精品解析：2025年江苏省泰州市兴化市中考一模数学试题

2025年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答案写在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是 岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 4. 已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，，将 在平面内绕点 旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，当时， ，且当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围为__________． 8. 科学研究发现某种分子的直径是米，则数字用科学记数法表示为_____ 9. 在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____． 10. 在中， ， ， ，则的值为___________ 11. 已知拋物线 的对称轴是直线 ，若关于 的一元二次方程 的一个根为，则另一个根为______． 12. 如图，在矩形中，为的中点，与相交于点 ．若 ， ，则 的长为__________． 13. 如图所示，点A、B、C是 上不同的三点，点O在 的内部，连接 、 ，并延长线段 交线段 于点D．若，则_______度． 14. 如图，扇形中， ，点C为的中点，交弧 于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若 ，则阴影部分面积为__． 15. 如图1，在 中，， 为 中点，点从点 出发以每秒1个单位的速度向点 运动（到达点 后停止），设点运动的时间为 ，的长为 ，图2是点运动时 随 变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则 的值为______． 16. 如图， 中，，，，点 ，分别在边 ， 上，且，点为 中点，则线段 的最小值为 _____ ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ______， _____；观察统计图得：_____（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 19. 为使学生更加了解南阳，热爱家乡．某校七年级年级组准备从博物馆 、植物园 两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆 、植物园 、科技馆 三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等． （1）八年级年级组选择去博物馆 的概率是多少？ （2）用列表法或画树状图法求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 20. 如图， 中， ，垂足为D， ，垂足为E， 与 相交于点F， ． （1）求证：； （2）若，求 的长 21. 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒 （1）求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； （2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为 元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 22. 如图，在 中， 为钝角． （1）尺规作图：在边上确定一点 ，使 （不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若 ，，，求 的面积． 23. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量 （毫克/百毫升）与时间 （小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）当时， 与 成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 24. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 25. 在平面直角坐标系 中，已知二次函数． （1）若函数的图象经过点，并与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． 求该二次函数的表达式； 若点 在该二次函数图象上，且 在直线 上方，当的面积最大时，试求出点 到直线 的距离； （2）点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求的取值范围． 26. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1， 半径为4，弦，求圆心 到弦 的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点 为圆心的两个同心圆中， 是大圆的弦，将 平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心 在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点 ，将弦 先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答案写在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 3. 甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是 岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的含义，掌握“方差越小，波动性越小”是解本题的关键； 先比较这四个团的游客年龄的方差，方差越小的团的游客的年龄最相近，从而可得答案； 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵每个旅游团游客的平均年龄都是 岁， ∴这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是：丙团． 故选：C 4. 已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先判断反比例函数所在的象限，再根据，即可得出答案，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴点，在第二象限， 随 的增大而增大， ∴， 故选：A． 5. 如图，在 中，，将 在平面内绕点 旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转性质可知，故有，，再通过平行线的性质得出，又，则，最后由三角形内角和定理即可求出旋转角． 【详解】解：由旋转性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即旋转角为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 6. 已知抛物线，当时， ，且当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 当时， 得到，则；当 时，y随x的增大而减小，则，即可求解． 【详解】解：当时， ， ∴， 解得：， ∵当 时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 8. 科学研究发现某种分子的直径是米，则数字用科学记数法表示为_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得 ． 故答案为：18． 10. 在中， ， ， ，则的值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】如图 ∵中， ， ， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键． 11. 已知拋物线 的对称轴是直线 ，若关于 的一元二次方程 的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称轴是直线 ，得到 ，设另一根为m，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ∴，即 ， 设另一根为m， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程 的另一个根为． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，为的中点，与相交于点 ．若 ， ，则 的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∴在 中，， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13. 如图所示，点A、B、C是 上不同的三点，点O在 的内部，连接 、 ，并延长线段 交线段 于点D．若，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出 的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果． 【详解】解：在 中， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键． 14. 如图，扇形中， ，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若 ，则阴影部分面积为__． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得 ，进而可证得 是等边三角形，于是可得 ，利用勾股定理可得，然后根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接 、， ，且点C为的中点， 是的垂直平分线，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 在 中，根据勾股定理可得： ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，线段垂直平分线的性质，线段中点的有关计算，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形是解题的关键． 15. 如图1，在 中，， 为中点，点 从点 出发以每秒1个单位的速度向点 运动（到达点 后停止），设点 运动的时间为 ，的长为 ，图2是点 运动时 随 变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点 关于 的对称点，连接，由轴对称的性质可知，， ，，，根据，所以当三点共线时，的值最小，为的长，由图可知， ，过点 作于点，根据勾股定理求出，得到， ，根据解直角三角形得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：作点 关于 的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ，， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，如图所示： 由题图2可知，此时， 过点 作于点， ∵ 为中点， ， 在 中， ， ， （负值已舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，轴对称，勾股定理，从函数图象中获取信息等知识，掌握相关知识是解题的关键． 16. 如图， 中，，，，点 ， 分别在边， 上，且，点为 中点，则线段 的最小值为 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作交 于点， 根据解直角三角形得到，根据勾股定理求出，则，过点 作，则，设，则，，根据勾股定理求出，得出， ，取的中点，连接，则，求出，要使 最小，则要最小，在中，，当时，取最小值，最小值为，求出 即可． 【详解】解：过点 作交 于点，如图： ∵，， ∴， 在中，， ∴， 过点 作，则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 取的中点，连接，则， ∵是 中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 要使 最小，则要最小， 在中， ， 当时，取最小值，最小值为， 此时， ∴ 最小值为(负值已舍去)． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解不等式组，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根依次求解，再合并即可； （2）分别解出一元一次不等式的解集，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为：． 18. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ______， _____；观察统计图得：_____（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】（1） ， ， （2） （3） 解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：共个数据，乙组数据第 个、第 个数据分别为、 ， 中位数， 甲组数据中 出现的次数最多， 众数 ， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为： ， ， ； 【小问2详解】 解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 19. 为使学生更加了解南阳，热爱家乡．某校七年级年级组准备从博物馆 、植物园 两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆 、植物园 、科技馆 三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等． （1）八年级年级组选择去博物馆 的概率是多少？ （2）用列表法或画树状图法求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）由列表法或者树状图法知共有种等可能的情况，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有 种，最后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：八年级年级组选择去博物馆 的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 八年级 七年级 或画树状图如下： 由列表（或树状图）可知，共有种等可能的结果，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有 种， 故该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 20. 如图， 中， ，垂足为D， ，垂足为E， 与相交于点F， ． （1）求证：； （2）若，求 的长 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴； （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据 ，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒 （1）求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； （2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为 元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】（1）该批发商购进哪吒挂件的单价是 元，敖丙挂件的单价是 元 （2）购进哪吒挂件个，敖丙挂件个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该批发商购进哪吒挂件的单价是 元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进哪吒挂件 个，则购进敖丙挂件个，根据要获得总利润为 元，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是 元，则购进敖丙挂件的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是 元，敖丙挂件的单价是 元； 【小问2详解】 设购进哪吒挂件 个，则购进敖丙挂件个， 由题意得：， 解得：， ， 答：购进哪吒挂件个，敖丙挂件个． 22. 如图，在 中， 为钝角． （1）尺规作图：在边上确定一点 ，使 （不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若 ，，，求 的面积． 【答案】（1） 如图，点 为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）作和垂直平分线，交于 ，即可； （2）过点 作于点 ，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理先后求得、、的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据垂直平分平分线的性质，知： ， ， ； 【小问2详解】 解：由（）知 ， ， 过点 作于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 【点睛】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，充分发挥基本图形的作用，利用线段垂直平分线的性质求解． 23. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量 （毫克/百毫升）与时间 （小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）当时， 与 成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1） （2）第二天早上能驾车出行 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 24. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 【答案】（1）的长为 （2）午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可； （2）过点H作，过点A作 ， ，分别垂直于 ，垂足分别为M，N，O，过 作于 ，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可． 【小问1详解】 解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点H作，过点A作 ， ，分别垂直于 ，垂足分别为M，N，O，过 作于 ，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 25. 在平面直角坐标系 中，已知二次函数． （1）若函数的图象经过点，并与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． 求该二次函数的表达式； 若点 在该二次函数图象上，且 在直线 上方，当的面积最大时，试求出点 到直线 的距离； （2）点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求 的取值范围． 【答案】（1） ； ； （2）且 ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （） 利用待定系数法即可求解； 过 作轴，交 于点 ，过 作于点，再求出 解析式为，设，则，则，当时，有最值，为，然后用面积公式即可求出点 到直线 的距离； （ ）通过二次函数一一元二次方程的关系，二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解： ∵二次函数过点点， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为 ； 如图，过 作轴，交 于点 ，过 作于点， 由 得，二次函数的表达式为 ， 当 时，，当 时， ，解得：，， ∴，， 设 解析式为， ∴，解得：， ∴ 解析式为， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最值，为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点 到直线 的距离为； 【小问2详解】 解： ∵当时，总有， ∴且 ． 26. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1， 半径为4，弦，求圆心 到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点 为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心 在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点 ，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心 到弦的距离； （2）①证明：过点 作 于点，延长交于点 ，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，过点 作于点 ，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点 作 于点，延长交于点 ，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点 分别作于点 ，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出 ，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆 上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点 在以 为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点 作于点 ， ∴， 在 中，， ∴圆心 到弦的距离； （2）①略 ②连接，过点 分别作于点 ，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆 上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点 在以 为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $