∠BCD， ∴∠OAP＝∠BOC，∴∠AOB＝∠CDB＝90°， 在△AOP和△OBC中， ∵AO＝OB，∠OAP＝∠BOC，AP＝AO＝OC， ∴△AOP≌△OBC（SAS），∴， 由△AOP≌△OBC，∠OAP＝∠BOC，∴， 延长OP交BC于R， ∵OP平分∠BOC，OC＝OB，∴OR⊥BC，R为BC中点， ∴，∴， 在Rt△BOR中，，∴； ∵AM⊥OP，∴∠PAM+∠APG＝90°，∴∠COP+∠APG＝90°，∴∠OEP＝90°， ∵∠BOR＝∠COP，∴tan∠COP＝tan∠BOR，∴， 设PE＝x，则OE＝3x， ∵PE2+OE2＝OP2，∴，解得， ∴OE＝3x． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $