广东高州中学等校2025-2026学年高二下学期5月学情检测数学试题

绝密★启用前 高二年级5月学情检测 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第二册占70%，选择性必修第三册第六章占30%。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现 有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同 的选法共有 A.7种 B.8种 C.15种 D.56种 2.已知函数f(x)满足f'(8)=2,则li f8-2Ax)=f8）= △x0 △x A.4 B.-4 C.-2 D.2 3.函数f(x)=x3-9x在区间[0,1]上的值域为 A.[-8,0] B.[-8,1] C.[-9,0] D.[-9,1] 4.已知数列{an}满足an+an+1=4,a,=0.若antm=an,则正整数m的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 5.若二项式(a+2x)4的展开式中，x和x2的系数相同，则非零常数a= A.1 B.2 C.3 D.4 6.将标有1,1,2,3,4,6的六张数字卡片分成甲、乙、丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数数字 卡片，则不同的分法总数为 A.12 B.18 C.24 D.36 GD·高二数学第1页（共4页） 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=a2S2,a1a2>0,a1a4a5=6a2a3a6,则a5= A.3 B.3√2 C.6 D.6√2 8.已知函数f(x)=a(ax2-x)-lnx,a≠0.若Hx>0,f(x)≥b,则的最小值为 A。 B.2e C.-e D.-2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著 的《详解九章算法》一书中就有出现，如图，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是 1,n=0 11,n=1 121,n=2 1331,n=3 14641,n=4 A.每行的首位和末位均为1 B.n=5对应的行中共有4个质数 C.若有不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，则该数字的最小值为6 D.n=m对应的行的各项数字之和为2” 10.若(1+2x)8+(1-2x)8=a+ax+…+agx8,则 A.o=2 B.a3=0 C.a1+a3+a5+a7=1 D.a1+2a2+…+8ag=16×37+16 11.对于数列an},{bn},若对任意正整数n,an<bn+1-bn恒成立，则称{an}是bn-有界数列，若 an+1=(n+1)an,则称{an}是阶乘数列，则 A.对任意等差数列{an},存在等比数列{bn}使得{an}是bn-有界数列 B.对任意等比数列{an},存在等差数列{bn}使得{an}是bn-有界数列 C.对任意等差数列{an},存在阶乘数列{bn}使得{an}是bn-有界数列 D.对任意阶乘数列{an},存在等比数列{bn}使得{an}是bn-有界数列 GD·高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=sin(lnx),则f'(1)= 13.已知在公差为d的等差数列a,}中，a=44,且a。=55,a=15,则d 14.将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C,其余2 人干工作D;在第二组中选择1人干工作E,其余3人干工作C,已知甲不能干工作C,乙要干工 作D,丙不与丁在同一组，则分配方式总数为 ·（用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)若n>m≥2，证明： (1)A=CA1; (2)A+=A+n·(n-m)！·Cm·Am. 16.（15分)已知函数f(x)=x2+asin x+b,曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x-1. (1)求a,b; (2)若函数g(x)=f(x)-kx在区间 上单调递增，求k的取值范围。 GD·高二数学第3页（共4页） 17.（15分)记Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-2m+1+2. (1)求数列{an+1-2an}的前n项和； (2)求Sn: 18.（17分)在等差数列{an}中，a1a3=5,a2a4=21. a az-aj (1)求 5-ai (2)求a1; (3)若a2<2a1,记Sn为{tan atan d+1}的前n项和，证明：n> tan(2n+1) --n. tan 2 7分)已知函数f(x)=xaln元，0>0，g()=x-3xnx)23 (1)讨论f(x)的单调性； (2)求g(x)的零点个数； 19 (3)当>3时，记f(x),(x)的各零点之和为T,证明：3<T<a+5, 参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.097. GD·高二数学第4页（共4页）高二年级5月学情检测 数学参考答案 1.【答案】C 【解析】有7本科普类文本和8本人文自然类文本，从科普类文本或人文自然类文本中选一本，则不同的选法共 有7+8=15种.故选C. 2.【答案】B 【解折1四8-2水8》：-28+2)8》.-2y(1-4放选B 2(-△x) 3.【答案】A 【解析】x∈[0,1]时，∫'(x)=3x2-9<0,f(x)单调递减，而f(0)=0,f(1)=-8,可得其在区间[0,1]上的值域为 [-8,0].故选A 4.【答案】B 【解析】注意到a1+a2=4,可得a2=an,而a2=4≠a1,可得正整数m的最小值是2.故选B. 5.【答案】C 【解析】由题意可得x的系数为C4a·2=8a3,x2的系数为Ca2·2-24a2,则有24a2=8a3,又由a≠0得a=3.故 选C 6.【答案】B 【解析】奇数数字卡片分成三组共A:=3种分法，偶数数字卡片分成三组共A=6种分法，由分步乘法计数原理 知共3×6=18种分法.故选B. 7.【答案】D 【解析1记a,的公比为q,由aa,=ag>0知9>0而3，=4，，显然g=1不成立，故1g）-ag.a(1-） 1-4 -=a19· 1-91 019=1+g2, g=2, 即a19=1+g2.由a1aa=6a,aa6,得ag"=6ag,即a1g3=6.联立 解得3故a,=a9=62.故 a1g=6, a19 选D. 8.【答案】D 【解折/(s=2-a-2a+a-少由题意得当取最小值时a<0,则e0,为时()<0 单调速减，当云+时"(>0)单调港猫，故)≥动》圳动)子(-2a)≥6，于 是6h(-2a=h即 -2a≤e,即8≥-2e故选D. e GD·高二数学第1页（共5页） 9.【答案】ACD(每选对1个得2分)】 【解析】对于A,显然C=C=1,故A正确：对于B,易知n=5对应的行中的数为1,5,10,10,5,1，显然只有2个 质数，故B错误；对于C,注意到前5行不存在不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，而第6行后除1 以外数字最小为6，且其在n=4对应的行出现过，故C正确；对于D,当n=m时，该行的数依次为二项式(1+x)” 展开式中各项的系数顺序排列所得，取x=1得和为2"，故D正确.故选ACD. 10.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】令x=0,则a=1+1=2,故A正确；a3=C×1'×2+Cg×1×(-2)3=0,故B正确；令x=1,得ao+a1+…+ ag=3*+(-1)‘=38+1,令x=-1,得ao-a1+a2-a+-a,+ag=(-1)*+38=3+1,两式相减得2(a1+a3+a,+a)=0, 故C错误；对等式两边求导得16(2x+1)7-16(1-2x)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8agx’,令x=1,得a1+2a2+…+8a= 16×3+16,故D正确.故选ABD. 11.【答案】AC(每选对1个得3分)》 【解析】对于A,记{an}公差为d,取b.=(a1+d+2)(4+d)",此时b1-bn=(4+d)“(3+d)·（a1+ |d+2),而|an=a,+(n-1)d≤a+d|(n-1),而a+d(n-1)<(4+d)"(3+d)(a,+d+2),可 得an<bn1-bn,故A正确：对于B,记{bn}公差为d,显然bn1-b.=d,此时取an=2",则当n>d时，an> 2d>d,故B错误；对于C,由累乘法易得bn=n!b1,故b1-b.=n·n！b,,而an≤a1+(n-1)d,要 使an<bn1-b.l,可令n·n!|b,-(n-1)d>n[n!|b,-d门>a1l,不妨取b,=a1+d+1,则此不等 式成立，故C正确；对于D,设{bn}公比为g,bn=bg-,则要求有n!a1<q-1|川g1b,,不妨考虑q>2且 9∈N,即n!ak(9-1)g6.而随着n增长，显然存在一个N,当>N时，1x2x·9·(g+1)··n 9·q·…·9 1,即1，此时取a,--)6,得到矛盾，放D错误放选AC 12.【答案】π 【解析'()=T.1 ·cos(rnx),于是f'(1)=Tcos0=m 13.【答案】20 3 a.=44(m-l)d=55, 【解析】由题意 两式相减得md=60,代入a1+(m-1)d=5中，得60-44=5，解得 3 azm=d+(2m-1)d=115 d=20. 14.【答案】68 【解析】不妨考虑丙在第一组，丁在第二组.显然乙必然在第一组.若甲在第一组，则剩余4人中1人进第一组与 丙共干工作C,剩余3人进入第二组，而这3人与丁中1人干工作E,剩余3人干工作C,故共有C!×C4=16种 GD·高二数学第2页（共5页） 若甲在第二组，则剩余4人中2人进第二组与丁干工作C,剩余2人进第一组与丙进行工作，其中1人选工作 D,剩余2人干工作C,故此时共有C×C:=18种.由对称性可知总分配方式共2×(16+18)=68种. 15证明：(1A骨=nl.1分剂 n！ C=n-11,3分) A=(n-1)!,(4分)》 此时n!=n·(n-1)!,得证.(5分) (2)A=(n+1)!,(6分) A”=n!,(7分》 m!(n-m)1‘m!=n1,(11分) n! 而(n-m)！·Cm·A=(n-m)！· 而n!+n·n！=(n+1)·n！=(n+1)!,得证.(13分) 16.解：(1)f'(x)=2x+acos x,(1分) 所以切线斜率为f'(0)=a,(2分) 又f0)=b, 所以曲线y=f八x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-b=a(x-0),即y=ax+b,(4分) 因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x-1, 所以a=2,b=-1.(6分) (2)由(1)知f（x)=x2+2sinx-1, 则g(x)=f(x)-k=x2+2sinx-kx-1,(7分) g'(x)=2x+2cos x-k,(8) 因为()在区间[子，引上单调造增。 所以Ve[任羽s2x+2mx(9分) 设t(x)=2x+2cosx,则t'(x)=2-2sinx=2(1-sinx)≥0，(10分) 所以u()在区间？习上单调递增，(1山分) 则4==2x+2s-+2.(13分 所以k≤受+2，即长的取值范围是(-∞，受+V(15分) 17.解：(1)由Sn=2a.-21+2,得S+1=2a+1-22+2,(1分) 两式相减得a+1=2a1-2*2-2a+21,即a1-2an=2,(3分) 则数列1a1-2a,的前n项和为41-？）=2-4(6分) 1-2 GD·高二数学第3页（共5页） (2②)由()知=：-1.可得会是公差为1的等差数列.8分 2+12” 又当n=1时，a1=2a1-4+2,得a1=2,(9分) 放号1，则2=1+(a-)a放a,=n2(2分) Sn=2a.-21+2=(n-1)·21+2.(15分) 80降记的是方责分 (2)解：由题意可得5=a,(a1+2d),21=(a1+d)(a1+3d),(4分) 地时起然a0,可得总，（6分剂 则awa。点》》臣 10: ,(7分) 即-a+10 75=84,即a+74a-75=0,解得ai=1,(8分） 所以a1=±1.(9分) (3)证明：当a1=1时，a,=5,此时a2=3>2a1,不符合题意，(10分) 当a1=-1时，a=-5,此时a2=-3<2a1,符合题意.(11分) 此时d=-3-(-1)=-2,故an=-2n+1.(12分) 则tana,tana1=tan(2n-1)tan(2n+1).(13分) 由m2=m(2-2-]-2把2.4分 可得an(2n-1an(2n+1）=tan(2n+1)-an(2n-1）-1,(15分) tan 2 累加可得s.=am(2n+1）-tanl-n=a(2ntl）-n an1之an(2n+1)-n.(17分) tan 2 tan 2 tan(T-2)tan 2 19.(1)解f(x)=1+4-子-ax+1 22,>0,(1分) 令y=x2-ax+1,则4=a2-4, 当0<a≤2时，△≤0，(x)≥0，f(x)单调递增，(2分) 当a>2时，4>0，由2-r+1=0得x=±V-4 ，(3分) 2 GD·高二数学第4页（共5页） 当0，马到时e>0)单调递蜡：当-，时)0)单调莲诚：当 2,2 x∈+Va-4,+∞时P(x)>0(x)单调递增.(4分) 综上.当0e2时在区同0上单国莲端：当>2时在区同，一g片小上 单调递增，在区间a-ya-4a+Va-4 2,2 上单调递减.(5分) (2)解：g'(x)=3x2-3(1nx)2-61lnx-3=3[x2-(lnx+1)2]=3(x-lnx-1)(x+lnx+1),(6分) 设a()=x-hx-1,h(x)=1-(7分) 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(1，+o)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，(8分) 可得h(x)≥h(1)=0,而y=x+lnx+1是增函数，可得x≥1时g(x)≥0，g(x)单调递增，(9分) 而当x∈(0,1)时，g(x)=x(x2-3)-3x(lnx)2<0,(10分) 注意到g(2)=2-6(ln2)2<0,g(3)=18-9(1n3)2>0, 可知g(x)有唯一零点∈(2,3).(11分) (3)证明：注意到1=0，而)+=-ahh0(12分) 可者行在零放1则为其零点面由3得“g区，1. 注意到-号h30a=ah》=10 8 可知f八x)在区间(1，+o)上有唯一零点te(3,a2),(14分) 而T++1设F)=+o3,Pr(=1>0,F(单调递增，(15分) 于是F(3)+1+2<T<F(a2)+1+3,即9Ta+4+a2+5.(17分) 3 a2 GD·高二数学第5页（共5页）