精品解析：江苏省泰州市兴化市2026 年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷

2026年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明： 1.答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2.考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据负无理数的定义，即小于0的无限不循环小数，对每个选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A、是负无理数； B、0是整数，是有理数； C、是负有理数； D、3是正有理数． 2. 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数字15000000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 5. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 6. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 9. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 若圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面展开图的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 利用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的面积， 故答案为：． 11. 如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“即梦”的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“即梦AI”的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个 第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“即梦”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“即梦AI”的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点， ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 14. 如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与轴轴的交点坐标，再根据点在内部（不含边界）列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线， 令，得，解得，故， 令，得，故， ∵动点在内部（不含边界）， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 解不等式：移项得，即，系数化为得， ∴不等式组的解集为：， ∴的取值范围是． 16. 如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作于点H，则，在中，解直角三角形得到，，根据勾股定理求出，因此．证明，得到，求得，．连接，并延长至点G，使得，连接，证明，得到，，因此．连接，过点G作，交的延长线于点K，在中，解直角三角形得到，，因此，根据勾股定理求出，从而根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：过点B作于点H，则， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 连接，并延长至点G，使得，连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 连接，过点G作，交的延长线于点K， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，， ∵点M是的中点，， ∴． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】（1） （2），整数解是，，0，1 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根，零次幂，绝对值，再合并即可． （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分以及整数解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴其整数解为：，，0，1． 18. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_________；②请补全抽取的学生成绩条形统计图； （2）得分为“90分”这一项所对应的圆心角是_________度． （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 【答案】（1）①200 ②补全学生成绩条形统计图： （2）144 （3）1800人 【解析】 【分析】（1）①先由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数； ②由总数减去得分为70分，90分，100分的人数求出得分80分的人数，即可补全条形统计图； （2）由乘以得分分占比即可求解圆心角； （3）用乘以得分分和分的占比即可． 【小问1详解】 解：①抽查的学生总数为（人）； ②竞赛成绩为分的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：得分为“90分”这一项所对应的圆心角为：； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：该校得分不低于90分的学生有人． 19. 京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同． （1）将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，这一张是“净”的概率为___________． （2）将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）通过画树状图列举所有等可能的结果，再统计出符合要求的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4种等可能的抽取结果，抽到“净”的结果只有1种. 因此随机抽取一张是“净”的概率为； 【小问2详解】 解：将“生”“旦”“净”“丑”分别记为A 、B 、C 、D，画树状图如下： 由上述可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片中含有“生”的结果共有6种， 因此抽取到的两张卡片中有“生”的概率为． 20. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：， ∴，即， 在和中， ， ． 【解析】 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由及为等边三角形，可得点的坐标为，将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式； （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标． 【小问1详解】 解：作轴于点， 为等边三角形，， ，， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：延长与反比例函数的图象在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 与反比例函数联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， 点的坐标为． 22. 如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求值． 【答案】（1） 证明：平分， ． ∴ ． 四边形内接于 ． 又， ． 在和中 ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义得，．由圆内接四边形的性质得到，即可证得； （2）证明，即可得到值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ． ， ． 23. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 24. 为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． （1）分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； （2）求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元 （2）当时，每天的利润最大，最大利润为1000元 【解析】 【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元； 【小问2详解】 解：由题意得，， ，对称轴为直线，且为整数， 当时，最大 答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元． 25. 结合图形，解决问题 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：如图，作，， 是的角平分线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点分别作的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． ②借鉴第（2）①问的方法，过点作的平行线，构造相似三角形求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：如图所示,过点分别作的垂线，交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ②解: 如图，作，作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用已知条件作辅助线，构造全等或相似三角形，解题关键是找到破题点，作辅助线，再利用全等或相似求解． 26. 如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． （1）求点、的坐标（用含的式子表示）； （2）如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； （3）若是钝角，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解； （2）作轴，轴，证明，根据，进而根据二次函数的性质，得出时，原式最小取最小值，即可求解； （3）取的中点，以长为半径作圆，根据当在圆上时，，得出，代入抛物线求得，结合是钝角以及函数图象，即可确定的范围 【小问1详解】 解：令，则 ， 在左侧 ， 【小问2详解】 解：如图，作轴，轴 轴，轴 ， ， 当时，， ∴， ， 直线 是常数 当时，原式最小 【小问3详解】 解：取的中点，以长为半径作圆 当在圆上时， ， 将代入抛物线表达式 得到 （舍）， 是钝角 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明： 1.答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2.考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3 2. 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 8. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 9. 因式分解___________ 10. 若圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面展开图的面积是______． 11. 如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 12. 2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“即梦”的概率为__________． 13. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 14. 如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 15. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 16. 如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）解不等式组：，并写出它的整数解． 18. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_________；②请补全抽取的学生成绩条形统计图； （2）得分为“90分”这一项所对应的圆心角是_________度． （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 19. 京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同． （1）将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，这一张是“净”的概率为___________． （2）将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 20. 如图，，，，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标． 22. 如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求值． 23. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 24. 为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． （1）分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； （2）求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 25. 结合图形，解决问题 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 26. 如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． （1）求点、的坐标（用含的式子表示）； （2）如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； （3）若是钝角，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $