高一下学期期末实战模拟卷十一-【创新教程】2025-2026学年高一下学期数学期末实战模拟卷

高一下学期期末实战模拟卷十一 命题范围：必修第二册 测试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若复数之满足(2+i)z=|2一√2（ⅰ为虚数单位），则在复平面内之的共轭复数所对应的 点位于 () 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2。一道竞赛题，A,B,C三人可解出的概率依次为2：3：若三人独立解答，则仅有1人解 出的概率为 4动 c D.1 3.第24届冬季奥林匹克运动会是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，某运动选手从男子 500米、男子1000米、男子1500米、男子5000米接力、混合团体2000米接力5项中等 可能的选3项参赛，则该选手没有选择男子5000米接力的概率为 () A c 4.已知a=(3,6),b=(-2,一4)，|c=2√5，(a+b)·c=5,则a与c的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 5.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.球 面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线.已知正 三棱锥S一ABC的侧棱长为2，底面边长为3，设球O为其外接球，则球O对应的球面上 经过S,A两点的测地线长为 ( A. B.2 C. 3 D.4 6.随机事件A发生的概率为 ，随机事件B发生的概率为 ，则事件A,B同时发生的概率 的取值范围是 煎 A. [品 B 7.在△ABC中，E为AC上一点，AC=3AE,P为BE上任一点，若AP=mAB十nAC(m> 凶 0,m>0),则3+1的最小值是 n A.9 B.10 C.11 D.12 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知B=60°，c=1,则△ABC面积 的取值范围为 33 84 B) c D √3 8 2 11-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技 频率 能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩 4 组距 0.040 统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进 行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频 率分布直方图（如图），下列说法正确的是 ) 0.015 0.010 A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90,100)内的学生有0.005 160人 05060708090100成绩分 B.图中x的值为0.020 C.估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D.估计全校学生成绩的80%分位数为95 10.某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛，在歌分值份 唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一 80 75 个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组（记 70 70 6868 66 62 为小组A,小组B)对同一名选手打分的分值绘制成折 6055 58 线图，如图，则 ( ) 504745 50 4042 46 475047 +小组A +小组B A.小组A打分的分值的众数为47 30 36 B.小组B打分的分值第80百分位数为69 0123456789 评委序号 C.小组A更像是由专业人士组成的 D.小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值 11.如图所示，正方体ABCD一AB,C,D1的棱长为2，线段B,D1上有两 个动点E,F,且EF=√2，则下列结论正确的有 ) A.AC⊥BE B.△AEF的面积与△BEF的面积相等 C.异面直线AE,BF所成的角为定值 D,三棱锥ABFF的体积是号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知等腰三角形ABC的顶角A=120°，BC=√3，AB=a,BC=b,AC=c,则a·b+b·c 十a·c= 13.如图，在四边形ABCD中，△ABD,△BCD分别是以AD和BD为底的等腰三角形，其 中AD=1,BC=4,∠ADB=∠CDB,则AC= 14.已知三棱锥有一个面是边长为2的正三角形，两个面为等腰直角三角形，则该三棱锥的 体积可能为 (只需要写出一个即可，不必全部写出) 11-2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0，π]. (1)若a∥b,求x的值； (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且满足b=a十1，c=a十2. (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a;若不存在，请说明 理由. 17.(本小题满分15分)(1)树人中学高一(1)班50名同学期中考 频率 试(100分制)数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组 组距 0.054 区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，90， 100],试求数学成绩的80%分位数（保留一位小数）； (2)树人中学组建足球队备战全市高中生足球联赛.队员分别 来自高一、高二两个年级，且高一年级队员占队员总数的专.88 已知高一年级队员体重（单位：kg)的平均数为70，方差为 405060708090100成绩 300;高二年级队员体重的平均数为60，方差为200.求足球队全体队员体重的平均数及 方差. 11-3 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=AC=2, BC=2√3，M,N分别为BC,AB的中点. (1)求证：MN∥平面PAC; (2)求证：平面PBC⊥平面PAM; (3)在AC上是否存在点E,使得ME⊥平面PAC?若存在，求出ME 的长；若不存在，请说明理由 19.(17分)某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男生、 女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理如表所 示.规定：数据≥60时，体质健康为合格 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100] 5 91.3 91 良好 [80,89] 4 83.9 4 84.1 及格 [60,79] 8 70 11 70.2 不及 60以下 3 49.6 3 49.1 格 总计 20 75.0 20 71.9 (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率： (2)从男生和女生中各随机选取1人，求恰有1人的体质健康等级是优秀的概率； (3)表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都比较接近（二者之差的 绝对值不大于1)，但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分.研究发现，若去掉 四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也很接近，写出去掉的这个等 级.（只需写出结论) 11-4 高一下学期期末实战模拟卷十一 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂)口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 ☑XO 事 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 【)历三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共58分） 1 ABCD 4 A BCD 7A⑧CD 10 A BC D 2 ABCD 5 ABCD 8 ABCD 11ABg回 请在各题 3ABCD 6ABg回 9ABCD ”” 目的 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 题 填空题（共15分） 12. 13. 答 14 出 解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十一）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 频率 组距 请在各题目的答题区域内作答 0.054 0.010 0.006 0 405060708090100成绩 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十一）第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十一）第3页（共4页）》 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十一）第4页（共4页）如图所示：在正四面体中， 高DO=WJBD-BO BD-B+}BC+BABC- 4 2+×4+×2×4×-1， 1-(×-(2×月 所以BD=√7. 3 18.解：(1)抽取小吃类商家个数为40×(1一25% 在图2一顶处的四边形中，如 一15%-10%-5%-5%)=16， 图所示： 抽取玩具类商家个数40×10%=4. 直三棱柱高PV=tan∠PMN· (2)(i)根据题意可得(0.001×3十a+0.003 +0.005+0.007)×50=1,解得a=0.002, MN=am晋X号×2-ID= 3 设中位数为x,因为(0.001+0.003)×50= 0.2,(0.001+0.003+0.007)×50=0.55, X1=3 所以(x-300)×0.007+0.2=0.5,解得x≈ 26 342.9, V装-V袋=(ha- 1 平均数为(225×0.001+275×0.003+325× 4 .6 9 0.007+375×0.005+425×0.002+475× 0.001+525×0.001)×50=352.5, 3_3-2>0, 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为 4 24 342.9,平均数为352.5. ,V#>V继. (D450420×0.002+0.001+0.001 (2)如图，分别连接三 50 角形的内心与各顶，点， ×50×800=128, 得三条线段，再以这三 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数 条线段的中点为顶点作三角形 为128. 以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形 19.解：(1)依上面剪拼方法，有V>V. 的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那 线剪下三个四边形， 么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1 可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折 的正三角形，其面积为现在计算它们的高： 起，成为一个缺上底的直三棱柱， 再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱 高一下学期期末实战模拟卷十一 选择题答案速查 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A B C B C C D D ACD AC AD 1.A[因为(2十i)x=W2-√2i,即(2十i)x=2, 4.B [a+b=(1,2),|c=2√5，cos0= 2 2(2-i) 4 2 (a+b)·c 5 1 所以x一2十1=(2+iD(2-iD5 5 1y 所以=营十，共所对应的点为 a+bcV5x25-2,则a+b与c的夹角 42 为60°，而a与a十b同向，所以a与c的夹角为 60°.故选B.] 于第一象限.] 5.C[如图，设点D是点S在平 2.B[根据题意，只有1人解出，则分三类，①A 面ABC上的投影，则DA=DB 解出而其余两人没有解出，②B解出而其余两 =DC,且点O在直线SD上， 人没有解出，③C解出而其余两人没有解出，每 设球O的半径为R, 一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这 .AB=BC=AC=3,SA=2, 三类用互斥事件概率的加法求解.P=P(ABC) +PBC)+P(aBC)=号X号×+号X号 :.AD= 3) =3, 则SD=√22-(W3)2-1, 在Rt△AOD中，R2=(3)2+(R-1)2,解得R 3.C[记男子500米、男子1000米、男子1500 =2. 米、男子5000米接力、混合团体2000米接力 分别为a、b、c、d、e,则从5项中选3项参赛的样 ∴0A=0S=2=SA,可得∠A0S=否， 本空间为：2={(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a, ∴球O对应的球面上经过S,A两点的测地线 c,d),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b, d,e),(c,d,e)}共l0个样本点，记“该选手没有选 长为智×2=吾故选C.] 择男子5000米接力”为事件A,则A={(a,b,c), (a,b,e),(a,c,e),(b,c,e)}共4个样本点，由古典概 6.C[依题意，PA)=号，P(B)=号由P(A十 型的计茅公式得P)。号故选C】 B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1， ·27· 得PAB)≥P()+P(B)-1=号+号-1= 一80)=0.5，得a≈86.7，故C正确；低于90分 的频率为1一0.4=0.6，设样本数据的80%分 ,又P(A)>P(B), 7 位氨为，则总090-8号解得月=5，北D正 则当BCA时，P(AB)=P(B)= 确.] 3 10.AC[由题图可知，小组A打分的分值为42， 所以事件A,B同时发生的概率的取值范围 47,45,46,50,47,55,50,47,则小组A打分的 后引 分值的众数为47，故选项A正确； 小组B打分的分值为55,36,70,66,75,68,68,62 58,从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70， 7.D[根据题意得AP=mAB十nAC=mAB十 75,9×80%=7.2,故第80百分位数应该排在 3nAE,又因为P,B,E三点共线，则m+3n=1. 第8位，为70，故选项B错误； 苏以是+（月+m+3m)-6+架+丹 小组A打分的成绩比较均匀，波动更小，故小组 A更像是由专业人士组成的，故选项C正确； m n 小组A打分的分值的均值小于55，而小组B ≥6十2×分=12南且收当m 1 2,n=6 打分的分值的均值大于55，所以小组B打分 的分值的均值大于小组A打分的分值的均值， 时等号成立 故选项D错误.] 比时十女取爱小价12，故递D] 11.AD[对于A,连接BD(图略)，由正方体的性 质易证AC⊥平面BB1D,D.因为BEC平面 8.D[由锐角△ABC,结合B=子 BB1DD,所以AC⊥BE,故A正确；对于B,由 题图可得A,B到线段B1D,的距离不相等，故 0<A<T, △AEF的面积与△BEF的面积不相等.故B 错误；对于C,当E在D1处，F为D,B1的中，点 得 解得看<A<登，由正孩定现 A十ππ 时，连接BC(图略)，由BC1∥AD1可知异面 32 直线AE,BF所成的角是∠FBC1;当E为 sin A sin B sin. b D1B,的中点，F在B1处时，由AA1∥BB1可 3 知异面直线AE,BF所成的角是∠EAA1,易知 得A 1 两个角不相等，从而异面直线AE,BF所成的 π 角不为定值，故C错误；对于D,V三技锦A,Er= sin 3 sin 3 3×2×EFXB,XABsin46=3×2X2 所以a= sin A in2-A】 (3 X2X2×号号长D正减裁这AD】 12.解析：因为等腰三角形 sin 13 √3 ABC的顶角A=120°，BC -A 2sin 2 =√3，故AC=AB=1,B 3 -A =C=30°. B 故a·b十b·c十a·c=1 2 absin C=3 故S△ABC= sin A 一A ×5X 3]+1×5×3+1×1× 2 sin A cos+sin A 3 1 2 2 tan A 答案：一2 1 因为晋<A<受，所以anA> 所以1 tanA∈ 13.解析：，'△ABD,△BCD分别是以AD和BD 6 为底的等腰三角形，且∠ADB=∠CDB, 0.+ X-1 ∈ 1 △MBD△CD.部部D, tan A ,2,故Sa 1 3√3 ÷BD=2,在△BCD中，cos∠CDB= 4 1+3× 1 8’2 2+2× tan A ÷ms∠ADC=2o∠CDB-1=-8.在 所以△ABC面积的取值范围是 3 △ACD中，AC2=AD2+DC-2·AD· 9.ACD[由题意，成绩在区间[90,100)内的学生 =24， DCcosZADC=12+4+2X1X4X8 人数为400×0.040×10=160，故A正确；由 ∴.AC=2√6 (0.005+0.010+0.015十x+0.040)×10=1, 答案：2√6 得x=0.030,故B错误；由于前3组的频率和 14.解析：根据题意分类讨论. (0.005+0.010+0.015)×10=0.30.5,前4 ①△BCD是等边三角形，且BA 组的频率和(0.005十0.010十0.015十0.030)× ⊥AC,DA⊥AC,如图所示： 10=0.6>0.5,所以中位数在第4组，设中位数 为a,则(0.005+0.010+0.015)×10+0.030(a 易知DA=AB=√2，DB=2,因 ·28· 为DA+AB2=DB,所以DA⊥AB, 所以三棱锥A一BCD的体积 icos C-4t<oa+<d+ 2ab V=吉××x恒x2= (a+1)2<(a+2)2→a2-2a-3<0→-1<a 3, ②△BCD是等边三角形，BAI 又a>0,.a∈(0,3) BD,BA⊥BC,如图所示： 同时还应考虑构成△ABC的条件，即a十b> 易知AB⊥平面BCD, C→ 所以三棱锥体A一BCD的体积 a+(a+1)>a+2→a>1. V=号×9×2x22g 综上所述，当a∈(1,3)时，△ABC为钝角三 3 角形. ③△BCD是等边三角形，BA⊥ ∴.存在正整数a=2,使△ABC为钝角三角形. BD,DC⊥AC,如图所示： 17.解：(1)由频率分布直方图可知： 取AD的中点O,连接BO,CO,可 (0.006×3十0.010+x+0.054)×10=1,解 得：x=0.018, 得B0=CO= AD =J BO 于是，[80,90)占比0.018×10=0.18，[90， ⊥AD, 100]占比0.006×10=0.06， 且BO}+CO=BC2,所以BO [40,80)占比1-(0.18+0.06)=0.76， CO. 故数学成绩的80%分位数为80+0.8-0.76 0.018 又AD∩CO=O, ≈82.2： 所以BO⊥平面ACD,所以三棱锥A一BCD的 (2)由题意知： 体瓶V-吉×2×2x2X,-2g2 31 高一队员在所有队员中所占权重为号，云 故该三棱维的体积可能为或23或2y =70, 3 3 3 高二年级队员在所有队员中所占权重为 1 答案号2度2（任填个） 5x2 =60, 15.解：(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3), “全郭队员体重的平均数为7=吉×60十号× a∥b, 70=68. 所以一W3c0sx=3sinx. .全部队员的体重的方差为： 若cosx=0,则sinx=0,与sinx+cos2x=1 矛盾，故cosx≠0. -号×[20+(60-68)1+号×[300+(10 于是tanr=- -68)2]=296. 3 18.解：(1)因为M,N分别为BC,AB的中点， 又x∈[0，π]，所以x=5x 所以MN∥AC. 6 因为MN中平面PAC,ACC平面PAC, (2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-√3) 所以MN∥平面PAC. =3cosx-3sinx=2v5cos(x+若） (2)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以PA⊥BC, 因为x∈[0，]，所以x+∈[答]， 因为AB=AC=2,M为BC的中，点，所以AM ⊥BC. 因为AM∩PA=A,所以BC⊥平面PAM. 从而-1+ 因为BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平 面PAM. 于是，当1十否=音，即=0时，)取到最大值 (3)假设存在满足条件的点 E,如图，过点M作ME⊥ 3: AC交AC于点E,因为PA 当x十吾=元时，即x=否时，f(x)取到最小 ⊥平面ABC,MEC平面 6 ABC,所以PA⊥ME.因为 值一23. ME⊥AC,AC∩PA=A, 16.解：(1)2sinC=3sinA→2c=3a,又.c=a+2, 所以ME⊥平面PAC. ∴.2(a+2)=3a,∴.a=4, 因为在△ABC中，AB=B ∴.b=a+1=5,c=a+2=6, AC=2,BC=23, cosA=6+c2-a2-5+62-43 BC+AC-AB23 2bc 2×5×6 4” 所以cOs∠BCA= 2BC·AC 2 六sinA=I-cosA= 因为M为BC的中点，所以MC=√3， 4 又ME⊥AC,所以ME=MC·sin∠BCA ∴Saar=2 esin A= ×x6x=15 1 - 2 4 2 (2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角 19.解：(1)样本中合格的学生数为5+2十4十4十8 形，则角C为钝角， 十11=34，样本总数为20十20=40，故这名学 ·29· 生体虎处底合格的数车为P-站-品 因为事件A,B为相互独立事件，所以所求概 率为 (2)设事件A为“从男生样本中随机选出的人 P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) 的体质健康等级是优秀”，P(A)=品=子 =P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B) 事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质 -×品+子×0-品 化底等级是优秀”，P(B)=品-0 (3)去掉的等级为优秀. 高一下学期期末实战模拟卷十二 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 D C D B C A C D ABD ABD AB 1.D[对原式两边同时乘以i得：之-1=i,即之= 1十i,所以之=1i,即之十之=2，故选D.] 言R,所以酒杯下部分（半球）的体积一×专。 2.C [AD-AB+BD,AD-AC+CD, XR三号R,酒杯上部分（圆柱）的体积V→ 2AD-AB+AC+3CB 5 4 -AB+AC+是CA+AB 一=2.故选A.] AB+号C,即0-专店+吉正故 7.C[如图，过A1作AH⊥ 选C.] AC,垂足为H,连接DH.因 3.D[因为事件A和B相互独立，事件A十B为 为侧面AA,C,C⊥底面 和事件，则P(A十B)=P(A)十P(B)一P(AB) ABC,且侧面AA,C,C∩底 =P(A)+P(B)-P(A)P(B), 面ABC=AC,所以A1H⊥ D 所以告=+P(B)-子P(B),解得P(B) 平面ABC,所以∠A,DH为 直线A,D与平面ABC所成 的角.设AB=2a,因为侧面 AAC1C是菱形，且∠A1AC 4.B[当高中矮者与矮中高者在同一列时，高中矮 者与矮中高者是同一个人，所以h(高中矮)=h(矮 =哥，所以AH=a,A,H= 中高)；当高中矮者与矮中高者不在同一列且在同 √3a,又△ABC为等边三角形，点D是BC的中 一行时，h(高中矮)>h(矮中高)；当高中矮者与矮 中高者不在同一列且不在同一行时，高中矮者身高 点则DiI=专AB=a,从而an∠AD1I-沿 大于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人 的身高，而矮中高者身高又小于与高中矮者同行且 =3,故∠A,DH=故选C.] 与矮中高者同列的那个人的身高，所以h(高中矮) >h(矮中高)；综上所述：h(高中矮)≥h(矮中高).] 8.D[由题意知1-sinA-(1-sin2B)+1 5.C[设外接圆的圆心为O,半径为r,连接BD, -sinC OD(图略).在R△ABC中，∠ABC=,AC= =1+sin Asin C,Ep sin2A+sin2C-sin2B= 一mAnC由正孩定理得口c=一，由 2AB,所以∠BAC=号，∠ACB=否，AD为 2ac ∠BAC的平分线，所以∠ACB=∠BAD= 余孩定理得c0sB=一7：BC0,B- 3 ∠CAD=否，则根据国的性质知BD=AB.又因 s如A十sinC=sm受∴snA+sn(号-A 为在R△ABC中，AB=AC==OD-0A: 1,整里得mA+-1.又A(0,5)A 所以四边形ABDO为菱形，所以AD=AB十AO 吾C-否，故△ABC是顶角为的等腰三角 =a十2b.故选C.] 形，故选D.] 6.A[设酒杯上部分（圆柱）的高为h.因为酒杯 下部分（半球）的半径为R,所以酒杯下部分（半 9.ABD[a·b=a·bcos吾=号，故A正 球)的表面积为2πR,由酒杯内壁表面积为4 确；|a+b|2=a2+2a·b+b2=7,则|a+b|= √7，故B正确；(3a+b)·(a一b)=3a2-2a·b xR,得酒杯上部分（圆柱）的阀面积为兰R 一b=一3≠0，故C错误；由于a与b的夹角为 2R=含R,即2RXA=号R,解得A 哥，则2a与b的夹角也为百，故D正确.故 选ABD.] ·30·