高一下学期期末实战模拟卷二-【创新教程】2025-2026学年高一下学期数学期末实战模拟卷

高一下学期期末实战模拟卷二 命题范围：复数 测试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若复数x=a十i(a一1十i)是纯虚数，则实数a= A.1 B.-1 C.±1 D.0 在 2.已知复数=2-i,则 ( 圜 A+ C.3+gi 号i 3.已知复数x=(1-i)(a+i)(a∈R),则“a<0”是“x的实部小于0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若复数之满足(2十3i)x=024十825，则复数乏在复平面内对应的点位于 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，在复平面内，复数，之对应的点分别为乙，乙2，则复数兰为 1 A.-i B.-1 C.-3i D.-3 6.已知复数之=5+i,则|x2-5z= ( A.W13 B.√/26 C.213 D.2√/26 哉 7.已知(1+i)b=a(i一1)+2i,其中a,b∈R,i为虚数单位，则以a,b为根的一个一元二次方 程是 ( A.x2-1=0 B.x2+x=2 C.x2-x=0 D.x2+x=0 8.欧拉公式e°=cos0+isin0是由瑞土著名数学家欧拉创立，将其中的0取π就得到了欧拉 曾 恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数之满足之= 2则x-e的最大 值为 ( ☒ A B.1 c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在复数范围内，方程x2十x十1=0的两根记为x1,x2,则 A.x1+x2=1 B.x1x2=1 C.|x1-x2=3 D.x1-x2=士3 2-1 10.已知x1=i40-i,(1一2i)x2=i-3,若a,b∈R,x1十a为纯虚数，之2一bi为实数，则() A.x1=√2 B.之，的虚部为一i C.a=-1 D.b=-1 11.已知非零复数之1，之2，其共轭复数分别为之1，之2则下列选项正确的是 A.好=好 B.1十之2=之1，十之2 C.若之2+1=1，则之2一1|的最小值为2 D.= 21z2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.向量a=(3,4),设向量a对应的复数为之，则之的共轭复数之 ,= 13.已知复数1和复数2满足之1十2=3十4i,之1一之2=一2+i(i为虚数单位)，则z一z2 14.已知复数之1,2满足之1+221=-3-i,x2-名=1，则之2十2i的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)已知2一i是关于x的方程x2一mx十n=0(m,n∈R)的一个根. (1)求m,n的值； (2)若之=a2一na十m十(a一m)i是纯虚数，求实数a的值和z: 2-2 16.(本小题满分15分)设复数之1=1-ai(a∈R),2=3-4i. (1)若之1十2是实数，求1·2； (2)若是纯虚数，求 17.(15分)已知复数x1=a十i,x2=1一ai(a∈R,i是虚数单位) (1)若≈1一之2在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若2是实系数一元二次方程x2一(a十1)x十n=0的根，且号十m之(m∈R)是实数， 记之=1+1+阳5 名千之十m+i求一1的值. 2-3 18.(本小题满分17分)已知2-i是关于x的方程x2十mx十n=0(m,n∈R)的一个根，其中 i为虚数单位 (1)求m十2n的值； (2)记复数2=m十i,求复数1的模。 行教程 19.(本小题满分17分)在复数集中有这样一类复数：x=a+bi与之=a一bi(a,b∈R),我们 把它们互称为共轭复数，b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数 的特点。 (山)设≠士i,=1.求证1产2是实数： 些 (2)已知之1=3,2=5,1-2=7，求的值： (3)设之=x十yi,其中x,y是实数，当=1时，求之2一之十1的最大值和最小值. 2-4 高一下学期期末实战模拟卷二 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂)口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 ☑XO 事 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 【)历三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共58分） 1 ABCD 4 A BCD 7A⑧CD 10 A BC D 2 ABCD 5 ABCD 8 ABCD 11ABg回 请在各题 3ABCD 6ABg回 9ABCD 目的 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 题 填空题（共15分） 12 13 答 14 出 解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第4页（共4页）得CN=203 cos 0' 所以Saw=号CM·CN·sin30 从而40√6sin0= os9,即sin20=2 20W3 300 300 21 sin(0+60)cos 0 由0°<20<120°， 2 sin Ocos3 2cos20 得20=45°，所以0=22.5°，即∠ACM=22.5° 600 (3)设∠ACM=0(0°<0<60°)，由(2)知CN =203 sin 203cos 203 2 2 2 cos 0' 1200 叉在△ACM中，由CM CA sin 60 sin(60+),得 2sin(20+60°)+√3 所以当且仅当20+60°=90°， 20√3 即0=15°时，△CMN的面积取最小值为 CM= sin(0+60)' 1200(2-3)m2. 高一下学期期末实战模拟卷二 选择题答案速查 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B C B D A B A D BC ACD BD 1.B[由x=a2+i(a-1+i)=a2-1+(a-1)i, 根据题意可知a二10a=一1] 所以：-e到的最大值为2x2+-] {a-1≠0 9.BC[因为方程x2十x十1=0的两根记为 2.C[因为之=2-i,所以x=2+i, x1,x2, 所以：2本2+2 2025 i i(2-iD=2i-- 1 5 部2+十1=0得西=+受6=号 所以x1十x2=一1，x1x2=1,因此A错误，B正 确；x1-x2=W3i=3,C正确；x1-x2=√3i 3.B[因为x=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i, 或x2一x1=一√3i,故D错误.] 若其实部小于0，则a十1<0，即a<一1， 显然a<0是a十1<0的必要不充分条件.] 10.ACD[.1=i-i=1-i,.|≈1|= 4.D[因为(2+3i)z=i024+8i2025, √/1十(-1)2=√2，故A正确；：(1-2i)2= 所以之=2+8 _1+8i_(1+8i)(2-3i) -3+i-(-3+i0(1+21)=-1- 5 2+3i2+3i(2+3i)(2-3i) i-3,.2=1-2i 2+i, i,虚部为一1，故B错误；，1十a=1十a一i为 所以之=2一i,所以复数之在复平面内对应的点 纯虚数，.1十a=0,即a=-1,故C正确；，之2 为(2，一1)，位于第四象限.] -bi=-1-(b+1)i为实数，∴.b+1=0,解得b 5.A[依题意，在复平面内，复数1，心2对应的点 =一1，故D正确.门 分别为Z1,Z2, 11.BD[设1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则，=1十2i,22=-2+i, 对A,x号=a2+2abi-b,2=(a-bi)2=a2 所以至-1名号=-门 2abi-b2, 当a,b至少一个为0时，= 6.B[由x=5+i可得x2-5x=x(x-5)=(5+i) 当a,b均不等于0时，z≠，故A错误； (5+i-5)=5i+i2=-1+5i, 对B,之1十之2=(a十c)十(b十d)i,则x1十2=(a 则|z2-5x=|-1+5i=√(-1)2+5=√26.] +c)-(b+d)i, 7.A[因为(1+i)b=a(i-1)+2i,所以b+bi= 而1+z2=a-bi+c-di=(a+c)-(b十d)i, -a+(a+2)i, 故之1十心2=之1十2，故B正确； 所以么a2所以8， 对C,若|x2+1|=1,即(c+1)+di=1,即 √/(c+1)2+d=1, 因此所选方程的两根为士1，仅有x2一1=0符 即(c十1)2+d2=1,则(c,d)在复平面上表示的 合要求.] 是以（一1,0）为圆心，半径r=1的圆， 8D[设=x十i,yER),则+y2=} |2一1的几何意义表示为点(c,d)到点(1,0) 的距离，显然(1+1)2+0=4>1， 之-e=x+yi-cosπ-isinπ=x+l+yi, 则，点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离 所以|之-e"|=|x+1+yi=√(x十1)+y= d=2, ++-2+ 则点(1,0)与圆上点距离的最小值为d一r=2 -1=1,故C错误； 因为+所以-长 1 对D,4=a十b1 (a+bi)(c-di) c+di c2+d2 -ac+bd+(bc-ad)i 解得-1<a<1, c2+d2 即实数a的取值范围为（一1,1）： 1 ac+bd bc-ad? (2)由题意知x2一(a十1)x十n=0的根有2， 2 、c2+d c2+d2 则，(1-ai)2-(a+1)(1-ai)+n=0, (a2+62)(c2+d2)a2+b2 整理得：-a-a十n十(a2-a)i=0, (c2+d2)2 解得a=1, √+d n=2, 而 √a+b ,故 .1=1+i, e+d :好十m2为实数， 12.解析：向量a=(3,4),则向量a对应的复数为 .(1+i)2+m(1+i)为实数，即m+(2+m)i 之=3+4i, 为实数， 故=3-4i,|z|=√9十16=5. ∴.2+m=0, 答案：3-4i5 .m=-2, 13.解析：设1=a十bi,之2=c+di,a,b,c,d∈R, 则之1一2=(a一c)+(b-d)i,之1一2=(a-bi) 所以之=1 +1+ 是++m++ 1 -(c-di)=(a-c)-(b-d)i, 2025 所以之1一之2=之1一2： -2+2i2 2 因为31十22=3十4i,21-22=-2十i 1. 所以1一2=（之1十2)(1一x2)=（3+4i) 4, (-2-i)=-6-3i-8i-4i2=-2-11i, 则z号-2引=|-2-11i训=√(-2)+(-11)2 所以1-1=--- =5√5. 18.解：(1)由题意得：(2-i)2+m(2-i)+n=0,即 答案：5√5 4-4i+i+2m-mi十n=0, 14.解析：令复数x1=x十yi,x,y∈R,则1=x 所以3十2m+n-(4十m)i=0,所以3+2m十n 一y1, =0,4十m=0, 所以之1十2之1=3x一yi=一3-i,所以x=-1, y=1,即1=一1十i. 解得：m=-4,n=5,m十2n=6. 又因为之2一之1=1，即在复平面内，复数之2所 (2)z=-4十5i,2=-4-5i,1中i=1+i -4-5i 对应的点的轨迹是以（一1,1）为圆心，1为半径 的圆. 又点（一1,1）到点(0，一2)的距离为 所以 -4-5i _9+i_wW82 1+i 1+i 2 21 √/(-1-0)2+(1+2)2=√/10， 19.解：(1)设之=a+bi(a,b∈R),2=a-bi(a,b∈R), 所以2+2i的最大值为√10十1. 所以之·=a2+b2=x|2=|2|2,之十之=2a 答案：W√10+1或1+√10 ∈R, 15.解：(1)由2-i是方程x2一mx十n=0的一个 因为之≠士i,z=1,所以之·之=1，x十之=2a 根，得(2-i)2-m(2-i)十n=0, ∈R且2a≠0， 整理得3一2m+n十(m一4)i=0,因此 3-2m十n=0,所以m=4,n=5. 所以、之 1十2之·+21一 °&十之 是实数： 2a 1m-4=0 (2)由(1)知，x=a2-5a+4十(a-4)i, 2)设三c+di(c,dER),则之=(c十d之 由是纯虚数，得0二5十4=0，解得a=1, 1a-4≠0 因为x1|=3,x2=5, 则之=一3i, 所以3=|之，|=|(c十di)|x2|=5√c2+d2,所 所以x=√(-3)2=3. 16.解：(1)由1=1-ai,2=3-4i,得1十之2=4 以+=0， 一（4十a)i,而名十之2是实数， 又|1-2=|(c+di)2-2|=|(c-1)+di 于是4十a=0,解得a=-4, 所以1·2=(1+4i)(3-4i)=19+8i. |21=5√(c-1)+d=7, (2)依题意，立=}一a-1-ai)(3+4i) 所以(c-1)2+d=9@, 23-4i(3-4i)(3+4i) 25 3十4a+(4-3a)i是纯虚数， 25 联立①@，解得6=一高d=上酒。 10 因此径十88解得a=一子. 4 所以音±语， 所以名=1+是 (3)因为x|=1,设之=cos0+isin0(0∈R), 17.解：(1)因为复数名1=a+i,22=1一ai,所以之 则|之2一之十1=2一之十x·|=x(x十之-1) -x2=a-1+(a+1)i, 1=|x|x+x-1|=|2cos0-1|, 其对应的点为(a-1,a十1)，由题意a二1≤0 因为-1≤c0s0≤1，所以-3≤2cos0-1≤1， 1a+1>0' 所以之2-之十1max=3,z2-之+1mm=0. ·5。